2025届高中数学一轮复习专练：概率 与统计

概率与统计

一、选择题

1.某校团委对“学生性别和喜欢某视频APP是否有关”做了一次调查，其中被调查的女

生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频APP的人数占男生人数的工，女生喜欢该

视频APP的人数占女生人数的若依据小概率值〃的独立性检验’认为喜欢

该视频APP和性别有关，则男生至少有()

附：

a0.0500.010

Xa3.8416.635

n(ad-bc)2

/(a+Z?)(c+d)(a+c)°+d)，,l~a+^+L+t^

A.12人B.6人C.10人D.18人

2.已知变量x和y的统计数据如表:

X12345

y66788

根据上表可得回归直线方程y=Q.6x+a，据此可以预测当％=8时,V=()

A.8.5B.9C.9.5D.10

3.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆

柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端

放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入

底部的格子中.记格子从左到右的编号分别为0,1,2,…，10,用X表示小球最后落

入格子的号码，若P(X=@WP(X=%),则%=()

4.10<x；<x2<x3<x4<IO",随机变量。取值X］，了3，%的概率均为:，随机变量星

取值X1+X2+X3,X2+X3+X4,X3+X4+X1,的概率也均为1,若记£>化），£>化）

33334v7、，

分别是配魔的方差，则（）

A.D&）>D&）B.。阊=%）

C.<。值）D.0（4）与的大小不确定

5.为了研究某公司工作人员人数x（单位:名）和月销售量y（单位:万元）的关系，从

该公司随机抽取10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关

1010

关系,设其回归直线方程为丁=源+。.已知=320,XX-=2400金=5.若该公司工作

1=1(=1

人员为25名，据此估计其月销售量为（）

A.195B.200C.205D.210

6.已知随机变量X的分布列为

X51015

pp2+55-2-2pp

'666

则，=（）

A.lB.-lC.-D.一或―一

33223

7.为了研究某公司工作人员人数x（单位:名）和月销售量y（单位:万元）的关系，从

该公司随机抽取10名工作人员，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关

1010

关系,设其回归直线方程为丁=标+4.已知E>=320，E>=2400*=5•若该公司工作

z=li=l

人员为25名，据此估计其月销售量为（）

A.195B.200C.205D.210

8.已知随机变量X-BSp）,若£>（2X）=2E（X）,则〃=（）

A.—B.lC.lD.1

16842

二、多项选择题

9.若随机变量X~N（0,22）,y〜N（o3卜则（）

A.p（X<0）=0.5B.p（X<-2）=P（X>2）

C.P（X<-2）=P（y>2）D.p（X<-2）<P（y>2）

10.变量之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线y=/x+a经过点（10,吗），且相

对于点（11,5）的残差为02则（）

X99.51010.511

y1110m65

A.m=8B%=_2.8C.a=36D.残差和为0

11.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外,

没有其他区别）,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A和4表示从甲箱中取

出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件3表示从乙箱中取出的两球都是

红球，则（）

3g2

Ap（A）=yB.P（B）=HC.P{B\\）=­D,p（4|B）=-

50

三、填空题

12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题

的正确率均为0.5,并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为.

13.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已

知某同学答对每道题的概率均为工,且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题

3

后结束比赛,记该同学答对m道试题的概率为“加），则当根=时,/（回取得

最大值.

14.已知随机变量X服从正态分布N（2Q2）,且P（2<X<2.5）=O.36,则

P（X>2.5）=.

四、解答题

15.某工厂统计了某产品的原材料投入x（万元）与利润y（万元）间的几组数据如

下：

原材料投入x（万元）

利润y（万元）

（1）根据经验可知原材料投入x（万元）与利润y（万元）间具有线性相关关系，求

利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程；

（2）当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？

心.女T(…)_

附：b=~~--，a=y—bx-

x:~x

16.某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在

120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段，双方各派5

名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进

不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即

宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第

二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局

面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每

位球员罚进点球的概率均为工，乙队每位球员罚进点球的概率均为‘假设每轮罚球

23

中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

⑴求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲

队暂时以2:0领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.

17.某批发市场供应的排球中，来自甲厂的占40%,来自乙厂的占30%,来自丙厂的

占30%,甲厂生产的排球的合格率为95%,乙厂生产的排球的合格率为92%,丙厂生

产的排球的合格率为96%.

(1)若小张到该市场购买1个排球.求购得的排球为合格品的概率.

