2025高考数学复习必刷题：古典概型与概率的基本性质（学生版）

第89讲古典概型与概率的基本性质

知识梳理

知识点1、随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表

示.

知识点2、古典概型

(1)定义

一般地，若试验E具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含"个样本点，事件A包含其中的k个样

本点，则定义事件A的概率尸(4)=：=墙.

知识点3、概率的基本性质

(1)对于任意事件A都有：04尸(A)41.

(2)必然事件的概率为1,即P(Q)=1；不可能事概率为0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A与事件8互斥，则「(4113)=2(4)+「(3).

推广：一般地，若事件A，A.彼此互斥，则事件发生(即A，从中

有一个发生)的概率等于这〃个事件分别发生的概率之和，即：

尸(4+4+...+4)=p(A)+p(4)+...+p(4).

(4)对立事件的概率：若事件A与事件8互为对立事件，则P(A)=1-P(B),

P(B)=1-P(A),且P(AU3)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的单调性：若A=8,则P(A)4P(8).

(6)若A,3是一次随机实验中的两个事件，则P(/^3)=2(4)+「(8)-2(4。3).

【解题方法总结】

1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数”与事件A中所包含的基本事件

数.

因此要注意清楚以下三个方面：

(1)本试验是否具有等可能性；

(2)本试验的基本事件有多少个;

（3）事件A是什么.

2、解题实现步骤：

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A;

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件A中所包含的基本事件个数机；

“、到中八一»八A包含的基本事件的个数平山本出，,血力

（4）利用公式P（A）=——甘一由一附乂的——求出事件A的概率.

基本事件的息数

3、解题方法技巧：

（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.

②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图

法.

必考题型全归纳

题型一：简单的古典概型问题

例L（2024•高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）

①从区间［1［0］内任取一个数，求取到1的概率；②从1,2,3,…，10中任取一个数，求

取到1的概率；③在正方形ABC。内画一点P,求点P恰好为正方形中心的概率；④向上

抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024•全国•高一专题练习）下列关于古典概型的说法正确的是（）

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为%随机事件A若包含上个样本点，

则P（A）=£.

n

A.②④B.②③④C.①②④D.①③④

例3.（2024•全国•高三专题练习）下列有关古典概型的四种说法：

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；

②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点出现的可能性相等；

k

④已知样本点总数为〃，若随机事件A包含％个样本点，则事件A发生的概率尸（A）=—.

n

其中所正确说法的序号是（）

A.①②④B.①③C.③④D.①③④

变式1.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）一项试验旨在研究臭氧效应，

试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环

境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量

（单位：g）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（）

A.—B.-C.1D.-

10525

变式2.（2024•青海西宁•高三统考开学考试）乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基

础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼.某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球

（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是

（）

A.-B.-C.—D.1

77142

变式3.（2024•河北保定•统考二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、

引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完

全相同的概率是（）

A.—B.-C.—D.—

1231212

变式4.（2024•湖北•高三校联考阶段练习）将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个

盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（）

A.-B.1C.-D.-

5283

题型二：古典概型与向量的交汇问题

例4.（2024•重庆•高三统考阶段练习）已知正九边形A4…&，从中,&4，…，审中

任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（）

A.1B.-C.-D.-

2399

例5.（2024•全国•高三专题练习）已知a,6e{-2,-l,l,2},若向量而=（a,b）,n=（l,l）,

则向量而与5所成的角为锐角的概率是（）

例6.（2024•甘肃武威•甘肃省武威第一中学校考模拟预测）连掷两次骰子分别得到点数

m,n,则向量（利,〃）与向量（T,D的夹角9>g的概率是（）

A.4B.-C.—D.—

231212

变式5.（2024•四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）从集合口,2,4｝中随机抽

取一个数从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个数b,则向量沅=（a,6）与向量万=（2,-1）垂直的

