2025届广东梅县某中学高三数学上学期期中试卷及答案解析

广东梅县东山中学

2024-2025学年度第一学期高三中段考试试卷(数学科)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.

1,已知集合/小阿1)则,集合”{小2—3X<。},则ZU5=()

A.(0,2]B,[2,3)C.(0,+动D.[2,+a))

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合4台，由并集的定义求解即可.

【详解】由ln(x-l)20可得：x>2,所以Z=[2,+e),

由V—3x<0可得：0<x<3,所以8=(0,3),

所以NU3=(0,+8).

故选：C.

2.若—是—2<x<a的充分不必要条件，则实数。的取值范围是().

A.a>2B.a>2

C.a<2D.tz<2

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得.

【详解】由—是—2<x<a的充分不必要条件，得{x[—l<x<2}£{x|—2<x<a},则a>2,

所以实数。的取值范围是a>2.

故选：B.

3.若复数z满足(1—3i)z=3—i(i为虚数单位)，则z的模目=()

A.|B.1C.5D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可.

【详解】由（1—3i）2=3—i,

3-i_(3-i)(l+3i)_3+9i-i-3i2_6+8i_34.

l-3i(l-3i)(l+3i)l-9i21055

故选：B.

71

4.已知a=3°”,b=log4,c=cos，则（）

0518

A.c>b>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解析】

【分析】结合指数函数，对数函数、余弦函数的性质比较大小即可.

【详解】由4=30-4〉3°=1，

b=logo,54<log051=0,

所以0<c<l,

所以Q>c>b.

故选：D.

5.若数列｛%｝满足（"1".=（及+1”“_1（“之2）吗=2,则%=（）

A.2B,6C.12D.20

【答案】D

【解析】

a”n+1

【分析】由已知条件变形可得工=—7,然后累乘法可得见,即可求出包

%n-\

/\/\〃+1

【详解】由5-1)%=(〃+I”“T得一,

an-l〃—]

a?%a334572+1.1、

%=%------Xx——=2x—x—x—x---x---=n(n+l)(zz>2),

Cl-yan_xI23n-l

a4=4（4+1）=20.

故选：D

6.如图所示，在△4SC中，M为线段8c的中点，G为线段上一点，AG=2GM过点G的直线

八一一一.—.41

分别交直线4S,ZC于尸，0两点.设45=x/P（x〉0）,NC=>0）,则---的最小

九~।乙y-I-L

值为（）

33

A.-B.—C.3D.6

42

【答案】B

【解析】

【分析】由中点和三等分点得到就=；（万+就），结合方=xNA（x〉0）,AC=yAQ（y>0）.得到

AG=^AP+LAQ,

33

41

由三点共线得到x+y=3,利用均值不等式中“1的代换”求得一-+一；的最小值.

x+2y+1

____>1_..___k.

【详解】因为M为线段3C的中点，所以4M=5（48+/C）,又因为刀=2而，所以

—►2——►1—►—►

AG=-AM=-（AB+AC）,

又方=xQ（x〉0）,AC=yAQ（y>0）,则就=：刀+会而，

而尸，G,0三点共线，所以：+]=1,即x+>=3,

则

+^—=—r（x+2）+（j+i）~i41、“x+24（v+l）'1x+24（y+1）

LVV-------1------4+-----+-^——^+1>—5+2

x+2v+16'〃x+2v+l76y+1x+2~6y+1x+2

x+24(y+1)

当且仅当一;二u',即％=2,y=l时取等号.

＞+lx+2

故选：B.

7.若直线歹=依+6是曲线y=e、x—1和＞=01的公切线，则实数人的值是()

A.e-1B.eC.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】设直线＞=日+6与曲线＞=1、y=ei分别相切于点2(西,炉一1)、8(%,利用导

数求出曲线y=e"-1在点A处的切线方程，以及曲线;；=61在点8处的切线方程，可得出关于占、x2

的方程组，解出这两个量的值，即可求得左的值.

【详解】设直线＞=区+3与曲线y=e。1、^=广分别相切于点2(西炉—1)、5(%,*T),

对函数y=e'—1求导得y'=e"则左=e$，

曲线y=e，-1在点A处的切线方程为y—9+1=e%(x—xj,即y=e』x+(1—xje』—1,

对函数y=e'T求导得/=el,则左=e＞2T,

x21

曲线y=e'T在点B处的切线方程为y—e*2T=e^\x-x2)，即y=e>2Tx+(l-xje"-,

再=0

k=ex1=e*2T

x2=l

所以，।,化简可得<

X2

b=(1-石)e*-1=(l-x2)ek=1

b=0

故选：D.

