2025届高中数学一轮复习专练：概率与统计

概率与统计

一、选择题

1.已知正态分布N（l,cy2）的正态密度曲线如图所示，X~N（l,a2）,则下列选项中,

不能表示图中阴影部分面积的是（）

A.l-P（X<0）B.l-p（x>2）

C.1-P（1<X<2）D.1p（X<2）-1p（X<0）

2.2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看.小明家附近有甲、乙两家影院，

小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为工和之.如果他第一天去甲影院，那么

55

第二天去甲影院的概率为3；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为

5

L若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）

2

23125

A.—B.-C.-D.-

50259

3.随机变量X服从若8乂21）=尸（乂〈3）,则下列选项一定正确的是（）

A.P（X23）=1B.CT=1

C.〃=2D.P（X23）+P（X<1）=1

4.某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：

零件数X（个）182022

加工时间y（分）27m33

现已求得上表数据的回归方程$=晟+2中的5值为0.9,则据此回归模型可以预测，加

工100个零件所需要的加工时间约为102分钟，则m的值为（）

A.28B.29C.30D.32

5.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在

全校学生中选取了男、女生各〃人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则

（）

1

9

8

7

6

5口不昌•欢

4口喜欢

3

2

1

0

生

男女生

参考公式及数据：其中…―・

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多

B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多

C.若〃=50,依据a=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

D.若〃=100,依据々=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

6.掷两枚质地均匀的骰子，设人="第一枚出现奇数点"，5=“第二枚出现偶数点”，

则A与3的关系为（）.

A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等

7.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个.现

从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的

概率为（）

A.—7B.7lC.-2D.5-

10936

8.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为工，则从A到3这部

3

分电源能通电的概率为（）

AB

95

B•黑

243243喈

二、多项选择题

9.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为

«（0＜«＜1）,收到0的概率为1-1；发送1时，收到0的概率为伙0（分＜1）,收到1

的概率为1—/7.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发

送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如

下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即

为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）（）

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为

（1-«）（1-^）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为尸（I-，）？

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为，（1-，）2+（1-，）3

D.当0＜】＜0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输

方案译码为0的概率

10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以

%=0.8石+20、%=。-75々+25的方式赋分，其中%，马分别表示甲、乙两班原始考

分，%,为分别表示甲、乙两班考后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准

差分别为16分和15分，则（）

A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高

B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高

C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数

D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比

李同学的原始分数高

11.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出

一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.4表示事件“从甲罐取出的球是红球”，&表

示事件“从甲罐取出的球是白球”，3表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正

确的是（）

A.A],3为互斥事件：

7

c.p（4忸）*DP⑻F

三、填空题

12.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不

再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.

13.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是2,若每

3

位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3

次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为

14.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40”（"eN*）

个人，得到如下列联表:

是社交电商用户不是社交电商用户合计

男性12n20〃

女性12n8〃20〃

合计20n20〃40〃

已知=3.841,若根据。=0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n

的最小值为.

四、解答题

15.某工厂统计了某产品的原材料投入x（万元）与利润y（万元）间的几组数据如

（2）当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元?

a=y-bx-

16.某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在

120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段，双方各派5

名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进

不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即

宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第

二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局

面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每

位球员罚进点球的概率均为乙队每位球员罚进点球的概率均为七.假设每轮罚球

23

中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

⑴求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲

队暂时以2:0领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.

17.小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达

的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率；

（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.

18.假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋

鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得

面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.

海拔IWJ度x/m10501005001000

大气压y/kPa101.2100.6100.294.888.2

（1）利用线性回归解题思路求y与x之间的线性回归方程；（b的值精确到0.001）

（2）小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中的方程，估计九寨沟A景点（海拔2800m）

的大气压.（精确到0.01）

附：①对于一组数据（七,%）,（乙,%），…，（%,为｝其回归直线y=a+桁的斜率和截距的

n__

加厂y)

最小二乘估计分别为：b=--------------,a=y-bx-

z(…『

Z=1

②参考数据：=711480sH-7)=-9358.

i=lz=l

19.某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题

目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分.甲答对每道题的概率为工，乙答对每

2

道题的概率为〃(0<?<1),且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响.已知

第一题至少一人答对的概率为9.

