2024学年无锡市某中学高一数学上学期期中考试卷及答案解析

无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期中试卷

高一数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1设集合"'={123,4},则()

A.{1,2}B.{2}

C.{1,2,3,4}D.{3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】由补集的定义求解.

【详解】集合幺={1,2},8={1,2,3,4},则6sz={3,4}.

故选：D

2.函数/(x)=H1+而三的定义域为()

A.(-2,4]B.(-4,-2]C.[-2,4)D.[-4,-2]

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.

【详解】由题意得足+：虫,解得—2〈x<4,

故定义域为[-2,4).

故选：C

x2x<0

3.已知函数/(x)=<1，g(x)=-/(x),则函数g(x)的图像是()

——x>0

【解析】

【分析】由g（x）=-/（x）可知g（x）图像与/（X）的图像关于X轴对称，由/（X）的图像即可得出结果.

【详解】因为g（x）=-/（x），所以g（x）图像与/（X）的图像关于X轴对称,

由/（X）解析式，作出/（X）的图像如图

从而可得g（x）图像为D选项.

故选：D.

-x+3a,x>0

4.已知函数/（》）=<21八在定义域R上是减函数，则实数a的取值可以为（）

x-tzx+l,x<0

11

A.-B.-C.1D.2

32

【答案】A

【解析】

【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得.

a八

【详解】由题意可得《2，解得OWQW—,

—O+3QVO—tzx0+1

故选项中A正确，B、C、D错误.

故选：A.

21

5.已知2m=9〃=6，则一+—二（）

mn

A.log618B.log65C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.

【详解】由2"'=9"=6，可得机=log26,w=log96,

2121

所以一+—=j--+---=21og62+log69=log64+log69=log636=2.

mnlog2olog9o

故选：D.

6.“”=1”是“幕函数/(%)=(〃2-3〃+3卜2"-3在(0,+功上是减函数,,的一个()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据幕函数的定义和性质即可求解.

【详解】因为/(x)=(〃2—3〃+3)/-3是基函数，

所以〃2一3〃+3=1即3〃+2=0解得”=1或〃=2,

当77=1时，/(X)=X-1=!在(0,+。)上是减函数，

当〃=2时，/(%)=》在(0,+。)上是增函数，

所以“n=1”是鼎函数/(x)=(»2-3〃+3)必"-3在(0,+⑹上是减函数，，的充要条件，

故选:C.

7.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的

关系为lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为&和

E2,则善=()

E]

A.IQ105B.1.05C.10°75D.0.75

【答案】C

【解析】

【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出.

【详解】lg£=4.8+1.5M,

IgE,=4.8+1.5x8=16.8,1典=4.8+1.5x7,5=16.05,

=10168,，2=10〃05,

..A=1O0-75,

E?

故选：C

8.若关于x的方程4'+人2㈤-标+1=0,有一个正实数根和一个负实数根，则实数a的取值范围为

()

A.(-1,+1)B.1,V3—C.1,A/3+1jD.+1,+°0)

【答案】A

【解析】

【分析】令2*=/,得到r+2或一/+i=o有两个根。/，其中。=2为〉1,方2=2*e(0』)，令

h(t)=t2+2at-a1+\,得到不等式，求出实数a的取值范围.

vX+1222

【详解】令2"=，，4+a-2—a+l=0=>t+2at—a+1=0J

设关于X的方程4、+Q•2、+J/+1=o有一个正实数根占和一个负实数根%,

故广+2威一/+1=0有两个根;名，其中。=2为〉1,L=2*e(O,l),

令//1)=r+23一/+1,则匕A(0)=~a2+1>0

'')U(l)=1+2a-a2+1<0

解得-1<a<1-V3>

故实数a的取值范围是(-1,-G+l).

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.设正实数X/满足2x+y=l,贝ij()

111

A.孙的最大值是一B.—H"—的最小值为4

82xj

C.4—+了2最小值为32x1

D.—+「最小值为2

y2x

【答案】ABC

【解析】

【分析】直接利用基本不等式即可求解A,利用乘“1”法即可求解B,利用完全平方式的性质即可求解C,

将“1”代换，即可由基本不等式求解D.

【详解】对于A,2x+y=1>2yj2xy,解得中〈,，

8

2x+y=111

当且仅当',即x=：,歹=不时等号成立，故A正确;

[2x=y42

一11z1l、/c

对于B,丁+―=(丁+一)(2x+y)=2+S+——N2+2jl=4,

2xy2xy2xy

y-2x11

----II

当且仅当<2xj即x=—/=—时等号成立，故B正确;

42

[2x+y=l

对于C,4x?+了2=(2x+y)2-4町=1一4町2；,当且仅当x=；y=,时等号成立，C正确;

2

工丁2x12x2x+y.2xy、，_l2xy.