8.已知＞=/(x)是定义域为R的奇函数，若＞=/(2x+l)的最小正周期为1,则下列说法中正确的个数

是(

①/②出Ml卜。

④/(X)的一条对称轴为X=；

③/(x)的一个对称中心为(1,0)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件得出周期，结合周期性、对称性可得答案.

【详解】因为＞=/(2x+l)的最小正周期为1,所以/(2(x+l)+l)=/(2x+l)；

即/(2x+3)=/(2x+l),所以2是y(x)的周期；

因为/(x)为奇函数，所以=0，②正确；

/(；)+/图=/(£|+/(一£|=/(；)―/图,不一定为零，①不正确；

因为/(》+2)=/(》)=一/(一对，所以/(x)的一个对称中心为(1,0),③正确；

通过题目条件无法得出/(x)的一条对称轴为x=~,④不正确；

2

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ufl=(1,2),b=,则()

A.当m=2时，a//b

B.当机=3时，

1_

C.当机=—3时，)在日上的投影向量为一一b

2

D.当加＜2时，a,B的夹角为钝角

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意，根据向量1、B的坐标，利用平面向量的坐标运算法则、投影向量的概念，对各选项逐一

加以分析，即可得到本题的答案.

【详解】对于A,若加=2,则3=(2,—1),则1义(—1)一2X2=-5H0,则用B不平行，故A不正确；

对于B,若机=3,则1一53=(1,2)-5(3,-1)=(一14,7),

可得万•(]一5分)=-14+2x7=0,所以9_1_(万一53),故B正确；

对于C,若加=—3,则5.3=-3-2=_5，

a-b-1-

向量m在B上的投影向量为(")b=-jb,故c正确；

11

对于D,若冽二一不，即6r=(—不,一1),

1--

此时G=-,6,可知点人的夹角为兀，不是钝角，故D错误.

故选：BC.

10.已知函数/(x)=sin[x+]J—cos[g+x],则下列说法正确的是()

A./(x)的图像可由y=拒sinx的图像向左平移§个单位得到

B./(力图像关于点对称

C./(x)在区间0,|上单调递减

D.若a,/(«)=5cos2a,则cos2a=《

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据三角恒等变换，化简函数/(x),根据图像平移判断A；利用整体代入法可判断B和C；利用

同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求cos2a的值，从而判断D选项

[详解]/(x)=sin-cos+x[=cosx-sinx=V2cos[x+：]，

将了=J^sinx的图象向左平移?个单位所得图象对应函数为

y=&sin[x+：]=cosx+sinxwf(x),故A错；

因为/[；]=3cos]=0,所以/(x)图像关于点对称，故B对；

兀713兀

令2析<%+—<2攵兀+兀,左eZ,所以2左兀——<x<2EdkeZ,

4449

所以/(x)=J^sin[x+a]的递减区间是2左兀一1,24兀+~^keZ,

令左=0,所以-A等是/(x)=&sin|x+；卜勺一个递减区间，

,TT《/TT^TT

又0,-c,所以/(x)在区间0,-上单调递减，故C对;

/(tz)=cosa-sina=5cos2a=5(cos2a-sin2a\=5(cosa-sina)(cosa+sina),

因为ae所以cosa-sina>0,

贝15(cosa+sina)=l,即cosa+sina=一,

2.2-L/,T*

平方得cosa+sina+2cosi・sina=—,则2coseisina=-----,

2525

「

所以(cosa-sinqxMa+sin2a-2cosa,sina=l+^="

2525

则cosa—sina=一,

5

177

所以cos2a=cos2a-sin2?a=(cosa-sintz)(cosa+sina)=-x—=一,故D对;

,八75525

故选：BCD

11.因表示不超过x的最大整数，例如，[—0.5]=-1,[1.1]=1,已知函数/(x)=[x],下列结论正确的

有()

A.若xw(0,l),则/(一司+^〈—/(x)+—

B./(^+v)</(x)+/(j)

<2A20

c.设g(x)=/(2氐)+/右,则&(左)=401

左=1

(V14]、40

D.所有满足/(机)=/(〃)m,ne0,—的点(m,〃)组成的区域的面积和为一

kL3JJ9

【答案】AD

【解析】

【分析】A,由题目信息计算/(x),/(一力即可得答案；

B,通过举特例可判断选项正误；

C,利用石。2.236结合题目信息可判断选项正误；

D,由信息画出(见〃)所在坐标系区域即可判断选项正误.

