2025高考数学复习必刷题：两条直线的位置关系（学生版）

第58讲两条直线的位置关系

知识梳理

知识点一：两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

4:4%+与y+Q=04坊—为耳二o且

44+B、B?=0

12:4X+B2y+C2=0耳G—B?G。o

L:y=k.x+b,

；（斜率存在）

/:y=kx+b勺=k2,b[W4或

222kjk2=T或勺与&中有一个

="（斜率不存在）X=Xl,X=X2,XlW%2为0，另一个不存在.

l2:x=x2

知识点二：三种距离

1、两点间的距离

平面上两点《（为％）,£（%，%）的距离公式为|耳£|={（%一%）2+（乂一%）2.

特别地，原点。（0,0）与任一点P（x,y）的距离IOR=旧+.

2、点到直线的距离

|Ax。+3%+C|

点片（小,%）到直线l:Ax+By+C=0的距离d=

VA2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点到/的距离d=|加-尤（J；若直线为/:产小则

点P0{x0,%）到/的距离d=\n-y0\

3、两条平行线间的距离

已知4,4是两条平行线，求4,4间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

（2）^l.-.Ax+By+Q=0,l2:Ax+By+Q=0,则，与I,之间的距离d=隼二Si

一ylA2+B2

注：两平行直线方程中，尤，y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式一（X）=+j土+Q型函数求解,首先想到两点间的距离，或

者利用单调性求解.

【解题方法总结】

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点尸（占，》）关于点Q（尤0,%）的对称点为

--X+%

则根据中点坐标公式，有°2

P'（%2，%），

）+%

>0=

2

可得对称点P'（x2，为）的坐标为（2%-内，2%-%）

2、点关于直线对称

点P（%,%）关于直线/：Ax+3y+C=0对称的点为P'a，%），连接PP'，交/于M点,

则/垂直平分PP，所以尸P"且"为尸尸，中点，又因为“在直线/上，故可得

k]■kpp>=—1

解出（%,必）即可•

A^BA±AC

2+2+=0

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,

再由两点式求出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线4:ar+by+c=0，关于直线6++f=0（两直线不平行）的对称直线4

第一步：联立4算出交点尸（方,%）

第二步：在《上任找一点（非交点）0（占，%）,利用点关于直线对称的秒杀公式算出对

称点Q'5,%）

第三步：利用两点式写出《方程

5、常见的一些特殊的对称

点（x,y）关于x轴的对称点为（x,-y）,关于V轴的对称点为（-x,y）■

点（尤，y）关于直线y=x的对称点为（y,x）,关于直线y=-x的对称点为（―y,—尤）.

点（x,y）关于直线x=。的对称点为（2a—x,y），关于直线y=b的对称点为

（%,2b-y）-

点（％,y）关于点（a,6）的对称点为（2a—兀，2b—y）-

点（%,y）关于直线%+y=上的对称点为（4-y,k—x）y关于直线％-y=左的对称点为

（k+yyx-k）・

6、过定点直线系

过已知点Pl%,%）的直线系方程y一%=%（%一毛）（左为参数）.

7、斜率为定值直线系

斜率为k的直线系方程y=履+Z?（b是参数）.

8、平行直线系

与已知直线Ax+5y+C=0平行的直线系方程AY+3y+4=0（丸为参数）.

9、垂直直线系

与已知直线Ax+5y+C=0垂直的直线系方程及-Ay+X=O（丸为参数）.

10、过两直线交点的直线系

过直线4：4%+4丁+G=o与6：4%+为〉+G=o的交点的直线系方程：

4%+耳＞+。1+/1（4尤+52）+。2）=。（2为参数）.

必考题型全归纳

题型一：两直线位置关系的判定

例1.（2024.高二课时练习）直线2x+y+2=。与依+4、-2=0互相垂直，则这两条直线的

交点坐标为（）

A.（1,T）B.（0,-2）

C.（-1,0）D.3;]

例2.（2024•江苏南通・高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点4（-2,㈤和点8（人4）

的直线为〃，：2X+I，4：x若，，则"?+”的值为（）

4y=-y=—n—n.44

A.-10B.-2

C.0D.8

例3.（2024•浙江温州•高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线4：尤+23-5=0,

l2'.（3a—l^x—ay—2=0,贝|q=］是《_L的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

变式1.（2024•广东东莞•高三校考阶段练习）直线4：〃吠+2y+2=0与直线4：

刀+（相一1）、=0平行，贝°加=（）

A.-1或2B.2C.-1D.-2

变式2.（2024•全国•高三专题练习）已知直线ax+2y+l=0,l2.