概率为（）

A.-B.-C.-D.-

9933

变式6.（2024•云南楚雄•高三统考期末）从集合｛0,1,2,3｝中随机地取一个数。,从集合

｛3,4,6｝中随机地取一个数6,则向量方=0,。）与向量£=（1,-2）垂直的概率为（）

1

ABC.一D-।

-A-I4

变式7.（2024•湖北•高考真题）连掷两次骰子得到的点数分别为根和“，记向量

1=（根,〃）与向量5=（1,-1）的夹角为凡则。10卷的概率是（）

A-HB-Ic-nD-i

题型三：古典概型与几何的交汇问题

例7.（2024•全国•高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点

或用小石子表示数，他们将1,3,6,10,15,称为三角形数；将1,4,

9,16,25,称为正方形数.现从200以内的正方形数中任取2个，则其中至少

有1个也是三角形数的概率为（）

24C,”

A.—B.—D

919178-日

y/5—1

例8.（2024•四川达州•统考二模）把腰底比为:1（比值约为0.618,称为黄金比）

2

的等腰三角形叫黄金三角形，长宽比为0:1（比值约为1.414,称为和美比）的矩形叫和

美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多

的0:1的比例关系,常用的A4纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条

AO=叵图二是长方体，EF=4i,EG=2硝=2.在图一图

对角线构成的图形）,

2

二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率

为（）

例9.（2024•江西•高三校联考阶段练习）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大

致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形

区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（）

变式8.（2024•江西•校联考二模）圆周上有8个等分点，任意选这8个点中的4个点构

成一个四边形，则四边形为梯形的概率是（）

10「12-14-16

AA.—B.—C.—D.—

35353535

变式9.（2024•广东深圳•高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）《几何原本》是古

希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年.汉语的最早译本是

由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6

卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎

包含现今平面几何的所有内容.某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选

修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

7777

变式10.（2024•河北张家口•张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于

同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分

称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体.从它的棱中任取两条，则这两条棱

所在的直线为异面直线的概率为()

23236969

变式11.(2024•全国•高三专题练习)《九章算术.商功》指出“斜解立方，得两遒堵.斜解

遭堵，其一为阳马，一为鳖膈.阳马居二，鳖膈居一，不易之率也.合两鳖腌三而一，验之以

其形露矣.”意为将一个正方体斜切，可以得到两个遹堵，将遭堵斜切，可得到一个阳

马，一个鳖腌(四个面都是直角三角形的三棱锥)，如果从正方体的8个顶点中选4个顶点

得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖席的概率为()

18r16〃12一8

AA.—B.—C.—D.—

29292929

题型四：古典概型与函数的交汇问题

一_3、

例10.(2024•四川遂宁•统考三模)己知me」g2+lg5,log43，U，tanl),从这四个数

中任取一个数机，使函数/(x)=V+2mx+l有两不相等的实数根的概率为.

例11.(2024•全国•高三专题练习)已知四个函数：(1)<(x)=x,(2)力(x)=sinx,

(3)力(x)=tanx,(4)%(力=葭，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅

有一个公共点”的概率为.

例12.(2024•河南信阳•河南省信阳市第二高级中学校联考一模)在-2,-1,0,1,2

的五个数字中，有放回地随机取两个数字分别作为函数>=依2+3a-2中°,b的值，则该

函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为.

变式12.(2024•四川遂宁•统考一模)若函数y=/(x)的定义域和值域分别为4={1,2,3}

和8={1,2},则满足/(I)丰/(3)的函数概率是.

变式13.(2024•全国•高三专题练习)一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六

23

个定义域为E的函数：<(x)=x,f2(x)=x,f3(x)=x,力(x)=sinx,%(x)=cosx,

九(x)=2|x|+l.现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若

取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X,则X<3的概率

为.

变式14.（2024•全国•高三专题练习）对于定义域为。的函数/'（X）,若对任意的

x^x^D,当王时都有则称函数/（尤）为“不严格单调增函数”，若函数

的定义域。=｛1,2,3,4,5｝,值域为A=｛6,7,8｝,则函数为“不严格单调增函数”的

概率是.

