2025届湖北七市州高三年级上册联合统一调研数学试题+答案

数学

限时120分钟满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合4=｛引尤2—3X<O｝,8=｛引log2%>”,则ACQB”（）

A.（0,2）B.（O,2]C.（l,2]D.（2,3）

2.已知复平面内坐标原点为O,复数z对应点Z,z满足z（4—3i）=3+4i,贝10可=（）

43

A.-B.-C.lD.2

54

3.已知正方形ABC。的边长为2,若而=反,则而•丽=（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.已知椭圆。：上+丁=1（加>0）,贝I]“根=2”是“椭圆C的离心率为安”的（）

m2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.过点P（T1）的直线/与圆。：必+丁+以―「0交于A1两点，则的最小值为（）

A.2gB.V15C，V3D.2

6.已知公差为负数的等差数列｛4｝的前"项和为S,,若%，4，%是等比数列，则当S"取最大值时，〃=

()

A.2或3B.2C.3D.4

...「兀兀、C0S6Z

7.右a旬,tan6Z=-~~；—则sin2a--

\22)3—sma

476+7d476-704行+76「4行-

18181818

8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）

A26RV6「26nV31

32332

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知A,8为随机事件，。（4）=0.5,P（3）=0.4,则下列结论正确的有（）

A.若为互斥事件，则「（4+3）=0.9

B.若A,3为互斥事件，则P（Z+月）=0.1

C.若A,8相互独立，则尸（A+3）=0.7

D.若P（@A）=0.3,则P（B\A）=0.5

10.如图，棱长为2的正方体ABC。—4与G°i中，E为棱。乌的中点，E为正方形内一个动点

（包括边界），且与户〃平面ABE,则下列说法正确的有（）

A.动点/轨迹的长度为J5

B.三棱锥DXEF体积的最小值为|

C.B]户与48不可能垂直

25

D.当三棱锥与-2。尸的体积最大时，其外接球的表面积为彳兀

11.我们知道，函数v=/（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/（x）为奇函数.

有同学发现可以将其推广为：函数y=/（x）的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数

y=〃x+a）-6为奇函数.已知函数则下列结论正确的有（）

A.函数/⑺的值域为（0,2]

B.函数/（x）的图象关于点（1,1）成中心对称图形

C.函数/（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x=1对称

D.若函数g(x)满足y=g(x+l)-1为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为

2024

A(积X)(，=1，2,,2024),则Z(七+X)=4048

i=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/(x)=sin［ox+胃(0〉0)满足/(x)守［g］恒成立，且在区间［,兀)上无最小值，则

(D=.

2

13.已知双曲线。：炉―2L=i的左右顶点分别为A,8,点p是双曲线C上在第一象限内的点，直线

3

PA,PB的倾斜角分别为a,/3,则tana-tan^=；当2tana+tag取最小值时，口PAB的面

积为.

14.已知函数〃*=1“办+'，尸74有零点，当/+从取最小值时，g的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)如图，四棱锥P—A3CD的底面是矩形，45=2,5。=20,口尸3。是等边三角形，平面

PBC±平面ABCD,O,F分别是BC,PC的中点，AC与8。交于点E.

(1)求证：BD_L平面PAO；

(2)平面QEF与直线尸。交于点。，求直线。。与平面PCD所成角。的大小.

16.（15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻

炼的次数，现随机抽取了60名同学（其中男生30名，女生30名）在某一周参加体育锻炼的数据，结果

如下表：

一周参加体育锻炼次数01234567

男生人数12456543

女生人数45564321

合计5791110864

（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.

请完成以下2x2列联表，并依据小概率值a=0.1的独立性检验，判断能否认为性别因素与学生体育锻炼

的经常性有关系.

锻炼

性别合计

不经常经常

男生

女生

合计

（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多

健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求E（X）和

D（X）；

（3）若将一周参加体育锻炼的次数为6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活

习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为y,求y

的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

附:n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

17.(本小题15分)

已知各项均不为o的数列｛4｝的前〃项和为s“，且％=i,s“=

4

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若对于任意〃eN*,2""》S〃成立，求实数；I的取值范围.