（3-a）x-y+a=0,则条件“a=l”是小的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不必要也不充分条件

变式3.（2024.黑龙江牡丹江.牡丹江一中校考三模）已知直线

ll:x+y=0,l2:ax+by+1^0,若上口,贝1］。+6=（）

A.-1B.0C.1D.2

变式4.（2024・全国•高三专题练习）已知A（一l,2),B(l,3),C(0,—2),点。使A。，

BC,AB//CD,则点。的坐标为（）

变式5.（2024.甘肃陇南.高三统考期中）已知AASC的顶点3（2,1）,C（-6,3）,其垂心为

H（-3,2）,则其顶点A的坐标为

A.(-19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)

变式6.（2024•全国•高三专题练习）直线4：x+（l+a）y=l-a（aeR）,直线=

下列说法正确的是（）

A.3aGR,使得4〃4B.BaeR,使得乙工乙

C.VaeR,4与'都相交D.3aeR,使得原点到人的距离为3

变式7.（2024.全国•高三对口高考）设.也c分别为“LBC中ZA,NB,NC所对边的边长，则

直线sinA-x+ay+c=0与直线6x-sinB-y+sinC=0的位置关系是（）

A.相交但不垂直B.垂直C.平行D.重合

【解题方法总结】

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般

地，设/]：4x+4y+G=0（4,4不全为0）,12：A,x+B2y+C2=0（4也不全为0）,则：

当4名-4旦片0时，直线44相交；

当时，44直线平行或重合，代回检验；

当44-4息=。时，4,直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.

题型二：两直线的交点与距离问题

例4.（2024・全国•高三专题练习）若直线=与直线2x+3y-6=0的交点位于第

一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是（）

例5.（2024・上海浦东新•华师大二附中校考三模）已知三条直线4：尤-2，+2=0,

/2%-2=0,右：尤+6=。将平面分为六个部分，则满足条件的女的值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

例6.（2024.全国•高三专题练习）若三条直线4：4x+y=34：7ur+y=04：x-7"；y=2不能围

成三角形，则实数加的取值最多有（）

A.2个B.3个

C.4个D.6个

变式8.（2024•江苏宿迁.高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点P（x,y）在直线

2x+y-5=0上，。是原点，则。尸的最小值为（）

A.2也B.2C.y/5D.4

变式9.（2024.吉林长春.高二东北师大附中校考期中）已知点尸（4,兀）在直线

3x-4y-10=0上，则J元0?+%2的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

变式10.（2024.高二课时练习）已知点尸（。,2）、A（-2,-3）、3（1,1）,且附=网,则

a=.

变式11.（2024•全国•高二专题练习）已知点M（x,T）与点N（2,3）间的距离为7近,则

x=.

变式12.（2024•全国•高二课堂例题）已知点4（2,1）,8（3,4）,C（-2,-l）,则"RC的面

积为.

变式13.（2024•江苏淮安•高二统考期中）已知平面上点尸（3,3）和直线/：2丁+3=0,点2到

直线/的距离为d,则4=—.

变式14.（2024.黑龙江哈尔滨.高三哈尔滨七十三中校考期中）点（O,T）到直线y=%（x+2）

的距离的最大值是.

变式15.（2024.高二课时练习）过直线小龙-2y+3=。与直线4：2了+3丫-8=0的交点，且

到点P（0,4）的距离为1的直线/的方程为.

变式16.（2024.江西新余.高二校考开学考试）若点P（3,l）到直线/：3x+4y+a=0（a>0）的

距离为3,贝!］。=.

变式17.（2024・全国•高三专题练习）点（0,0）,（3,4）到直线/的距离分别为1和4,写出一

个满足条件的直线/的方程：.

变式18.（2024•浙江温州•高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线4：x+2y-6=。

与4：x+Q-5=0平行，则乙与4间的距离是.

变式19.（2024•江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线

4:3x-4y+6=0与&:6x-8y+9=0之间的距离为.

变式20.（2024•新疆•高二校联考期末）己知不过原点的直线4与直线/2：%->+及=0平

行，且直线4与'的距离为1,则直线4的一般式方程为.

【解题方法总结】

两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距

离公式的结构.

题型三：有关距离的最值问题

例7.（2024•北京•高三强基计划）J（x-9）2+4+d+三+g-3）+9的最小值所属区间

为（）

A.[10,11]B.(11,12]

C.(12,13]D.前三个答案都不对

例8.（2024•全国•高三专题练习）已知实数和尤2,%%，满足d+y；=4,x^+yl=9,

XiN+%%=。，则归+乂一9|+上+%-9|的最小值是

例9.（2024•全国•高三专题练习）如图，平面上两点尸（0』）,Q（3,6）,在直线y=x上取两点

M,N使|MN|=0,且使1PMl+|"M+|NQ|的值取最小，则N的坐标为.