对于D,—+—=—+-----=1+—+^—>1+2———=3,

ylxy2xy2x\y2x

J-1]

当且仅当《2xj即》=一/=—时等号成立，故D错误.

42

[2x+y=l

故选：ABC.

10.下列四个结论中，正确的结论是（）

A.y=Jl+x.Jl-x与y=Jl一〃表示同一个函数

B.定义在R上的偶函数/（%）满足：f（3）=0,且对任意再，9£[°，+。）（西。、2），都有

/(%)一/(%)<0,则（2x—l）/（x）>0的解集是，3,g，（3,+”）

x2-Xx

C.设函数/（x）=/+1,则对VX],/eR,f<」（占）；〉（》2）恒成立

D.已知2<。<3,—2<b<—1,则@的取值范围是（一3,—1）

b

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，求出两函数的定义域相同，对应法则相同，为同一函数；B选项，根据函数的奇偶性和

单调性得到xe(-3,3)时，/(x)>0,当xe(-co,-3)U(3,+co)时，/(x)<0,从而解不等式,求出解

集；C选项，作差法比较大小；D选项，求出(利用同号可乘性得到1<-@<3,求出@的取

2bbb

值范围是(一3,—1).

I---,---fl+x>0

【详解】A选项，y=+Jl-x中,令八，解得T<xWl,

-l-x>0

y=J172中,令1—72之0，解得—1W/W1,

故两函数定义域相同,又y=Jl+x-A/1—x=J1一函，

故两函数对应法则相同，所以两函数为同一函数，A正确；

B选项，由题意得/(x)在［0,+8)上单调递减，

偶函数/(x)满足/(3)=0,则〃—3)=0,且/(x)在(-8,0］上单调递增,

所以当xe(-3,3)时,/(x)>0,当相(一00,-3川(3,+00)时，f(x)<0,

(2x-l)/(x)>0,若/(x)>0,则2%一1>0且》《(一3,3),得到

若〃x)<0,则2x—l<0且-3)U(3,+oo),解得xe,

综上，不等式解集为xe(—co,—3)u［g,3；B错误;

C选项，/(x)=x2+1,对VxpXzCR,

Xl+Z、/(Xl)+/(%)

xx+x2I+]_西+々+2

222

L,

424

当且仅当可=々时，等号成立,

心匕/«)+/(%)恒成立,c正确;

故/

22

D选项，已知—2<b<—1,所以-1<?<一!，-<-7<l,

b22b

又2vav3,故一x2<—<1x3,即1<—<3,

2bb

na

所以—3<—<—1,—的取值范围是（—3,-1）,D正确.

bb

故选：ACD

11.己知集合V={x|x=%2一〃2,机,,则（）

A.26eMB.32EM

C.Wx=4k-l,keZ,xeMD.\/x.y,xy

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据条件得》=机2-〃2=（加+冷（机一冷，从而有无为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B

的正误；根据4左-1=（2k）2-（2左-I1,可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分

X/中至少有一个为4的倍数和x/都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解.

【详解】由X=加2—〃2=（m+”）（加一7?）,

则掰+〃，加-〃同为奇数或同为偶数，所以尤为奇数或4的倍数，故A错误；B正确；

对于选项C,因为4k-1=（2左）2-（2左-球，故C正确；

对于选项D,由则X/为奇数或4的倍数，

当X/中至少有一个为4的倍数时，则孙为4的倍数，所以孙eM,

当羽。都为奇数时，则可令x=2左+1,y=2月+1温,成eZ,

所以9=（2左+1）（2A:2+1）=2（2kxk2+kx+k^+\,kx,k2eZ,所以中，

故Vx/e",中eV,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于》=机2一〃2=（7〃+小（机一〃），从而得出尤为奇数或4的倍数，即

可求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分.

4

12.计算：8?+2024°+Ine=------

【答案】9

【解析】

【分析】利用指数运算和对数运算法则得到答案.

、-2

【详解】81+2024°+Ine4=(23)3+1+4=4+1+4=9-

故答案为：9

13.已知函数/(x)是偶函数，当x<0时，/(x)=?-3x+l,则当x>0时，/(x)=

【答案］-x3+3尤+1

【解析】

【分析】根据偶函数的性质求解即可.

