2024学年通化市某中学高二数学上学期期中考试卷（附答案解析）

2024学年通化市集安一中高二数学上学期期中考试卷

满分150分，时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第二章、第三章3.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.直线y=i0°一氐的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

2.某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色

花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（）

185152

A.——B.——CD.-

5314,537

22

3.已知椭圆C:土+'=1的短轴长为4,则加=（）

mm

A.2B.4C.8D.16

4.若方程a/+"2+岳；一4歹+〃=0表示一个圆，则b的取值范围为（）

B.

r4G2

c.-----,----

33DJ呼。卜［。■明

5.已知直线/与直线x-y+5=0平行，且与椭圆x2+匕=1的交点为则

4

乃+歹2=（）

A.—4（西+B.4（%j+x2）

6.若直线歹=左（'-3）-1与曲线Cy=，2-Y有两个不同的公共点,则左的取值范围是（）

3+V2

A.-年B.7-，-7

(,3+V23+

C.D.(-oo,-l)u|-^

‘―二7

2

7.已知圆/：（x+1）+v2=1内切于圆P,圆P内切于圆B：(x-l)"+y2=64,则动圆尸的圆心轨迹

方程为（）

222222

xy122

工+匕=1—।——i------1-------Ixy1

A.4945B.8177C.4933D.—+—=1

95

TT~4T44

8.已知圆M:/+6y=0与圆N:(x-cos6)2+(>-sin。)？=1(0<2兀)交于43两点，则

△48河为圆M的圆心）面积的最大值为（）

99

A.V2B.-C.2亚D..

42

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线x+my-m-2=0,l2：4x+y-9=0,贝!]()

A.当加=一4时，\-L12B,存在实数相，使得/"/4

D.4与直线4x+>+8=0之间的距离为JF7

C.当他=4时，-L12

10.有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽、蓝色水晶

崽崽、粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒,设事件A为“所

选盲盒中有红色水晶崽崽”，3为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，C为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则

()

A.A与B不互斥B.P(^)+P(5)+P(C)=1

P（BIC）=：

D.A与8相互独立

II.已知曲线c：/+/—26忖+2M=0,则（）

2

A.C关于〉轴对称B.C关于原点对称

C.。的周长为等D.直线y=0.2x—0.2与C有2个交点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从1,2,3,4,5,7这6个数中任取2个数，则这2个数均为质数的概率为.

13.在V48c中，/(—5,0),C(5,0),\AB\=2\BC\,则点3的轨迹方程为.

14.已知尸为椭圆C上一点，F],乙为。的两个焦点，/产片笈=30。，忸片|=|片四，则。的离心率

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)若直线/经过点(、后」)，且与直线底+2y-1=0平行，求直线/的一般式方程；

(2)若直线/经过点(-3,7),且/在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线/的斜截式方程.

2

16.A,B,。三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知A闯关成功的概率是一，A,

3

B,。三人闯关都成功的概率是工，A,B,C三人闯关都不成功的概率是

612

(1)求8,C两人各自闯关成功的概率；

(2)求A,B,C三人中恰有两人闯关成功的概率.

17.已知圆。：/+祈+/+为=34+82"为常数).

(1)当2=2时，求直线4x-3y-4=0被圆C截得的弦长.

(2)证明：圆C经过两个定点.

(3)设圆。经过的两个定点为尸，Q,若加(412-X),S.\PM\=\QM\,求圆C的标准方程.

22___

18.已知椭圆C：二+-^―=1(«>1)的左、右焦点分别为两点均在C上，且丽•妮=0,

FX,F2,A,B

aa-1

/F、AB=ZBAF2.

(1)若|福1=1通I，求C的方程；

(2)若|而国正直线与y轴交于点P,且彳万=3而，求四边形/尸出尸2的周长.

19.已知。为坐标原点，动点尸到X轴的距离为且尸『=x+〃d2,其中乙〃均为常数，动点尸的

3

轨迹称为（乙〃）曲线.

（1）若［g,〃）曲线为焦点在〉轴上的椭圆，求〃的取值范围.

（2）设曲线。为卜曲线，斜率为左（左彳0）的直线/过。的右焦点，且与。交于48两个不同的

点.

（i）若后=2,求以同；

（ii）若点3关于x轴的对称点为点。，证明：直线40过定点.

2024-2025学年度上学期期中考试

高二数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第二章、第三章3.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.直线y=i0°一屈的倾斜角为（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

【答案】C

【解析】

【分析】由倾斜角与斜率的关系计算即可得.

【详解】由左=-G，得倾斜角为120。.

故选：C.

2.某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色

花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（）

4

185152

A.—B.—D.