变式21.（2024.全国•高二专题练习）已知点尸,。分别在直线4：x+y+2=。与直线

小尤+y-1=0上,且尸。口，点4（一3,-3）,8（3,0）,则|蝴+|「。|+|明的最小值

为.

变式22.（2024.全国•高二课堂例题）已知直线/："+y+2-左=0过定点跖点尸（x,y）在

直线2x-y+l=0上，则伽研的最小值是（）

A.5B.75C.述D.旦

55

变式23.（2024・全国•高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂

分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：

1（x-a）2+（y-b）2可以转化为点到点b）的距离，则,+]+&_以+8的最小值

为（）.

A.3B.25/2+1C.273D.V13

变式24.（2024・贵州•校联考模拟预测）已知尤,yeR+,满足2x+y=2,则x+Jf+y'的

最小值为（）

A.-B.-C.1D.^2^1

553

变式25.（2024•江西•高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（0,-2）,

点5（l,0）,P为直线2x-4y+3=0上一动点，则|到+|咫的最小值是（）

A.75B.4C.5D.6

变式26.（2024・高二课时练习）已知点4（1,3）,8（5,-2）,点尸在x轴上使|转|-|明最大,

求点P的坐标.

变式27.（2024•天津和平•高二天津市汇文中学校考阶段练习）在直线/：3x-y-1=0上求

一点P,使得：

（1）P到A（4,l）和5（0,4）的距离之差最大；

⑵尸到A（4,l）和C（3,4）的距离之和最小.

变式28.（2024.全国•高三专题练习）已知函数〃x）=aln（x+l）+l（awR）的图象恒过定点

A,圆O:Y+y2=4上的两点尸（西,弘），。（吃,%）满足西=九短（4€1t）,贝!!

|2芯+%+7|+|2当+%+7]的最小值为（）

A.2A/5B.7+5

C.15-75D.30-2行

变式29.（2024•江西•高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之

和最小的点.当三角形三个内角均小于120。时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所

在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120。.根据以上性质，.则

」（x,y）=J（x—2若＞+/+J（x+]_括）2+（y_]+逝）2+{/+（1_2）2的最小值为（）

A.4B.2+2指C.3+2括D.4+2出

变式30.（2024・全国•高三专题练习）已知x+y=0,则

-Jx2+y2-2x-2y+2+^（x-2）2+y2的最小值为（）

A.小B.2忘C.710D.2A/5

变式31.（2024・陕西西安.高二西安市铁一中学校考期末）设〃zeR,过定点A的动直线

x+冲=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x,y）,则\PA\•户目的最大值是

（）

A.75B.710C.5D.10

变式32.（2024・全国•高二专题练习）过定点A的动直线》+分=。和过定点8的动直线

爪一了一24+1=0交于点贝1]|八例+|八得的最大值是（）

A.2也B.3C.V10D.V15

【解题方法总结】

数学结合，利用距离的几何意义进行转化.

题型四：点点对称

例10.（2024.全国•高三专题练习）已知A（a,6）,3（-2,6）,点P（2,3）是线段A3的中点，

则a+b=.

例11.（2024•江苏南通・高二统考期中）已知点A在x轴上，点8在>轴上，线段AB的中

点M的坐标为（2,-1）,则线段的长度为.

例12.（2024・高二课时练习）设点A在x轴上，点8在y轴上，A3的中点是P（2,-l）,则

|AB|等于

变式33.（2024•高一课时练习）已知直线1与直线4：y=l及直线4：x+y-7=0分别交于

点P，Q.若PQ的中点为点加（1,-1）,则直线1的斜率为一.

【解题方法总结】

求点关于点M（x0,y0）中心对称的点尸,（尤2，%），由中点坐标公式得

fx2=2x0-玉

1%=2%-%

题型五：点线对称

例13.（2024.湖南长沙•高一周南中学校考开学考试）如下图，一次函数、=尤+4的图象与

x轴，丁轴分别交于点A,3,点C（-2,0）是x轴上一点，点E,尸分别为直线^=尤+4和

》轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E,P的坐标分别为（）

A.b(0,2)B.£(-2,2),F(0,2)

F

c-mH)d-3),m，I)

例14.(2024•全国•高二专题练习)若直线/1：'-2=(%-1卜和直线/2关于直线＞=工+1对

称，则直线4恒过定点()