6

(1)求"的值；

(2)求甲、乙得分之和为30分的概率.

参考答案

1.答案：c

解析：正态分布N（1Q2）的正态密度曲线关于直线％=1对称，

可得图中阴影部分可表示为

P（0<X<l）=P（X<l）-P（X<0）=1-P（X<0）=1-P（X>2）-故选项A,B正

确；

对C：由对称性可得g-P（l<X<2）=P（X22）=P（X<0）,故选项C错误；

对D：由对称性可得P（0<X<l）=P（l<X<2）,

所以图中阴影部分面积可表示为P（O<X<1）=|[P（X<2）-P（X<0）],故选项D正

确.

故选：C.

2.答案：D

解析：设小明第一天去甲影院为事件A,第二天去甲影院为事件3,小明第一天去乙

影院为事件C,第二天去乙影院为事件D

故P（A）=|，P（C）=|，P（5|A）=|，P（B|C）=|，

由W⑶=需总P（MC）=啸M可得P（幽哈P（BC）4,

故P（B）=尸（AB）+P（CB）=（+得=9,

3

5

则第一天去乙影院的概率为P（C⑻=号帚=-

则小明第二天去了甲影院,109-

27

50

故选：D

3.答案：C

解析：因为尸（X21）=尸（X<3）

由正态分布的对称性，可得〃=2,正态分布方差无法判断,

P（X>3）<1,P（X>3）+P（X<1）<1,

所以ABD错误.

故选::C

4.答案：C

解析：由题意可知：S=0.9x+d,

且当％=100时，，=0.9xl00+6=90+6=102,解得2=12,

可知y=0.9x+12,

又因为元=18+20+22=20,-=27+m+33=m+60>

333

可知点120,在5,=0.9%+12上，

即20x0.9+12='"+60,解得m=30.

3

故选:C.

5.答案：D

解析：对于A,由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不

喜欢游泳运动的人数少，故A错误；

对于B,全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动

的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多，故B错误；

对于C,结合等高堆积条形图可得：

游泳

性别合计

喜欢不喜欢

男生0.6nOAnn

女生OAn0.6nn

合计nn2n

故22n(0.6nx0.6H—0.4nx0.4n)2

“n4

若〃=50，则%?=0.08n=4<6.635，

故依据&=0.01的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误;

对于D，若〃=100，则力2=0.08〃=8〉6.635，

依据a=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确.

故选：D

6.答案：C

解析：掷两枚质地均匀的骰子，设人="第一枚出现奇数点"，5=“第二枚出现偶数

点”，

事件A与3能同时发生，故事件A与3既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项

A,B错误；

p（A）=-=-»p（B）=-=-，p（AB）=-x-=-,P（A）-P（B}=-x-=-,

v762v762v7664——224

因为P（A）・P（5）=P（AB）,所以A与3独立，故选项C正确；

事件A与3不相等，故选项D错误.

故选：C.

7.答案：B

解析：设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出黑球为事件B，则第一次摸出黑体为事件

73

_7332《，所以。例6）=党=ipxg=7

口.因为PCB)=P(AB)+P(XB)=—x—+——x—=

1091092-9

10

故选B.

8.答案：A

解析：从A到3电路不能正常工作的概率为

51155

—X——=--------

927243

所以从A到3电路能正常工作的概率为p=l—《=1—星=188

243

故选：A.

9.答案：ABD

解析：对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1,0,1,依次收到1,0,1的概

率为（1-）3）（1-a）（l—,）=（1—a）（l-尸产，所以A选项正确.

对于B选项，采用三次传输方案，发送1,依次收到1,0,1的概率为

Q-/3）/3Q-/3）=/3Q-/312,所以B选项正确.

对于C选项，采用三次传输方案，发送1,依次收到1,1,1（即译码为1）的概率为

（1—,）（1—"）（1—"）=（1—分）3;发送1,依次收到1,0,1（即译码为1）,0,1,1

（即译码为1）,1,1,0（即译码为1）的概率为3（1—06（1—0=3（1—£）26,于是

译码为1的概率为（1-，）3+3（1-，）2,，所以C选项不正确.