53147

【答案】A

【解析】

【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.

18018

【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为

200+150+18053

故选：A

22

3.已知椭圆C:土+二=1的短轴长为4,则加=（）

mm~

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根据短轴长求得〃=4,讨论加，加2大小及椭圆定义求参数.

【详解】由C的短轴长为4,得26=4,即6=2,则62=4,

若加〉〃/〉0no（加＜1,则加2=4，显然矛盾;

若加2〉加〉0=＞加〉1，则加=4.

经验证，当加=4时，椭圆C:土+J=1的短轴长为4,

mm

故选：B

4.若方程a/+"2+人工一4^+a=0表示一个圆，则Z?的取值范围为（）

、

7

【答案】D

【解析】

【分析】将方程化为圆的一般方程，利用。2+£2_4E〉。列式即可求.

5

【详解】若方程ax?+勿2+Z?x-4y+。=0表示一个圆，则a=6w0,

方程可化为x+y+x—y+1=0,

b

所以1+（—f）2—4>0,解得一&5<b（述，且6不等于0,

I"33

所以一o或0<人<^1.

33

故选：D

5.已知直线/与直线x—.v+5=0平行，且与椭圆必+21=1的交点为/（再,%），3（x2，%），则

4

%+%=（）

A.-4（%j+x2）B.4（x（+x2）

C.——+Xj）D.—+%2）

【答案】A

【解析】

【分析】根据两点在椭圆上，结合斜率，利用点差法可得解.

【详解】因为直线/与直线x-y+5=0平行，

所以直线/的斜率为1,即匕二匹=1,

国-x2

因为A,B都在椭圆/+上=1上，

4

22

所以x；+\-=l,xl+--=l，

则4（X：_x；）+y；-y；=0,

即4（再+%2）（%-马）+（%+%）（乃-%）=0,

所以4（苞+%）+（弘+必）1％=0，

所以M+外=-4（再+%）,

6

故选：A.

6.若直线>=左（》-3）-1与曲线C：y=52-有两个不同的公共点,则左的取值范围是（

3+V2

A.B.

T-，-7

(3+亚/।3+^2

1D.(一叫-1)U———

’一7

【答案】C

【解析】

【分析】根据曲线的方程可得曲线3；=也二？是以原点为圆心，、回为半径的圆的x轴的上半部分（含

x轴），求出直线与圆相切时左的值，再结合图形即可求解.

【详解】由y=72-x2得Y+y2=2(y>0),

所以曲线是以原点为圆心，、巧为半径的圆的X轴的上半部分（含X轴），

直线y=Mx-3)-1过定点尸(3,-1),

当直线>=左（了一3）—1与圆/+/=2Q»0）相切时,

,|0-0-3A：-l|r-

圆心到直线的距离d='_I——了=72,

J1+左2

解得上=-1或左=’（舍去），

7

当直线歹=左（》+2）+1过点/（"0）时,

直线斜率为人皆

7

7

结合图形可得实数左的取值范围是-1,-言叵].

故选：C.

2

7.已知圆/：（x+l『+y2=1内切于圆p圆P内切于圆3：（x-l）+/=64,则动圆尸的圆心轨迹

方程为（）

222222

XV1XV1XV122

A.49+45=lB.8f+T7=lC.49+33=lD.土+匕=l

——————95

444444

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：2c=2,2a=7,再利用。，b,c的关系求解方程即可.

【详解】圆A的圆心/（—1,0）,半径。=1,圆2的圆心8（1,0）,半径々=8,

设圆尸的半径为R,

由于圆A内切于圆尸，所以陷|=尺-【尺-1；

由于圆P内切于圆B,所以|必|=々-尺=8-尺；

由于+|尸川=7＞[48卜2,

所以点尸的轨迹为以A,B为焦点,长轴长为7的椭圆.

74945

则2a=7,c=1,所以a=—,b2=a2-c2=--\=—；

244

22

工+匕=1

所以动圆尸的圆心的轨迹方程为变变一.

TT

故选：A

8.已知圆M:犬+/一6y=0与圆N:（X-cos0）2+（y-sin0）2=1（0＜。＜2兀）交于43两点，则

△ABM（M为圆"■的圆心）面积的最大值为（）

r-9r-9

A.y/2B.—C.2V2D.—

【答案】C

【解析】

8

【分析】求出两圆的半径，从而可得48<2,因为为锐角，所以要使的面积最大，只

要sin取得最大值即可，此时|48|=2,解出/的面积，即可得解.