18.(17分)如图，。为坐标原点，/为抛物线y=2%的焦点，过E的直线交抛物线于A,8两点，直线

AO交抛物线的准线于点。，设抛物线在8点处的切线为/.

(1)若直线/与,轴的交点为E,求证：阿=|印;

(2)过点B作/的垂线与直线AO交于点G,求证：|ADF=|AOHAG|

19.(17分)微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数

/(x)=[x>O),"x)在区间可上的图像连续不断，从几何上看，定积分fLx便是由直线

XJC

X=a,X=0,y=O和曲线y=/(X)=L(x>0)所围成的区域(称为曲边梯形45。尸)的面积，根据微积

X

分基本定理可得「匕"=In匕-In。，易知曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即

JaX

a-b2

S曲边梯形ABQP<S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：

ab

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：j

ln〃-In/?2

(2)已知函数R(x)=加£+〃x+xlnx,其中

⑴证明：对任意两个不相等的正数和％2，曲线丁=口(力在点(和R(xJ)和点伍,R(々))处的切线均

不重合；

(ii)当〃=-1时，若不等式R(x)22sin(x-1)恒成立，求实数机的取值范围.

湖北省七市州高三年级联合统一调研测试本次考试

物理方向清北线136分，985线111分，211线105分，一本线87分，本科线67分：历史方向清北线122

分，985线97分，211线90分，一本线74分，本科线44分

q5r□情境包新•借助■!彩乐片号奏圆与

也山一况的位JL美系妁单词也

创新

A<

4TpsI乐识推广一•*m微图能的时体性

推广外一领事C阕a的时体也

rrTSY正方体的性4r♦*的袅面枳+轴傕的伴例♦

0rjl或与平面妁斗行8♦吊♦动，.妁MW用4

qrsxl真歧与与■统的位亶昊系♦直线的8京.[

也上勺二次.做的量值|

*1.熔金

-QZS)-昌做妁*看♦阴手代继完44t的单调也，

4数的量值.晶到宜景的蹬鸟公义

H立性检脸♦鸟收集At机食量的网笺与才

JL♦二W分率♦黑几行分考

精穗户画4五次并华一学生体育债博I

新度学文化♦微也习

1.B一元二次不等式的解法+对数不等式的解法+集合的交、补运算解法一基本量法因为

2

A=1x|x-3x<Oj-={x10<x<31,B={x|log2冗〉1}二{%|x〉2}

,所以《5={%|l<2},47《5）={%|0<%42},故选B.

解法二排除法因为2w5,所以2e（；3,又2eA,所以2eAc（[；B）.故排除A,D；

因为;任5,所以geQB,又;eA,所以;eAc（45）,故排除C.故选B.

3+4i（3+4i）（4+3i）25i.

2.C复数的几何意义+复数的模解法-基本量法由题意，得2=^7====1,（题

4-31:（4，-3­1）。（4，+3"1）25

眼）所以复数z在复平面内对应的点为Z（0,l）,所以应=（0,1）,所以西=行方=1,故选C.

3+4i

解法二模的几何意义法由题意，得z=-----,（题眼）所以

4-3i

22

3+4i|3+4i_73+4

故选C.

4-3i|4-3i74"+(-3)2

3.B平面向量的数量积+向量的线性运算解法一基向量法由题意知点P为3c的中点，所以

AP-5D=(AB+BP)(AD-AB)=^AB+|BC^(AD-AB)=ABAD-AB2+15C-AD-|BCAB

-----*21-----*2r.1r

22

=-AB+-BC=-2+-x2=-2f故选B.

22

解法二坐标法如图，以8为原点建立平面直角坐标系，则3（0,0）,A（0,2）,D（2,2）,P（l,0）,所以

而=（1,—2）,前=（2,2）,所以丽•丽=lx2+（—2）x2=—2,故选B.

m>10<m<1

（易错警示：只考虑焦，点在X轴上的一种情形，从而编解）所以

“根=2”是“椭圆C的离心率为在”的充分不必要条件，故选A.