A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)

例15.(2。24全国•高二假期作业)抛物线y=+2的焦点关于直线—=°的对称点

的坐标是()

A.(2,-1)B.(1,—1)

变式34.(2024•江西•高二校联考开学考试)如图，一束光线从4(3,4)出发，经过坐标轴反

射两次经过点。(6,2),则总路径长即|AB|+忸C|+|CD|总长为(

C.3旧D.V85

变式35.(2024・四川遂宁.高二统考期末)已知点A与点2(2,1)关于直线x+y+2=0对称，

则点A的坐标为()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(-3T)D.«-3)

变式36.(2024・湖北•高二校联考阶段练习)在等腰直角三角形ABC中，M=AC=3,点

尸是边上异于43的一点，光线从点尸出发，经BC、C4反射后又回到点尸，如图，若

光线QH经过AABC的重心，贝|JAP=（）

33

A.—B.—C.1D.2

24

【解题方法总结】

求点尸（为,%）关于直线对称的点P'5,y2）

方法一：（一中一垂），即线段PP的中点M在对称轴上，若直线尸产的斜率存在，则

直线PP'的斜率与对称轴10的斜率之积为一1,两个条件建立方程组解得点尸’（々,必）

方法二：先求经过点尸（为,为）且垂直于对称轴的直线（法线）i0,然后由

得线段PP的中点M（x0,%）,从而得（三一2%一百

1%=2%-%

题型六：线点对称

例16.（2024・高二课时练习）直线/：2“3丫+1=0关于点4（-1,-2）对称的直线『的方程

为.

例17.（2024.全国•高二专题练习）直线2%-丁+3=0关于点4（5,3）的对称直线方程

是.

例18.（2024.河北廊坊・高三校考阶段练习）与直线/：2尤-3丫+1=0关于点（4,5）对称的直

线的方程为.

变式37.（2024•全国•高三专题练习）直线依+y+3a-l=0恒过定点股，则直线

2x+3y-6=0关于/点对称的直线方程为.

变式38.（2024•辽宁营口.高三统考期末）若直线4：、=履+4与直线6关于点”（1,2）对

称，则当人经过点N（0「l）时，点M到直线6的距离为.

变式39.（2024•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线/沿x轴正方向平

移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线〃.再将直线〃沿x轴正方向

平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线/重合.若直线/与直线//

关于点（2,3）对称，则直线/的方程是.

【解题方法总结】

求直线I关于点M（x0,%）中心对称的直线r

求解方法是：在已知直线/上取一点尸（%,%）关于点加（%,%）中心对称得尸'（%,%），再

利用////,,由点斜式方程求得直线/'的方程（或者由////,,且点M（x（）,%）到直线/及/'的

距离相等来求解）.

题型七：线线对称

例19.（2024.全国•高三专题练习）已知直线4：x-y+3=O,直线/：x-y-l=0,若直线4

关于直线I的对称直线为k，则直线4的方程为.

例20.（2024・全国•高三专题练习）若动点A,2分别在直线"：龙+>-7=0和以x+j-5

=0上移动，则的中点M到原点的距离的最小值为（）

A.3&B.2&C.3cD.472

例21.（2024•全国•高三专题练习）直线龙一2y-1=0关于直线y-尤=0对称的直线方程是

（）

A.2x-y+l=0B.2%+）—1=。

C.2x+y+l=0D.%+2y+l=0

变式40.（2024・全国•高三专题练习）设直线4：1—2y—2=0与4关于直线，：2x—y—4=。对

称，则直线乙的方程是（）

A.llx+2y-22=0B.11工+,+22=0

C.5x+y-ll=0D.10x+y-22=0

变式41.（2024・全国•高三专题练习）直线分+by+c=O关于直线y=。对称的直线为

（）

A.ax-by+c=QB.bx-ay-\-c=QC.bx+ay+c=0D.bx+ay-c=0

变式42.（2024・全国•高三专题练习）如果直线丁=分+2与直线y=3x-b关于直线y=x对

称，那么（）

A.a=-,b=6B.a=—,b=—6C.a=3,b=—2D.a=3,b=6

33

变式43.（2024・全国•高三专题练习）求直线x+2y—l=0关于直线x+2y+l=0对称的直

线方程（）

A.x+2y—3=0B.x+2y+3=0

C.x+2y~2=0D.x+2y+2=0

变式44.（2024・全国•高三专题练习）若两条平行直线4：*-2、+m=0（根＞0）与/2：

2x+〃y-6=。之间的距离是2石，则直线4关于直线4对称的直线方程为（