【详解】由题意得：M:X2+(J-3)2=9,所以圆心M(0,3),半径r=3,

由两圆相交于45两点可知：|肱4|=0四|=r=3,

所以的面积S".=||M4|x|Affl|xsinZ^Affl

=—x3x3xsinZ.AMB

2

9

=-sinZAMB,

2

因为N是半径为1的圆，所以|45区2,

当|/周=2时，|ACV|=V32-l2=2V2，又pw|=Jcos28+(sin6—3)2=210—6sin6，

1DB

此时由J10—6sin6=2jl，解得sin6»=§,cos(9=±^->故|4B|可以取最大值2；

所以当|4B|=2时，NAMB最大,且是锐角，

根据函数>=$由1的单调性可知：当|/同=2时，sin/ZMB最大，

222222

十入力­el，曰力MA+MB-AB3+3-27

在中由余弦定理可得：cosZAMB=-----------------------=--------------=—

2MAxMB2x3x39

4V2

所以sin/Z〃B=

9

所以义晅=2亚，

△ADJVI29

故选：C.

【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找的

最大值，从而确定面积的的最大值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4：x+my-m-2=0,l2：4x+y-9=Q,则（）

9

A.当加=—4时，/1，，2B,存在实数相，使得/〃右

C.当机=4时，/1_L，2D.4与直线4x+y+8=0之间的距离为JF7

【答案】AD

【解析】

【分析】通过加的取值结合垂直和平行的要求判断A,B,C；,利用平行线间的距离公式判断D.

【详解】对于A,当加=一4时，4：x-4V+2=0,/2：4x+y-9=0,

止匕时1x4+（—4）xl=0,所以故A正确；

对于B,当/]〃/2时，1x1—4加=0且1x（-9）*4x（—加—2）,无解，

故不存在实数如使得4〃/2；故B错误；

对于C,当加=4时，k：x+4y-6=0,l2：4x+y-9=0,

止匕时lx4+4xlw0,所以4与4不垂直，故C错误;

对于D,因为4x1—4x1=0且4x8w4x（—9）,所以乙与直线4x+>+8=0平行,

-

|9—8lI—

距离为---J*,故D正确,

信+干

故选：AD.

10.有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽、蓝色水晶

崽崽、粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒,设事件A为“所

选盲盒中有红色水晶崽崽”，3为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，C为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则

)

A.A与8不互斥B.P（Z）+P（8）+P（C）=1

C.P（BIC）=：

D.A与B相互独立

【答案】ACD

【解析】

【分析】由互斥事件，独立事件，以及各个事件的概率关系逐一判断即可;

【详解】对于A,A和8可以同时发生，故A正确;

10

对于B,因为P（/）=；,P（8）=；,P（C）=；,

所以P（/）+P（3）+P（C）Wl,故B错误；

对于C,P（BcC）=—x—=—,故C正确；

对于D,因为尸（48）=；,所以P（/）P（5）=P（45）,故D正确；

故选：ACD.

11.已知曲线C:—+j；2—2+2M=0,则（）

A.。关于丁轴对称B.C关于原点对称

C.C的周长为也D.直线y=o.2x—0.2与。有2个交点

3

【答案】ABC

【解析】

【分析】设点（%,九）在曲线。上，分别代入点（-%,%）与（—/,—%），可判断AB选项；。分别确定

曲线在各象限时的图形及其对应的曲线，可判断C选项与D选项.

设点（%，%））在曲线。上，即*+/一2百|%|+2|比|=0,

A选项：代入点（一%,%）,可知+4-2百卜x（J+2瓦卜片+y：-26卜0|+2卜0|=0,

即点（-/，％）在曲线C上恒成立，所以曲线C关于〉轴对称，A选项正确;