2

5.A直线与圆的位管关系圆C的标准方程为（x+2）2+y2=5,所以圆C的圆心C（—2,0）,半径厂=J5.

因为（―l+2）2+F=2<5,所以点P在圆C内，连接CP,则当A3,CP时，|A回取得最小值.（题

眼）（知识拓展：过圈内一点的弦最长为固的直径，最短为以流，点为中点的弦）因为

ICP\=7（-1+2）2+12=V2,所以|A3|min=2j。—=2百,故选A.

6.B等差数列的通项公式与前〃项和公式+等比中项的性质+数列中的最值问题

设等差数列的公差为d（d<0）,则由%，/，%是等比数列，得（％+31）2=（%+21）（%+61）,（提

3

示：等比中项性质的应用）整理得d（2q+3d）=0,所以2%+3d=0,即％=-万1,（题眼）所以

S=="q+"（；T）d=1~〃2—2而=g（〃—2f—2d.因为d<0,（易错提示：忽略题设条件中该等差

数列的公差为负数，导数错解）所以当“=2时，S,取得最大值-2d,故选B.

COS。

7.D同角三角函数的基本关系+二倍角公式+两角差的正弦公式由tana=----------，得

3—sina

smacosa

（方法战巧：对于化简求值问题，当式中含有切与弦的混合式时，往往化切为弦）结

cos。3—sina

]（兀兀、

合sin?。+cos2。=1,整理得3sina=l,所以sina=§,（题眼）因为。£1一万,'），（提醒：在利用

同角三角函数的基本关系求值时，一定要注意角的范围）所以cosa=Jl—sin2”=述,所以

3

sin2cif=2sinacosa=4后cos2a=1-2sin26Z=工，所以

99

.〃叫「兀。.兀4行17G4V2-7V3访啡「

sin2a——=sin2（zcos——cos2asm—=-----x-------x——=--------------,故选D.

3）33929218

8.C圆与圆的位置关系+利用函数的单调性求最值

第1步：根据圆的对称性作出图形

要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需麦虑三个圆的圆心拽成等边三角形的情况，

（题眼）设三个圆的圆心分别为。],。2，。3,被覆盖的圆的圆心为。，如图所示，口。1。2°3为等边三角

形，设圆。1与圆Q的交点分别为AB,连接AB并延长交圆O,于点C,交。1。2于点

解法一函数法第2步：利用函数的单调性求圆0的最大半径

连接设。。=。。3=%，则==

22

3

2

YI--%>0

所以HA=小。6-OH=所以O4=0H+HA=—+.由《4,得

2x>0

0<x<—，（提醒：求参数范围时，注意除需考虑函数的定义域外，还需结合实际）又

3

OC=OO+OC=X+1>OA,所以。4为目O的最大半池设/(X)=.+J1—<2⑸

330x<-----

3J

则/'（》）=---/2一•由Wx=>所以当0<x<【；时,/'（x）〉0，函数/（X）单

调递增：当立＜x〈迪时，r（x）＜0,函数/⑴单调递减.所以/（X）max=/£=咚,即被完

33I3J3

全覆盖的最大的圆的半径为孚，此时。叱QQW即圆。他,。冲的任一圆均经过另外

两圆的圆心.

解法二三角函数法第2步：利用三角函数知识求圆。的最大半径连接GA。。],设/Aa“=e,则

cos。2cos。

0xH-QAcos^=cos^,AH=Asin^=sin^,所以0H=—^~,00[=0O3=—^~,贝ij

2cos0cos0

OC=OO3+03C=——7=—Fl,＜?A=OH+HA—r-+sin^＜OC,所以为圆0的最大半径.因为

OA=cos£+s,n^=2V3273；（方法：利用三角函数求最值时，需利用辅助角公式化为

V3363

丁=45由（。％+。）+3（或丁=4＜：05（。%+。）+3）的形式，然后利用三角函数的有界性求解）所以当

0+-=-,即。='时，04取得最大值名©,即被完全覆盖的最大的圆的半径为出，此时

62333

。02=QQ=。3。1=1，即圆。1，%。3中的任一圆均经过另外两圆的圆心.