【详解】A选项，由题xe(O,l)时，/(x)=0,/(-x)=-l,

1131

则/（一》）+4=—1+]=<—/（冷+^，故A正确;

B选项，取x=2.5,y=3.5,则/（x+y）=46）=6>5=/（2.5）+/（3.5）,

故B错误；

C选项，石a2.236n26a4.472，则当x>0时，/（2氐）2/（4x）,

则力（2限）2%（4左）=4+8+…+80=^^^=840,

k=lk=12

又贝Ijfg（左）=£/（26左）+£/■［得］2840W401,故C错误；

k=lk=\k=\

D选项,由题要使/（机）=/（〃），则根,〃e［0,1）,或私［1,2）,或私％e［2,3）,

14

或％〃e[3,4）,或m,ne4,y,所表示区域如下图阴影部分所示:

则(见〃)区域面积为：4+fy-4

=—,故D正确.

9

故选：AD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知非零向量方,3满足|叫=2出|,且(5—B>B=o，则m与彼的夹角为

71

【答案】一##60°

3

【解析】

【分析】设|初=2旧|=2/(/〉0),进而根据g―B>B=o求出五年，然后根据平面向量夹角公式求得答

案.

【详解】由题意，设历|=2他|=2/（/〉0）,又仅一3>3=0=>展3=庐=〃，设）与B的夹角为6,

,—*2

a-bt1~…兀

所以cos8二—h=-7=—,所以e=一.

|aPI2t223

7T

故答案为：一

3

Iny

13.设实数刃>0,若对\/xe（0,+co）,不等式------20恒成立，则机的取值范围为

m

【答案】m>-

e

【解析】

Inx

【分析】构造函数/（x）=xe*判定其单调性得加xNlnx,分离参数根据恒成立求^=即可.

xmax

【详解】由emx--20=mxemx>xlnx=tax-ebj：

m

构造函数/(可=屁<工,。)=>/'(x)=(x+l)e">0,

，/'(x)在(0,+e)为增函数，则mx-emx>lnx-elnx=mx>Inx

Inx

即对Vxe（0,+oo）,不等式mx>\nx恒成立，则Vxe(0,+<»),m>

xmax

x./x1-lnx

构造函数g(x)=——-

X•X

令g，(x)〉O,得0<x<e；令g'(x)<0,得％〉e；

.•・g（X）=也在（o,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减,

X

二.g(x)max=g(e)=!，即机'J.

\/iiidx\/ee

故答案为：m>—.

e

"2x+4（x<0）r>2

14.已知函数/(x)=<।'/，方程［〃明一+"（》）+1=0有六个不相等实根，则实数6的取值范

围是

17

【答案】一1，-2

【解析】

【分析】由题意首先得出当且仅当0</W4时，关于x的方程/（》）=/的根的个数最多，进一步可将原问

题等价转换为一元二次方程根的分布问题，从而列出不等式组即可求解.

【详解】在同一平面直角坐标系中画出了(X)的图象以及直线^=/如图所示,

发现当且仅当0</W4时，关于X的方程/(x)=，的根的个数最多，且有3个根，

而关于t的一元二次方程产+4+1=0最多有两个根，

若方程+"(x)+l=0有六个不相等实根，

则当且仅当关于t的一元二次方程产+4+1=o有两个不同的根％,才2，且0<4,7244,

A=b2-4>0

八八

0<—b<417

所以当且仅当<2,解得一—<b<-2,

/（0）=1>04

/（4）=46+17>0

即实数6的取值范围是［-

故答案为：一":

【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且(a—cXsinZ+sinC)=(b-Gcbin5

(1)求角N的大小；

TT

(2)若〃=2,C=-求△45。的面积.

4f

7T

【答案】(1)A=-

6

⑵V3+1

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理即可求解；

(2)利用正弦定理和三角形面积公式即可求解.

【小问1详解】

由(Q-c)(sin4+sinC)=(Z?-J^，sinB以及正弦定理得(a-c)(a+c)=仅一JGc)b,即

222

Q2_H=/_Cbc，b+c-a=Cbc，

Z)2+(?―Q243bc_y[3

所以cos4二

2bc2bc

因为幺e(O,兀)，所以Z=巴.

6

【小问2详解】

2④

由正弦定理得—二=—J,.・.。=竺比===20,

smAsmCsinA

2

.兀兀兀.兀

又sin5=sin(4+C)=sm—cos—+cos—sm—

6464

1V2V3V2V2+V6

=——X---------1--------X--------=-------------------

22224

/\ABC的面积为工℃sin5='x2x2后x返+"=^3+1.

224

16.已知函数/(x)=x(x—a?+b在％=1处取得极大值.