B选项：代入点（一x（）,,得（-/）+（-%）—2百卜x（J+2卜%|=k+y；—26卜0|+2M|=0,

即点（-5,-%））在曲线C上恒成立，所以曲线。关于原点对称，B选项正确；

C选项：当x=0时，了=0,当y=0时，工=0或工=±2右，即C过（0,0）,卜26,0）,（273,0）a

点，

当x〉0,y〉0时方程为Y+J?—2氐+2y=0，即（X—G『+（y+l）2=4,表示以点（百1）为

11

圆心，2为半径的圆在第一象限的部分；

当x>0,y<0时方程为2瓜一2y=0,即（x—百『+（y—1）2=4,表示以点（G』）为圆

心，2为半径的圆在第四象限的部分；

当x<0,V〉0时方程为x2+v2+2瓜+2y=0,即（x+百『+（y+11=4,表示以点卜声,—1）为

圆心，2为半径的圆在第二象限的部分；

当x<0,y<0时方程为/+/+2瓜—2y=0,即（x+G『+（y—1/=4,表示以点卜6,1）为

圆心，2为半径的圆在第三象限的部分；

曲线在第一象限部分的方程为x-+y2-2氐+2j=0设圆心为M-1）,与x轴的两个交点为

0（0,0）,2（2道,0）,则N（WB=g,

2兀4兀

所以第一象限内图形所表示弧长为2x——二——，

33

4兀16兀

又曲线。关于>轴及原点对称，所以曲线c的周长为4x——=——，c选项正确；

33

D选项：直线歹=0.2x-0.2,过点（1,0）,在曲线C右半部分的内部，

所以与曲线。右半部分有2个交点，且直线不过坐标原点，

又直线y=0.2x—0.2当6时，尸/二1,

5

即过点_6一,_],在曲线C左半部分的内部，

所以直线与曲线C左半部分有2个交点，

综上所述直线与曲线C有4个交点，D选项错误；

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从1,2,3,4,5,7这6个数中任取2个数，则这2个数均为质数的概率为.

2

【答案】-##0.4

5

【解析】

【分析】利用列举法求解，先列出从6个数任取2个数的所有情况，再列出这2个数为质数的情况，然

后利用古典概型的概率公式求解即可.

12

【详解】由1,2,3,4,5,7这6个数中任取2个数构成的样本空间为：

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7)),

所以样本空间Q共15个样本点，

记2个数均为质数为事件A,

则Z={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)),事件A共包含6个样本点，

/、n(A\62

所以这2个数均为质数为事件A的概率为尸(4)=47K

12)155

…12

故答案为：一.

5

13.在V4BC中，/(—5,0),C(5,0),\AB\=2\BC\,则点8的轨迹方程为.

,,50

【答案】x+v-----x+25=0

-3

【解析】

【分析】设点B(x,y),分别表示|/可与忸化简即可.

【详解】设点5(x,y),

则M8|=J(X+5)2+『,\BC\=/x-5)2+y2，

贝1^(%+5)2+/=2/x-5)2+y2，

、050

化简可得x2+y2——x+25=0,

•3

50

故答案为：x9+y0-----x+25=0.

3

14.已知尸为椭圆C上一点，片，鸟为C的两个焦点，NP43=30。，|尸耳|=|不目，则C的离心率

为.

［答案］3±1与

2

【解析】

【分析】利用等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值结合椭圆的定义与性质计算即可

【详解】如图，取线段的中点连接大反，

13

因为|尸耳1=1与工I，N两巴=30。,

所以/片W=75。，且片

\PM\,、-

所以cosZF^PM=^j-----；=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=

iS|PM|=(V6-亚|尸用=4左，

c_2c闺闾I0用_4k

所以c的离心率为\PF{\+\PF2\~IPFJ+IP^I-4k+2(胃-二「

=2=.=0(0-1-网=1-G)=百+1—/

2+V6-V2V2+V3-1(V2-1V-3—2V22

6+1-亚

故答案为:

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)若直线/经过点(、行,1),且与直线后+2y-1=0平行，求直线/的一般式方程；

(2)若直线/经过点(-3,7),且/在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线/的斜截式方程.

7

【答案】(1)-x/5x+2y—7=0(2)y=—或y=x+10

【解析】

【分析】(1)由题意设直线方程为：氐+2y+C=0,代入(逐」)即可求；

(2)分直线截距为0和不为0两种情况讨论即可求.

【详解】(1)设所求直线方程为：45x+2y+C=0,

因为直线/经过点(逐,1卜

14

所以6XJ?+2xl+C=0,解得C=—7,

所以直线/的一般式方程为JL;+2y-7=0；

7

（2）当直线/的截距为0时，直线/方程为：y=——x,

-3

当直线/的截距不为0时，由题意可设直线/方程为：x-y=a,

因为直线/经过点（-3,7）,

所以—3—7=。，所以。=—10,

所以直线/方程为：x-v=-10,即y=x+10,

7

综上所述：直线/方程为y=—或y=x+10.

一2

16.A,B,C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知A闯关成功的概率是一，A,

3

B,。三人闯关都成功的概率是,，A,B,。三人闯关都不成功的概率是‘■.

612

（1）求B,C两人各自闯关成功的概率；

（2）求A,B,C三人中恰有两人闯关成功的概率.

【答案】（1）B,。两人各自闯关成功的概率都是（2）—

212

【解析】

【分析】（1）记4团。三人各自闯关成功分别为事件。，瓦尸，三人各自独立闯关，由题意结合独立事

件的概率公式可列出方程组，从而解得2,C两人各自闯关成功的概率;

（2）三人中恰有两人闯关成功为事件方£/+£）西+。£如，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算

即可.