变式15.（2024•上海•高三专题练习）从3个函数：Jv一=人?J丫一_尤人2和y=x中任取2个，

其积函数在区间（一*0）内单调递增的概率是.

题型五：古典概型与数列的交汇问题

例13.（2024•江西鹰潭•统考一模）斐波那契数列｛月｝因数学家莱昂纳多•斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为"兔子数列".因"趋向于无穷大

时，冬无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下

工+i

递推方法定义：数列｛耳｝满足耳=B=1,Fn+2=Fn+t+Fn,若从该数列前10项中随机抽取

2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（）

1r13r14

AA.—B.—C.—D.—

15151515

例14.（2024•全国-高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数

列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列｛风｝满足4=%=1，

4+2=。〃+4+1，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）

517

A.B,-C.-D.

124312

例15.（2024•黑龙江•黑龙江实验中学校考三模）已知某抽奖活动的中奖率为每次

抽奖互不影响.构造数列同，使得第〃次未中奖,，记

Sa=q+c?+…+g（，eN*）,则国=1的概率为（）

变式16.（2024•山东潍坊•高三统考阶段练习）数列｛%｝共有10项，且满足：4=1,

%=11,每一项与前一项的差为2或-2,从满足上述条件的所有数列中任取一个数列，则

取到的数列满足每一项与前一项的差为-2的项都相邻的概率为（）

A.-B.-C.-D.—

93918

变式17.（2024•全国•高三专题练习）斐波那契数列｛耳｝因数学家莱昂纳多・斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列因w趋向于无穷大

时，与无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以

下递推方法定义：数列｛匕｝满足£=&=1,Fn+2=Fn+l+Fn,若从该数列前10项中随机抽

取1项，则抽取项是奇数的概率为（）

A.|B.—C.-D.—

210310

变式18.（2024•全国•高三专题练习）记数列｛%,｝的前〃项和为S",已知

2

Sn=an-4an+b,在数集｛-1,0,1｝中随机抽取一个数作为a,在数集｛-3,0,3｝中随机抽取

一个数作为6.在这些不同数列中随机抽取一个数列｛《｝，则｛4｝是递增数列的概率为

（）

1223

A.-B.-C.-D.-

3934

变式19.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛a,｝（〃eN*）的前九项和为且

S“=2a”-1,若数列也｝满足。也=f2+11〃-32,从5<〃W10,"eN*中任取两个数，贝U

至少一个数满足。=2的概率为（）

A.1B.-C.—D.-

25123

变式20.（2024•全国•高三专题练习）已知等比数列｛%｝的首项为1,公比为-2,在该数

列的前六项中随机抽取两项4“，a„（m,neN"）,则a,“一a”28的概率为（）

A.-B.-C.-D.y

5432

题型六：古典概率与统计的综合

例16.（2024•四川宜宾•统考二模）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以

比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球

新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新

能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：

⑴估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间［5,35）（单位：万元）的概率，以及中国新

能源车的销售价格的众数；

⑵现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，

求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.

例17.（2024•北京西城•高三北京市第三十五中学校考开学考试）为了解某中学高一年

级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班〜（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随

机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀

的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，V轴表示对应的优秀人数）：

舛0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O123456787

（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生

身体素质监测成绩达到优秀的概率；

⑵若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设X表示2人中身体

素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；

（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相

等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“短=1”表示第七班抽到的这名同学身体素质

优秀，“募=0”表示第七班抽到的这名同学身体素质不是优秀（左=1,2,…,8）.写出方差

D信），。值）,。（刍）,。值）的大小关系（不必写出证明过程）.