9.ACD互斥事件的概率+对立事件的概率+条件概率+独立事件的概率乘法公式对于A,根据互斥事件的

加法公式可得，P（A+B）=P（A）+P（B）=0.5+0.4=0.9,故A正确；对于B,若A,B为互斥事件，

则P（A5）=0,所以尸（印+耳）=尸（无。豆）=尸（而§）=尸（[而）=1—P（A5）=1—0=1,故B不正确；

对于C,由于A,8是相互独立事件，所以P（AB）=P（A）P（B）,所以

P（A+JB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.5x0.4=0.7,故C正确；对于D,由

p（曲力=*

''P（A）0.5

/,、P（AB）P（AB）/、

04=0.7,故C正确；对于D,由尸（1A）=J:）=0.3,得尸（A3）=0.15,

2（/IIU.D

所以P（必4）=上逛1=尸（5）—P（AB）=0.4—0-15=0.5故D正确.综上所述,选ACD.

P（A）l-P（A）0.5

10.ABD立体几何中的轨迹问题+三棱锥的体积公式+线面位置关系的判定+棱锥的外接球问题如图，对于

A,分别取C12，GC的中点连接B[M,B[N,MN,则由正方体的性质可得与N〃〃

4瓦因为MN,4Na平面ABE,a尻AEu平面ABE,所以MN〃平面ABE，4N〃平面ABE.

又MN,B[Nu平面B、MN,MNcBiN=N,所以平面4MN〃平面4BE,所以点尸的运动轨迹为线

段MN,（题眼）即动点E轨迹的长度为MN=0，故A正确.对于B,

12人

VB「D,EF=马义S口D,EF*B[C[=}S^D,EF，易知当尸与Af重合时，S口》后取得最小值，即

（用*FLn=gxlxl=g，所以（义，故B正确对于C,当尸为线段MN的中点

时，因为”4=N4,所以BJ上MN.又MN〃,所以用尸上弓台，故C不正确.对于

12-

DM_DQF=]XSgDFXBC=§SmDF，易知当E与N重合时，用。加取得最大值，连接

D】N,DN,所以（VBLADFLX=%-DQN.由正方体的性质知所以口42。为直角三角形，

易知点N在平面上的投影为的斜边耳。的中点，设为G,连接NG,则三棱锥

B「DQN,即三棱锥N-49。的外接球的球心。在直线NG上，（关键：求解多面体的外接球相关

问题，确定球心位置是求解问题的关捷）设球。的半径为火，易知与。=2百,NG=后，则由

（V2±7?）2+（V3）2=7?2,（提示：棱锥外接球的球心可能在校锥内，也可能在棱锥外）得R=述，所

4

以球。的表面积S=4兀尺2=生兀，故。正确.综上所述，选ABD.

2

4

11.BCD函数的值域+函数图象的对称性对于A,因为2*+2〉2,所以0<572<2,所以函数/（x）

的值域为（0,2）,故A不正确；对于B,由题意，/（x）=「5,令

4

F(X)=/(X+1)-1=2J++2~1,显然函数R(X)的定义域为R,关于原点对称，且

44??x+i/、4

F(x)+F(-x)=—^——1+—y——1=^—+^——2=0,所以函数户(x=F——1是奇

I1V)2*22-%+1+22、+11+2*2*2

函数，所以函数/(x)的图象关于点(U)中心对称，故B正确；对于C,因为

4-2rln2_421n2_2xln2,、，

/(町=一不一22X+4-2-v+4=-22X~2+2X+1'(题眼)(提示：(优)=罐111。)所以

(2+2)

rin2

r(2—x)=_22'"2—=_2*.22=——2=r(x)，所以函数/(X)的导函数

、)22~2x+2^x+l22+22+X+22Xl+2r+22^2')

/'(x)的图象关于直线x=l对称，故C正确；对于D,因为函数g(x)满足y=g(x+l)-l为奇函数，

所以函数g(x)的图象关于点1)中心对称，又函数的图象关于点(1,1)中心对称，

204

所以2(玉+%)=(芯+%2+~+%204)+(弘+%+3+为04)

1=1

=2024+2024=4048,故D正确.故选BCD.