【小问1详解】

记4瓦。三人各自闯关成功分别为事件，瓦尸，

三人闯关成功与否得相互独立，且满足《P（0P（E）P仍）=:

15

解得P(E)=g尸仍)=j

所以3,C两人各自闯关成功的概率都是工.

2

【小问2详解】

设A,8,。三人中恰有两人闯关成功为事件”,

1112112115

则P（H）=P（DEF+DEF+DEF]=-X—X―I——X—X—x—x

3223232212

所以三人中恰有两人闯关成功的概率为

17.已知圆UJ+Xx+j?+为=34+8/1（X为常数）.

(1)当4=2时，求直线4x-3y-4=0被圆C截得的弦长.

(2)证明：圆。经过两个定点.

(3)设圆。经过的两个定点为尸，Q,若2),S.\PM\=\QM\,求圆C的标准方程.

【答案】(1)2同

(2)证明见解析(3)(x+3)2+(y+3)2=100

【解析】

【分析】(1)当4=2时利用配方求出圆。的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心C到直线

4X一3>-4=0的距离再由2，72—可得答案;

(2)由犬+/—34+2(x+7—8)=0令x+7-8=0与/+/-34=0联立解方程组可得答案；

(3)(方法一)设尸。的中点为N,由|0Af|=|W|得G•岛°=一1求出2可得答案.(方法二)由

|9〃|=|0必利用两点间的距离公式求出2可得答案.

【小问1详解】

当2=2时，圆C:(x+l)2+(y+l)2=52,

此时，圆C的圆心为C(-LT),半径R=J五=2屈.

1-4+3-41

则圆心C到直线4x-3〉-4=0的距离d=।------------1=1,

5

所以直线4x-3y-4=0被圆。截得的弦长

16

为2占2—屋=2752-1=2回；

【小问2详解】

由x~+Ax+_y2+Ay=34+82，得x~+y2—34+A(x+y—8)=0，

令x+y—8=0,因为X为常数

x+y—8=0

所以得/+/—34=o,由＜

X2+V2-34=0

x=3x=5

解得彳u或<

b=5"3

所以圆。经过两个定点，且这两个定点的坐标为(3,5),(5,3)；

【小问3详解】

(方法一)设P0的中点为N,

不妨设尸(3,5),。(5,3),则点N的坐标为(4,4).

因为户M=|oM，所以4加，0°,

加山._4-(12-2)5-3_.

所以-kpQ---~—-—一1，

4-23-5

解得2=6,

所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+3)2=100.

(方法二)不妨设尸(3,5),。(5,3),因为怛

所以7(^-5)2+(12-2-3)2=7U-3)2+(12-2-5)2，

解得2=6,

所以圆C的标准方程为(x+3)2+3+3)2=100.

18.已知椭圆C:二+>1)的左、右焦点分别为片，F2,4,3两点均在C上，且丽.妮=0,

aa-1

/F、AB=ZBAF2.

(1)若I而1=1通I，求C的方程；

(2)若|通国正直线与/轴交于点P,且Q=3而，求四边形/尸由尸2的周长.

17

【答案】(1)—+/=1；(2)迪.

2.3

【解析】

【分析】1)根据给定条件，结合等腰直角三角形性质求出/即可.

(2)令|否|=八|而|=/，根据给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出。，进而求出四边形周长.

【小问1详解】

由椭圆定义知，|福|+|直|=2a,c2=a2-(a2-l)=l,

由福•丽=0,得丽，丽，

若|函|=|通则△片/片为等腰直角三角形，a2+a2=(2c)2,解得/=2，

2

所以C的方程为土+/=1.

2•

【小问2详解】

若|丽国丽不妨设|正|=/,|而|=%,贝！||公=2°-£,且。丸，

|A81=2m,|AP|=3m.

由/耳48=/胡用，点P在〉轴上，且丽，丽，

得NF\AB=NBAF?=三,且|两|=|垣

、历J2

由余弦定理得t2+(3m)2-2•—t•3m=(2Q-t)2+(3m)2-2•—(2tz-t)^m,

整理得6收(q冽=4Q(Q—。，而a。，，则加=

同理得|砒|+1初六而+4m2-瓜2m+J(2a-炉+4〃/-也Qa一。•2m=2a,

I4RI4«

即J(2a—t)2——a(2a—Z)+—a2=2a—Jt2——at+—a2,整理得2Z2—4cit+a?=0，

2

令此方程二根为t^t2，则％+%2=2a,帮2=5，即有I4片|=txt2,

贝/丽F+|夜「=@+q)2_2v2=3a2=(2c)2,解得q=^l,

--