例18.（2024•四川成都•校联考模拟预测）某重点大学为了解准备保研或者考研的本科

生每天课余学习时间，随机抽取了100名这类大学生进行调查，将收集到的课余学习时间

（单位：h）整理后得到如下表格：

课余学习时间[1，3）[3,5)[5,7)[7,9)[9，川

人数510254020

（1）估计这1。0名大学生每天课余学习时间的中位数；

⑵根据分层抽样的方法从课余学习时间在[7,9）和[9,11],这两组中抽取6人，再从这6人

中随机抽取2人，求抽到的2人的课余学习时间都在[7,9）的概率.

变式21.（2024•海南海口•高三统考期中）为促进全民健身更高水平发展，更好地满足

人民群众的健身和健康需求，国家相关部门制定发布了《全民健身计划（2021—2025

年）》.相关机构统计了我国2018年至2022年（2018年的年份序号为1,依此类推）健身

人群数量（即有健身习惯的人数，单位：百万），所得数据如图所示：

（1）若每年健身人群中放弃健身习惯的人数忽略不计，从2022年的健身人群中随机抽取5

人，设其中从2018年开始就有健身习惯的人数为X,求E（X）；

（2）由图可知，我国健身人群数量与年份序号线性相关，请用相关系数加以说明.

-矶％-y）

附：相关系数，=”.参考数据:3=280,£＞：=55,

快小冬一『-

55________

yy-=397262,E%%=4429,J52620以229.4.

z=li=l

变式22.(2024•江西宜春•高三江西省丰城拖船中学校考开学考试)某市教师进城考试

分笔试和面试两部分，现把参加笔试的40名教师的成绩分组：第1组［75,80),第2组

［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］.得到频率分布直方图如图

(1)分别求成绩在第4,5组的教师人数；

(2)若考官决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名进入面试，

①己知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；

②若决定在这6名考生中随机抽取2名教师接受考官D的面试，设第4组中有X名教师被

考官。面试，求X的分布列和数学期望.

变式23.(2024•全国•高三专题练习)插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美

的一种造型艺术，与建筑、盆景等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通

过插花艺术激发学生对美的追求，某校举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插

花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10名专业教师、10名非专业教师

以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束

后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布

表，如下所示：

分数区间频数

[72,76)1

[76,80)5

[80,84)12

[84,88)14

[88,92)4

[92,96)3

[96,100]1

定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示:

分数区间[72,84)[84,92)[92,100]

观赏值123

(1)估计甲组插花作品所得分数的中位数(结果保留两位小数)；

(2)若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出1个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来

看该校会选哪一组，请说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)从40名评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组

插花作品的“观赏值”高的概率.

【解题方法总结】

求解古典概型的交汇问题的步骤

（1）将题目条件中的相关知识转化为事件；

（2）判断事件是否为古典概型；

（3）选用合适的方法确定样本点个数；

（4）代入古典概型的概率公式求解.

题型七：有放回与无放回问题的概率

例19.（2024•辽宁鞍山•统考模拟预测）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中

有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球

的概率为.

例20.（2024•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测）已知红箱内有3个红球、2个白球，

白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球

后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，以

此类推，第左+1次从与第上次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.则第

3次取出的球是红球的概率为.

例21.（2024•湖北•校联考三模）袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、

乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的

概率是.

变式24.（2024•浙江•校联考二模）袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄

色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随

机变量J为此时已摸球的次数，则EC）=.

变式25.（2024•全国•模拟预测）小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5

张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色.现

将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直

至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为.

变式26.（2024•浙江•模拟预测）袋中有大小质地均相同的1个黑球，2个白球，3个红

球，现从袋中随机取球，每次取一个，不放回，直到某种颜色的球全部取出为止，则最后

一个球是白球的概率是.

题型八：概率的基本性质

例22.（2024•全国•高三专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1200

件，其中甲工厂生产了690件，乙工厂生产了510件，为了解这两个工厂各自的生产水平，

质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取80件样品，已知该精密仪器

按照质量可分为A,民C,。四个等级.若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽

3

到甲工厂生产的A等级产品的概率为二，则抽取的氏CD三个等级中甲工