I27c717r1

12.-正弦函数的图象与性质由题意知？-o+—=—+2EQeZ),所以。=—+3左代eZ)

324

—兀0+兀—》274兀兀,

①.因为函数/(x)在区间兀］上无最小值，aa?

所以《，(左eZ),解得

兀/C73兀

兀0+一---

32

57

6k—左H—(kGZ)

26

②.又G>0,所以由①②可得，CD=~.

4

13.32屈直线与双曲线的位置关系+斜率公式由题意知A(-1,0),3(1,0).设

2

P(xo,yo)(xo>l,yo>O),则片—当=1,所以寸=3焉—3,(题眼)所以

tana-tan/?=kPAkPB=-=1)=3,(知识拓展：设点”,N为双曲线

%+1x0-l-1

营=1(。〉0,0〉0)上关于原点对称的两点，点P是双曲线上异于M,N的任意一点，若直线

A2

PM,PN的斜率均存在，则必有kpM

a

2tan…电2k"含+3=、=氏)3/|了.令

t+1z、2tana+tan0=J3.

3x0-l=t,则/=？-«>2),所以

(难点：通过换元转化表达式，从而利用二次函数的性质求出最小

值)则当;="，即，=8时，2tana+tan£取得最小值，止匕时

罚=3,%=2&,S“AB=x闾=；x2x=2指.

14.土注函数的零点+利用导数求函数的最值+点到直线的距离公式第1步：根据零点的定义结合对数的

4

运算将原问题转化为点到直线的距离问题设函数/(%)的零点为心则Inat+-b=0,即

由+/_19=0(*)•设「(aS)为直线/:比+gy—/匕=0上任意一点，原点。(0,0)到直线/的距离

9

ev____

d=丁丁了.连接OP,则|0尸|=6+/诩,第2步：换元，构造函数求/+户的最小值令

V+9

卜+：=«心5(提醒：在换元时，一定要结合条件求出新元的取值范围)则

d=g(m\=—,g'(m\=,当,〈根<1时，g'(加)<0,函数g(加)单调递减，当根〉1时,

mm~3

g'(m)>Q,函数g(m)单调递增，所以g(m)min=g(D=e，即(片+。的最小值为e,a?十川的最小值

为e2,第3步：根据最小值成立的条件求结果此时71=1,得/=土迪，所以直线/的斜率

\93

左=±2行，所以2=—工=±正，此时。=±宜至/=£.

ak433

15.线面垂直与平行的判定定理+直线与平面所成的角+空间向量的应用

解：（1）第1步：由面面垂直的性质证BD

因为口形。为等边三角形，。是的中点，所以PO_L5C,（方法技项：当条件中出现等边三角形

时，可利用等边三角形三线合一的性质推出线线垂直）

又平面PBC±平面ABCD,平面PBCc平面ABCD=BC,所以「0，平面ABCD.

又8£>u平面A3CD,所以PO上BD.

第2步：利用向量法证AOL5D

BDAO=^BC+BA^^BC-BA^=^BC2-BA=4-4=0,所以丽心，（提醒：注意利用向

量相关知识证线线垂直）

所以AOLBD.

第3步：由线面垂直的判定定理证结论

又PO,AOu平面240,P0c40=0,所以8。，平面P4O.

（2）第1步：利用线面平行的判定定理与性质定理证。是的中点

因为E,。分别为3D,的中点，所以EO〃DC,（方法技巧：当条件中出现中点时，可利用三角形

中位线定理推出线线平行）又EO<Z平面PDCDCu平面PDC,所以EO〃平面PDC,（7分）又平

面OEFc平面尸。。=。/，所以EO〃QE,所以Q/〃。C,因为尸是PC的中点，所以。是「。

的中点.