对于D选项，采用三次传输方案，发送0,依次收到0,0,0（即译码为0）的概率为

（l-（z）（l-a）（l-（z）=（l-（z）3；发送0,依次收到0,0,1（即译码为0）,0,1,0（即

译码为0）,1,0,0（即译码为0）的概率为3（1-a）a（l-。）=3（1-,于是译码

为0的概率为（1—03+3（1-a）2a.采用单次传输方案，发送0,译码为0的概率为1-0.

依题意，W（1-«）3+3（l-a）2tz>l-a,BP-2a2+a>0,tze[o,g].令函

数/（a）=—2々2+£，&e]o,—则/（a）=a（l—2a）>0在上恒成立，所以D

选项正确.故选ABD.

10.答案：ACD

解析：对AB,由题知E（yJ=£（%）=60，"）（乂）=16,必函=15，

因为%=0.8工]+20,y2-0.75X2+25,

所以0.8£（/）+20=60，0.75£（9）+25=60，0.8^（^）=16>0,75^（%2）=15-

解得£（%）=50，后伍卜46.7，8⑺=20,小。（々）=20,

所以£1（%）>后（%2），《D（xJ="）（工2）,故A正确，B错误；

对C,因为x—X]=20—0.2X],G[0,100]，

所以0W20—0.2X]W20,即％—占20,所以C正确；

对D,作出函数y=0.8x+20,y=0.75x+25的图象，如图所示：

由图可知，当％=%<100时，有々<石，

又因为y=0.8x+20单调递增，所以当为〉先时必有%>々，D正确.

故选：ACD

11.答案：BD

解析：A选项:显然不成立；

B选项:当A发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时3发生的概率为二，

11

P（B|^）=^--，B选项正确；

D选项:当&发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时3发生的概率为

314137

二尸（冏4）=打，p（B）=p（A）P（B|A）+m）W|A）=-x-+-x-=—»'D选

JLJL乙J.J.乙J.J.乙乙

项正确；

13

一X----

<2选项：/>（4出）=皿2=一1=3,."选项不正确.

叼P（B）77

22

12.答案：1/0.5

2

解析：从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放

回，

设事件4第1次抽到代数题，事件3：第2次抽到几何题，

贝1JP⑷=|，P（AB）=|x|=^）

所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为

3

I)P(A)32

5

故答案为：1

2

13.答案：—

27

解析：依题意，李华3道题都没有答对的概率为

所以李华最终通过面试的概率为「MU

故答案为：竺

27

14.答案:3

40"(⑵x⑵-8"8才8=3841，”>3.841x工=2.400625

解析：/=n>%

420"x20"20"x20〃5°磔,8

所以根据a=0.05的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则n的最小值为

3.

故答案为3

15.答案：（1）勺=22尤—1040

（2）原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.

解析：（1）设利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为

y=bx+a>

由已知亍=#82+84+85+86+88)=85，

y=1(770+800+830+850+900)=830，

%—7)(%-5)=(一3)><(—60)+(—1)x(—30)+0+1x20+3x70=440,

一

%,-xl\2=9+1+0+1+9=20,

1=1

Q=y-江=830-22x85=-1040，

所以利润y（万元）关于原材料投入%（万元）的线性回归方程为$=22x-1040；

（2）由（1）当％=100时，9=22x100—1040=1160,

所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为H60万元.

16.答案：（1）1

解析：⑴设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A,未罚进点球的事件为限乙

队球员罚进点球的事件为5未罚进点球的事件为万.

设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意，得在每一轮罚球中两队

打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，

则P（C）=P（可xP回+P（A）xP㈤[1一；x]l.|+；xg=：+g=；,

故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为

2

⑵因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即

四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.

①比分为2:1的概率为

P（孙P（B>P（孙P（耳+P（孙P（耳•P（孙P（B）

11

------1------

18189

②比分为2:2的概率为P（入）（入）——=

③比分为3:2的概率为尸（A）.尸⑻.尸（孙P（5）+尸（孙P（5）.P（A）.P⑻

122

二1-x—2x（1——11X—2xc2=—2

23239

综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为，+工+2=±

9999

17.答案：⑴0.398

(2)0.994

(3)0.092

解析：(1)由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)•P(C)+P(A)P(耳)P(C)+P(A)•P(B)P(C)

=0.2x0.7x0.9+0.8x0.3x0.9+0.8x0.7x0.1=0.398•

(2)由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为

1-P(