(2)若小李到该市场批发2个排球回去销售.购买的1个球来自甲厂，1个球来自丙厂，

已知来自甲厂的每个排球售出后可获得纯利润10元，没有售出则每个球将损失5元，

且每个球被售出的概率等于排球的合格率；来自丙厂的每个排球售出后可获得纯利润

8元，没有售出则每个球将损失6元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率.求小

李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望.

18.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据,如下表所示.

平均气温rc-3-4-5-6-7

销售额/万元2023273050

(1)根据以上数据,用最小二乘法求出回归方程丁=加+。；

(2)预测平均气温为一9。(2时，该商品的销售额为多少万元.

_n_n____

人2(王一元)(乂一歹)八

b=----------------=弓---------,a=y-bx

可2之x；—nF

Z=1Z=1

19.零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为

了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到

数据如下表：

零件直径(单位：厘米)[1.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

零件个数1025302510

已知零件的直径可视为服从正态分布N(〃Q2),〃，分别为这100个零件的直径

的平均数及方差(同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表).

⑴分别求4,的值；

(2)试估计这批零件直径在［1,044,1.728］的概率；

(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在［1.044,1.728］的个

数.

参考数据：Jo.052x0.228；若随机变量。〜M","),则

P(//-cr<^<4+。卜0.6827,P(//-2cr<^<〃+2o■h0.9545,

尸(〃一3b<《<〃+3b)比0.9973・

参考答案

1.答案：A

解析：设被调查的男生人数为X,则被调查的女生人数书，则2X2列联表为

付某视频APP的态度合

性别

喜欢不喜欢计

X5x

男生X

6~6

XXX

女生

I62

X3x

合计X

2~2

根据小概率值。=0.050的独立性检验，

认为喜欢某视频APP和性别有关，则J2>3,841，

3x(xx5xx2

2166633x

即/=—>3.841=x

XXgV0.0v5J0V

X-------X

22

则

又土，土，土均为整数,

236

所以男生至少有12人.

故选：A.

2.答案：D

解析:依题意，入=限=「二7,

即样本的中心点为(3,7)，于是7=0.6x3+a，解得。=5.2,即丁=0.6%+5.2,

当％=8时，预测y=06x8+5.2=10.

故选：D.

3.答案：B

解析：每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为工,

2

每一层均要乘以工，共做10次选择，

2

故X服从二项分布，

又E（X）=10x；=5,

令P（X=&）最大，

贝/P（x=%）/x"i）

、［p（x=k0）＞p（x=k0+iy

Q11

解得又因为0W左W10,kwZ,所以左0=5,

所以尸（X=左）WP（X=5）,左=0,1,2,3,…,10,

P（X=k）＜P（X=k0）,且3=5.

故选：B.

4.答案：A

解析：E(jJ=

4

。信）=；［（%-石信））2+（%—后信犷+国―£㈤了+（/—E（JJ）2

=；［（X；+考+X；+X：）—2（玉+X2+*3+%4）E（JJ+4E2信）］

℃）=；/+R+」_E信）j+（x2+；+X4_E（q）］+「3+；+XjE（.J+「4+；+X2_E（q）

；+-+,可+12（玉+々+七+/）E㈤+4炉Q

所以只需比较%；+%；+%；+X：与

七+/+X]）।[/+*1+%21的大小,

所以

<%；+*x

2X{X22再13<%；+%；，2X2X3<xf+%3，2X2X4<%2+42X3X4<%：+%；

2再%4<%；+%：，

所以①<][3（x；+x；+x；+靖+6（x；+%；+x；+靖]=（x；+x；+x；+靖,

所以力信）>。值）,

故选:A.

5.答案：C

1io一1io

解析：根据题意，计算％=—，工=32,y=—=240,g=5；

1°z=l1°i=l

a==240-5x32=80,

y=5%+80，

当x=25时，可得丁=5义25+80=205,

所以估计其月销售量约为205.

故选:C.

6.答案：C

解析：由分布列的性质，得加+5+5/-2〃+K=],即（2p_i）（3p+l）=0,解得°」或

6662

当p=—1时,e<0,不符合分布列的性质，所以p=L

362

故选：C.

7.答案：C

110_110

解析：根据题意，计算x=—力，=32,y=—=240齿=5；

10i=iioI=i

/.a==240-5x32=809

y=5x+80，

当x=25时，可得y=5x25+80=205，

所以估计其月销售量约为205.

故选:C.

8.答案：D

解析：依题意X满足二项分布，且£>（2X）=2E（X）,

即4D（X）=2矶X）,2D（X）=E（X）,

即2在（1一7?）=秋，解得/?=；,（夕=0舍去）.