(1)求。的值；

(2)若/(x)有且只有3个零点，求实数b的取值范围.

【答案】(1)a=3

(2)-4<6<0

【解析】

【分析】(1)由题意可得/'。)=0,可求出。的值，然后就。的值进行检验，即可得出实数。的值；

(2)分析函数/(x)的单调性与极值，根据函数/(x)的零点个数可得出关于实数b的不等式组，由此可

解得实数b的取值范围.

【小问1详解】

解：因为/(x)=x(x-a)2+£>,则/'(%)=3》2一4ax+/,

因为函数/(x)在x=l处取得极大值，则/'(1)="—4。+3=0,解得。=1或a=3.

当a=1时，/'(X)=3x2-4x+1=,

由/'(x)>0得x〈工或x>l；由/'(x)<0得;<x<l.

此时，函数/(X)在上递减，在(1,+8)上递增，

则/(X)极小值为了⑴，不合题意;

当a=3时，/'(X)=3--12x+9=3(x-l)(x-3),

由/'(x)〉0得x<l或x>3；由/'(x)<0得l<x<3；

所以，函数/(x)在(-8,1)上递增，在。,3)上递减,

此时，函数/(力极大值/⑴，合乎题意.

综上，a=3.

【小问2详解】

解：由(1)可知，a-3,f(x)=x(x-3)-+b,

函数/(X)的增区间为(—8,1)、(3,+8),减区间为(1,3)。

所以，函数/(x)极大值/⑴=4+6,极小值"3)=6,

7⑴=b+4〉0

又因为/(x)有且只有3个零点，则<U(3)=.<0，解得-4<，<。,

因此，实数b的取值范围是(-4,0).

17.己知1=(一1,2C),b=­22),函数

sinx-cosx?smxcosxf(x)=a-b.

(1)求函数/(x)的解析式及对称中心;

兀a2jjE5兀4,AA./士

(2)若/一+—----,且一<a<TI,求sma的值.

12236

(3)在锐角△48C中，角N,B,C分别为a,b,c三边所对的角，若6=百，/(台)=1，求△48C

周长的取值范围.

(兀kn।

【答案】⑴

/(x)=2sin(2%+-^,对称中心为一二+二,0,kGZ

I122J

⑵3艮6

6

(3)(3+后3向

【解析】

【分析】(1)根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；

(2)由/(乌+0]=—逆得出sin(a+三〕再根据两角差的正弦公式计算即可；

(3)由/(8)=1得出3=],根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化

为三角函数，根据△NBC为锐角三角形得出/的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解.

【小问1详解】

f(x)=(cos2x-sin2x)+273sinxcosx-V3sin2x+cos2x=2sin2x+—.

6

..兀T.兀/c7C

令2xH——ku,贝Ux=----1---,左wZ,

6122

(兀左兀A

函数的对称中心为一二十二,。，keZ.

I122J

【小问2详解】

5兀7兀兀4兀(it、痛

—<a<兀，..—<aH—<—,..COSOLH——----,

6633{3)3

.(兀、兀(兀、.兀

sma=sm=sma+—cos——cosa+—sm—=

I3；3I3；3

【小问3详解】

由/(8)=1可得2sin(25+：1=1,即sin\2B+：1=g

jr

又0<8<兀，所以3=§

b_c_a_y/3

由正弦定理有sin5sinCsin/J1

V

ds"

所以a+c=2sin/+2sinC=2sin/+2sin=2sin4+2

2

7

=3sinN+V3cosA=2百sin

2

因为△48C为锐角三角形，所以《，解得Ze

0<C<-

[2

所以Z+：e则2也sin^+^e(3,2君J

所以3<a+cW2G，则3+G<a+b+cW3G，

所以△48C的周长的取值范围为(3+6,36]

18.设函数/(x)=2e*+2sinx-(a+l)x.

⑴当a=l时,求/(%)在[0,+8)上的最小值;

⑵若g(x)与/(X)关于歹轴对称，当X20时，/(x"g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)2

(2)o<3

【解析】

【分析】(1)先将a=l代入/(x),然后求导得到/'(x)=2e'+2cosx-2,再求导得到

/〃(x)=2e=2sinx,因为xe[0,+s),就得到二阶导大于等于0恒成立，得到一阶导单调递增，然后判

断一阶导大于等于0恒成立，然后得到原函数单调性，求得最小值；

(2)先利用两个函数的互对称得到g(x),然后代入不等式/(x)之g(x),整理得

ex-e-JC+2sinx-(a+1)x>0,构造函数〃(x)=e*--工+2sinx-(a+l)x,得至!]〃(0)=0,然后利用

端点效应得到a<3,最后判断其充分性即可.