解法一第2步：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标与相关向量的坐标

易知0E,0C,0尸两两垂直，以。为原点，。£,。。,。尸所在直线分别为羽y/轴建立如图所示的空间直

角坐标系，（提醒：建立空间直角坐标系时，要抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关

系（或在图形中构造垂直关系））

1V2V6、

则0（0,0,0）,网0,0,佝，40,血,0）,〃2,"0）,0L,

22J

所以而=(2,0,0),正=(o,0,-悯.

第3步：求出平面PCD的一个法向量

/、CD-h=0

设平面PCD的法向量为拓=（x,y,2）,由＜_.

PCn=O

2x=0/厂、

得〈厂厂，取方=O,J3,1,

V2y-V6z=0、'

第4步：利用向量的夹角公式求结果

0Q=1,^-,^-,易知0,-|-,贝i]sind=kos〈云,0Q〉|=-^^=^^,

（提示：线面角的正弦

值是该直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值）

7T

所以"“

解法二第2步：根据定义作出线面角

如图，过点。作PC的垂线，垂足为“，连接Q".（关键：求斜线与平面所成的角的关键是找到斜线在

平面内的射影，即确定过斜线上一，点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直的性质来确定垂足

的位置）

易知。CL5C,因为POL平面48。。,。。＜=平面45。。，

所以POLDC.

又BCu平面PBC,PO＜z平面PBC,POcBC=O,所以DC，平面PBC,

所以平面P3CL平面PCD,且平面PBCc平面PCD=PC,故易得平面PCD,故真线0Q与

平面PCD所成的角6=N。。”.（题眼）

第3步：解直角三角形求结果

在直角三角形O"C中，Z0CH=-,0C=41,所以OH=逅.

32

因为。CJ_平面PBC,PCu平面P3C,所以DCLPC,又。/〃DC,所以QELPC.

在直角三角形。切中，QF=l,FH=t，所以。”=乎.（12分）在直角三角形OQ”中,

OH=QH=,所以6=--

24

16.独立性检验+离散型随机变量的期望与方差+二项分布与超几何分布

解：（1）第1步：补全2x2列联表完成列联表如下.

锻炼

性别合计

不经常经常

男生72330

女生141630

合计213960

第2步：根据公式求力?的值

零假设为“0：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关•根据列联表中的数据计算，得

2_60x(7xl6-23xl4)260x(7x30)­=140%359()>

__30x30x21x39-30x30x21x3939

706=x0,i.

第3步：对照临界表得结论

根据小概率值a=0.1的独立性检验，推断“。不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推

断犯错误的概率不超过0」.

（2）第1步：判断X服从二项分布

因为学校总的学生人数远大于所抽取的学生人数，故X近似服从二项分布，随机抽取1名学生为“极度缺

乏锻炼”者的概率"=^=g,则X〜5[20,3],

第2步：根据公式求出期望与方差

故E(X)=20x4=5

3

D（X）=20x-^-x^-=||.（提示：若占则E（J）=叩，。图=呼》（1-2））

121236

（3）第1步：根据超几何分布求出相应概率由题意可知，10名“运动爱好者”中有7名男生，3名女

生，y服丛超几何分布，（题眼）

32

则尸（y=0）=受C°C=1」-,尸位=1）=2C1学C=?21=7’,尸位=2）

I）C：o120I）C：o120401）

=C|C[=21x3=21（）35=7

C：o12040'（）C：o12024’

第2步：列分布列

故所求分布列为

Y0123

17217

P

120404024

第3步：求数学期望

E(Y}=——=2.1.