故选：D

9.答案：ABD

解析：随机变量X~N（0,22）,Y~N（0,3?）,由正态分布的性质得：

对于A,B,尸（X<0）=0.5,P（X<-2）=P（X>2）,A,B正确；

对于C,D,P（-2<X<2）=P（-3<7<3），则P（X<-2）=P（Y>3）<P（Y>2）,C错误,D正

确.

故选：ABD.

10.答案：AD

解析：因为经验回归直线y=经过点（10,加）,

所以根=IQb+a，5机=11+1。+机+6+5,

因为相对于点（11,5）的残差为0.2,

所以5-(1仿+。)=0.2,

所以加=8%=.3.2，。=40A正确,B错误,C错误,

所以y=—3.2x+4O，

当x=9时,y=—3,2x9+40=11.2'

当无=9.5时,y=-3,2x9.5+40=9.6，

当x=10时'y=-3.2x10+40=8，

当x=10.5时，y=-3.2x10.5+40=6.4，

当尤=11时，y=—3,2x11+40=4.8，

所以残差和为11_11.2+10_9.6+8_8+6—6.4+5—4.8=0，D正确.

故选：AD.

11.答案：ABD

Qo02,0211

解析：玳4)=|人对,尸(8)=1清+不浸=方8对.

3C；

—x——

P（AB）5C5=j_,C错.

P(B|A|)=

P（A）310

5

2Cl

一X-T

p（4⑶=3=WL2,D对.

"P（B）1111

50

12.答案：A

16

解析：某人参加考试,4道题目中，答对的题目数X满足二项分布X~8，,；

所以P（X>3）=尸（X=3）+尸（X=4）=嗯）+,）=《

故答案为:工

16

13.答案：13或14

解析：由题意得（）（）20-m

ym-C™xl-g,0<zn<20，且7〃eN，则

/(«0-

X

X

20!220!1

x—2-------；------X-

m!(20-m)!3(m-l)!(21-m)!3

故＜

20!x—1>_____2_0_!____x2

m!(20-m)!3-(m+l)!(19-m)!3

又和eN，所以加=13或加=14,故当/九=13或7〃=14时,/（加）取得最大直

14.答案：0.14

解析：由题可得尸(X>2)=0.5,因此尸(X>2.5)=P(X>2)—尸(2<XV2.5)

=0.5-0.36=0.14.

15.答案：（1）亍=22尤—1040

（2）原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.

解析：（1）设利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为

y=bx+a

由已知元=((82+84+85+86+88)=85

j=1(770+800+830+850+900)=830，

i=\

一\2

%一%)=9+1+0+1+9=20,

i=l

Q=y-标=830-22x85=-1040，

所以利润y（万元）关于原材料投入%（万元）的线性回归方程为$=22x-1040；

（2）由（1）当％=100时，9=22x100—1040=1160,

所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为H60万元.

16.答案：（1）1

解析：⑴设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A,未罚进点球的事件为限乙

队球员罚进点球的事件为5未罚进点球的事件为万.

设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意，得在每一轮罚球中两队

打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，

则P（C）=P（可xP回+P（A）xP㈤[1一；x]l.|+；xg=：+g=；,

故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为

2

⑵因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即

四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.

①比分为2:1的概率为

P（孙P（B>P（孙P（耳+P（孙P（耳•P（孙P（B）

11

------1------

18189

②比分为2:2的概率为P（入）（入）——=

③比分为3:2的概率为尸（A）.尸⑻.尸（孙P（5）+尸（孙P（5）.P（A）.P⑻

122

二1-x—2x（1——11X—2xc2=—2

23239

综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为，+工+2=±

9999

17.答案：(1)94.4%；

⑵16.69

解析：(1)设A,B,C分别表示购买的排球来自甲厂、乙厂、丙厂，。表示购买的排球

是合格品,则尸(4)=40%,P(B)=P(C)=30%,P(D|A)=95%,P(D|B)=92%,

P(D|C)=96%

所以P(D)=P(A)-P(D\A)+P(B)-P(D|B)+P(C)-P(D|C).

=40%x95%+30%x92%+30%x96%=94.4%.

(2)设小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润为X元，

依题意可得X的可能取值为10+8,10-6,—5+8,-5-6,即18,4,3,-11.

p(X=18)=0.95x0.96=0.912,

p(X=4)=0.95x(1-0.96)=0.038,

p(X=3)=(1-0.95)x0.96=0.048,

P(X=-ll)=(l-0.95)X(1-0.96)=0.002.

所以£(X)=18x0.912+4*0.038+3*0.048+(—11)x0.002=16.69,

故小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望为16.69元.

18.答案：(1)9=-6