【小问1详解】

当a=l时，f(x)=2ex+2sinx-2x,

所以/'(x)=2ex+2cosx-2,

令尸(x)=2ex+2cosx-2,

得厂'(x)=2ex-2sinx,

因为x20,得e"21,sinx«l,

所以尸(x)=2ex-2sinx>0,故以(l)=/'(%)=2ex+2cosx-2在［0,+8)单调递增;

所以/'(x"/'(O)=2,

所以f(x)-2e'+2sinx_2x在［0,+oo)单调递增,

故/(x)在［0,+oo)上的最小值为/(0)=2.

【小问2详解】

由题得g(%)=/(-x)=2e-x-2sinx+(4z+l)x,

得当0时，2e"+2sinx-(tz+1)x>2e~x—2sinx+(a+l)x恒成立，

整理得e"—e—"+2sinx—(a+l)x20恒成立，

令h(x)=e*—e-“+2sinx—(a+l)x,

显然，"0)=0,

要使0时，e、—+2sinx—(a+l)x20恒成立，

则〃(0”0,

/⑴=ex+e—“+2COSX-(Q+1),

所以有/z/(0)=e°+e°+2COS0—(Q+1)20=QW3,

验证，当。43时，

令G(x)=ex+e~x+2COSX-(Q+1),

G'(x)=e*-e~x-2sinx,

令=e"-b-2sinx,

H，(x)=e*+-2cosx>2Je'e-*-2cosx=2-2cosx>0,

故〃(x)=e'-尸-2sinx在［0,+oo)单调递增；

所以刀(x)2»(O)=e°—e°—2sinO=O,

故G(x)=e*+e-T+2cosx-(a+1)在［0,+动单调递增；

所以G(x)NG(0)20,

故〃(x)=e*-e~x+2sinx-(a+l)x在［0,+动单调递增；

所以〃(x)2〃(0)=0,

故aW3符合题意.

【点睛】思路点睛：〃(x)=e-er+2sinx-(a+l)x20恒成立，显然〃(0)=0,我们由函数图像可

知，在x=0时，〃(x)=e=er+2sinx-(a+l)x不可能单调递减，所以可知〃'(0)之0,然后求得

a<3,此时aW3为e，-e-“+2sinx-(a+l)x20恒成立的必要条件，我们还需要利用a<3去判断

e-v—e'+2sinx—(a+l)x>0恒成立，证明aW3为e&-eA+2sinx—(a+1)x20恒成立的充分条件.

19.牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法一牛顿法.具体做法如下：如图，设厂是

/(X)=0的根，首先选取/作为r的初始近似值，若/(x)在点(比0,/(均))处的切线与x轴相交于点

(x1,0),称占是r的一次近似值；用占替代/重复上面的过程，得到马，称/是厂的二次近似值；一直

重复，可得到一列数：%,不，x“，.…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当

Xi，%(〃eN*)近似值相等时，该值即作为函数/(x)的一个零点r.

(1)若〃力=/+3/+》一3,当/=0时，求方程/(x)=0的二次近似值(保留到小数点后一位);

(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数g(x)=e*-3在

点(2,g(2))处的切线，并证明：ln3<l+]；

e

(3)若〃(x)=x(l-lnx),若关于x的方程/z(x)=a的两个根分别为占，x2<x2),证明:

/一方>e-ea.

【答案】(1)1.8(2)e2x-y-e2-3=0,证明见解析

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意分别计算出看,%,取乙得近似值即为方程/(行=0的二次近似值；

(2)分别求出g(2),g'(2),即可写出函数g(x)在点(2,g(2))处的切线方程；设

m(x\=lnx-1--,x>1,证明出加(x)V加(e?),得出加(3)<加化之)，即可证明；

e

(3)先判断出0<%<1<%2<e,然后辅助证明两个不等式/z(x)〉」一(x—e)(lVx<e)和

2x(lVxVe)即可.

【小问1详解】

=3x2+6x+1,

当Xo=O时，/,(o)=l,/(x)在点(0,—3)处的切线方程为歹+3=x,

与x轴的交点横坐标为(3,0),所以玉=3,

/⑶=46,/(%)在点(3,54)处的切线方程为4一54=46(x—3),

与x轴的交点为|1|,o],所以方程/(x)=0的二次近似值为1.8.

【小问2详解】

由题可知，g(2)=e2-3,gr(x)=ex,gr(2)=e2,

所以g(x)在(2,g(2))处的切线