「10

1,7°21c7°,

(另解：£(y)=ox-----1-1x-----F2x----F3x—=2.1)

120404024

17,根据递推关系求数列的通项公式+等差数列的定义及通项公式+等差数列的前项和公式+根据不等式恒

成立求参数的取值范围

解：（1）第1步：根据。“与S”之间的关系，结合已知递推关系证数列的奇数项与偶数项分别成等差数列

由题意,4S“=anan+l+1,当哈2时,45„_,=%%+1,

两式相减得4a”=an（a,+i-4冒）（哈2）.

因为%产0,故4+i=4（磋2）,

所以4,a，…及々，。4,…，4〃，…均为公差为4的等差数列.

第2步：由递推关系求为

当〃=1时，由%=[及S]="口：+1,得%=3,

第3步：根据等差数列的通项公式求见

所以=1+4(〃-1)=2(272—1)—1,

a2n=3+4（〃-1）=2（2〃）-l,

所以a“=2n-l.

（2）第1步：根据等差数列的前“项和公式转化不等式

由⑴及已知，得S“=〃2,

”2

所以对任意〃eN*,4）夕恒成立.

第2步：构造数列，利用数列的增减性求出新数列的最大值

设勿=吩，^n+i-bn=^—-=—-.（题眼）

当1—、历<〃<1+J5,即"=1,2时，bn+l-bn>Q,bn<bn+l；（提酷：数列是一种特珠的函数，在利用

函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值）当〃〉1+JL即*3,〃eN*时，

<0，”>〃+「

所以伪<么<伪〉“〉打〉…，

9

故（2）=&=_,

\n/maxng

第3步：求实数X的取值范围

所以实数九的取值范围是：，+“；

18.直线与抛物线的位置关系

解：易知直线AB的斜率不为0,歹［；,0

设直线AB的方程为x=my+；,（方法技珍：如果直线很显然不与％轴平行或重合，但有可能与％轴垂

直时，可设直线方程为％=磔+»,避免讨论）A（x1,y1）,B（x2,y2）,

1

x=my+―c

由<2,得y-2my-1=0,

y2=2x

A=4m2+4>0

.•.<%+%=2冽.（易错警示：在处理直线与圈锥曲线的相交问题中，易忽略判别式的作用）

"%=T

（1）第1步：利用导数的几何意义求出直线/的方程，得点E的坐标

不妨设A在第一象限，8在第四象限，

l,1

由y=-yjlx，得y=--7=,

,/yl=2x2,y2<0,

/的方程为y—%=二-（%一》2），即丁=」-%+々

（二级结论：点P（%,%）是抛物线

%%2

V=2px（p〉o）上一点，过点尸作抛物线的切线，切线方程为为y=P（x+x。））令x=0,得丁=三,

即E四）

第2步：求点。的坐标

2

寸=—1，，直线OA的方程为丁=&%=二％=-2%%，

令x=一；,得y=%，即；，乂

第3步：利用向量知识证结论

又呜,。卜旌丽呜苦）,

即目=但万|,得证.

（2）解法一第1步：求点G的纵坐标

由（1）知/的垂线的方程为y—%=—为（%一》2），

（2、

YVO

即,=_%%+%1+U，

12）

f（2\

y=-yx+y1,+—当,,

由j7-7I2J,得G的纵坐标%=%（£+2x）.（题眼）

y=-2y2x

第2步：根据四点共线转化所证等式

VA,G四点共线，要证明|AD『=|A。卜|AG|,

只需证明%「=|%HNG-%|（*）-（关键：根据四点共线将所证问题转化为证明点的坐标间的关

系）

第3步：利用根与系数的关系化简证得结论

|%卜|%一%|=<"(£+2卜+

.・.（*）式成立,

即|AD『=|AOHAG|,得证.

解法二第1步：由。8〃X轴得相关线段比连接由（1）知，。[―；,%],3（%2，%），则。8与X

轴平行，

,,\AB\\AD\

%=_y

第2步：由。/〃3G得相关线段比连接。E,则。E的斜率为—工_j_",

~2~2

易知/的垂线BG的斜率为-%，

则DF与BG平行,

|AG|°

第3步：证结论

\AO\\AD\

由①②得扁=♦'

即|AD『=