【详解】若x>0,则一x<0,

当x<0时，/(x)=x3-3x+l,所以/(-x)=-/+3x+l,

又因函数/(x)是偶函数，所以=

所以当x>0时，/(x)=-x3+3x+l,

故答案为：-无3+3X+1

14.我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函

数，有同学发现可将其推广为：函数J=/(x)的图象关于点成中心对称的充要条件是函数

3151

y=/(x+a)—6为奇函数.据此，对于函数g(x)=/一彳一+二工一三，其图象的对称中心是

248

231「2022、12023、

+g2024J+'"+gUo24J+gU024J

2024

6069

2

【解析】

【分析】根据条件分析得到-g(x+a)+b=g(r+a)-b,由此列出关于a,6的方程并求解出a,6的值,

则对称中心坐标可知；根据条件可得g(l-x)+g(x)=3,然后根据函数值的对称特点求解出原式的值.

【详解】设g(x)的对称中心为(。/)，则y=g(x+a)-3为奇函数,

所以一g(x+a)+b=g(-x+a)-b,

3215/

即一(x+a)H—(X+Q)-------(X+Q)H----F6=(-x+a)--(-X+«IH---1-x+a

248)2、41)8

化简可得(6a—3)/+2/_3/+争一2b=0,

1

6a-3=0Cl———

2

所以，解得《

2a3-3a2+—a---2Z)=0,3

24b=—

2

所以g(x)图象的对称中心为Kg

因为g(x)图象的对称中心为［l，］］，所以_g〔x+51+5=8(—%+万］一,,

所以81_》+3］+8］》+3］=3,所以g(l—x)+g(x)=3,

所以

”T+H』+心］=.T+(叫=3

(2024J(2024J{2024)(2024J(2024J(2024J(2024J(2024J

所以原式=3xl011+g［*1］=3033+g，］=3033+［=^,

6069

故答案为:

:32

【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：

(1)若函数/(x)满足/(a+x)=/(a-x)或/(2a-x)=/(x)或/(2a+x)=/(-x),则/(x)的一

条对称轴为x=a；

(2)若函数/(x)满足/(a+x)+/(a-x)=26或/(2a—x)+/(x)=26或/(2a+x)+f(-x)=2b,

则/(x)的一个对称中心为(a⑼.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.设集合0=1<,N={x[0Vx<3},B=^x\m<x<2m+l,机eR}.

(1)m=2,求NUB；

(2)若4n3=8,求m的取值范围.

【答案】(1)^05={%|0<^<5}

(2)(-oo,-l)o[0,l]

【解析】

【分析】(1)求出5={x|2VxW5},根据并集概念求出答案；

(2)根据交集结果得到分8=0和8W0两种情况，得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

当机=2时，8={x[2Wx<5},

因为N={x|0VxW3},所以N={x[0Vx<5}.

【小问2详解】

由题意得,

①若8=0,则加>2m+1,解得加<一1；

②若,

m<2m+1

需满足〈掰20,解得00加01,

2m+1<3

综合①②得：加的取值范围是(一

16.(1)函数y=f(x)是一次函数，且/[/(x)]=9x+8,求/(x)的解析式;

(2)已知函数/(切=/彳的定义域为(-2,2),且判断/(x)的单调性，并用函数单调

X十4\J1/

性的定义进行证明.

【答案】⑴〃x)=3x+2或〃x)=—3x—4；⑵函数/(x)在区间(一2,2)上单调递增，证明见解析

【解析】

【分析】(1)设〃x)=ax+6,得到/[/(x)]=a(ax+b)+b,从而对照系数，得到方程组，求出a,6,

得到解析式;

2x

(2)根据/求出a=2,得到/(x)=,定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形

x-+4

判号，下结论.

【详解】⑴设/(x)=ax+6,则/[/(x)]=/(ax+b)=a(ax+b)+b,

2a=3a=-3

a=9C，解得《

ax+ab+b=9x+8>,77b=2'或

ab+b=8b=—4

：.f(x)=3x+2或/(x)=-3x-4；

42x

(2)~17,故。=2，故/(x)=2上4

XIT-

函数/(x)在区间(-2,2)上单调递增，理由如下:

Vx19x2G(-2,2),且再<々，

(x；+4)—Z(X；+4)=2(超一%)(再々一4)

网也

有/⑺-/(%)=2-2=2

、x；+4x2+4,(x；+4)(x；+4)(x：+4)代+4)'

由于-2VxiVx2V2,・•・X2—Xi>。/凶―4<0,・•.f(xj)-f(x2)<0,

即/(再)</(》2)，

所以函数/(x)在区间(-2,2)上单调递增.

17.已知函数/("=,一同，g(x)=-x2+2x+l.

斗

5

J__L_L4..

l__L_J

丁I丁：口\2.

FT-1

i—r-i

-5卜生二%2

.L.rl

：'r2

1

匚⑷r—i—i—r-i

-5

(1)VxeR,用机(x)表示/(x)，g(x)中的最小者，记作机(x)=min{/(x),g(x)},当=1时,

分别用图象法和解析法表示函数加(力，并写出加(％)的单调递增区间;

⑵设%⑴=尸⑴_g(x),xe[-l,l],求〃(x)的最小值°(a).

【答案】(1)答案见解析

/+2。+3,。《—3,

Q2_2Q_3.

(2)9(a)=<-------------,-3<a<1,

2

u—2a—1,a21.

【解析】

【分析】(1)。=1时，/(x)=|x-l|,先求出两函数的交点坐标，从而得到函数图象，并根据图象写出

解析式;

Q+1|+4―j3,工4一1,1],根据对称轴，分一4―1,.a+1十

(2)得至次(切=2X--------1<-----<1和

22

近21三种情况，结合函数单调性得到最小值，得到答案.

2

【小问1详解】

a=］时，/(x)=|x-l|,

当x>l时，-x2+2x+l=x-b解得x=2,负值舍去,

当x<l时，—x?+2x+1=1—x，解得x=0或x=3(舍去),

画出掰(x)=min{/(x),g(x)}的图象，如图所示,

—x2+2x+1,x<0

解析法表示，加(x)=<|x-l|,0<x<2,

—x2+2x+1,x>2

由图象可得，单调递增区间为(-。⑼和(1,2)；

【小问2详解】

Q+1I〃2―2a_3

/z(x)=|x_6?|+_2x_1—2%2_2(Q+1)X+〃2_1=21x-।+2

~T~

①当等4—1,即aW—3时，此时最小值为〃（—1）=/+2。+3,

②当T<gl<l,即—3<。<1时，此时最小值为〃。+1a~-2a—3

2

③当冷’21，即。之1时，此时最小值为=2。-1，

a-+2a+3,aW—3,

G—2a—3.

综上所述:9（。）=<--------------,-3<a<1,

2

Q?-2a—1,

18.如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形4BCD和

构成的十字形地域.四个小矩形ZM0。、MNFE、BCPN、与小正方形瓶NPQ面积

之和为400m2,且.AM=ME=3NB.计划在正方形跖VPQ上建一座花坛，造价为1000元/n?；在四

个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/n?；在四个空角（图中四个三角形）上铺草

坪，造价为200元/n?.设2。长为了（单位：m）.

（1）用x表示NW的长度，并写出x的取值范围;

（2）用x表示花坛与地坪的造价之和；

（3）设总造价为C（x）元，当/。长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价.

400-x2

【答案】（1）AM=,0<x<20

4x

（2）j^=600^+160000

（3）当幺。=46m时，总造价最小为240000元

【解析】

【分析】（1）根据题意结合矩形ZM0D的面积分析求解.

(2)根据题图列出式子即可表示出总造价.

(3)由(2)问的结果再根据基本不等式求解即可.

【小问1详解】

由题意：矩形的面积为g(400-x2),

O

2

EIu3400—%

因止匕AM=---------,

8x

因为NM>0,所以0<x<20.

【小问2详解】

7=1OOOx2+400x(400-x2)=600x2+160000.

【小问3详解】

/2、2

由题意可得：j=1OOOx2+400x(400-x2)+200x—x—x-x400-X

9642、x,

=1。。［空+瞥］+14。。。。，(。<“<2。)

I4x)

由基本不等式y>100x2X宏等+140000=240000,

当且仅当空=型毁，即x=4指时，等号成立，

4x

所以当x=4石时，总造价歹最小，最小值为240000元.

19.已知函数/(x)=《J+加是奇函数.(e是自然对数的底)

e+1

(1)求实数加的值；

(2)若x>0时，关于龙的不等式/(2x)W2夕'(x)恒成立，求实数上的取值范围；

(3)设g(x)=「〃、,对任意a,b,ce(0用，若以a,b,C为长度的线段可以构成三角形时，均有以

4-/(x)

g(a),g(b),g(c)为长度的线段也能构成三角形，求实数/的最大值.

【答案】(1)-4

(2)k>\

(3)21n2

【解析】

【分析