2025高考数学复习必刷题：等式与不等式的性质

第3讲等式与不等式的性质

知识梳理

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与。比较与1比较

a>ba-b>04〉1(。，Z?〉0)或q<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=O-=l(Z?^0)

b

a<ba-b=O@<1(。，Z?>0)或3>l(a,b<0)

bb

2、不等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性a>b<^b<a\a<b<^b>a

传递性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^>a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向a>c,c>d^a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,neN"=>an>bn

【解题方法总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特

别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、

利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与。的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是塞或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.

必考题型全归纳

题型一：不等式性质的应用

【解题方法总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2、充分利用基本初等函数性质进行判断.

3、小题可以用特殊值法做快速判断.

例1.（多选题）（2024•重庆•统考模拟预测）已知a>b>c,ac>0,则下列关系式一定

成立的是（）

A.c2>bcB.Z?c（a-c）>0

cb一

C.a+b>cD.-H—>2

bc

【答案】BD

【解析】因为〃。>0,所以〃>b>c>0或

当a>b>c〉0时，boc1,A不成立，Z?c（a-c）>0,a+b>c,

由7>0,2>0,故岸22乒=2,当且仅当9=2,即/,=c时，等号成立，

bcbe\bcbc

因为沙〉c,故等号不成立，故5+2>2；

bc

当0>〃〉人>。时，be<c2bc（Q-c）>。，

不妨设2>—3,贝！J〃+b=c,故此时C不成立，

由故字22、以=2,当且仅当£=2,即b=c时，等号成立，

bcbe\bcbc

ch

因为Z7>c,故等号不成立，故：+g>2；

bc

综上：BD一定成立.

故选：BD

例2.（多选题）（2024•山东•校联考二模）已知实数4c满足。>b>c,且

a+b+c=O,则下列说法正确的是()

A.--—>—--B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a-cb-c

【答案】BC

【解析】对于A,9：a>b>c,.'.a-c>b-c>0,/.—-—<——,A错误；

a-cb-c

对于B,'：a>b>c,Q+5+C=0,:.a>0,c<0,:.b+c=-a<0,a-b>0,

:.a-b>b-\-c,BPa-c>2b,B正确；

122

对于C,\-a-b>Ofa+b=-c>G,:.c^-b=(<7+6)(<2-/?)>0,gpa>bfC正确；

对于D,ab+bc=b(a-^-c)=-b2<0,D错误.

故选：BC.

例3.(多选题)(2024•全国•校联考模拟预测)^a>0>b>c,则下列结论正确的是

()

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a-cN2d(a-b)(b-c)

【答案】ACD

【解析】-：a>0>b>c,则b-c>0,bc>0,:心；=空出>6,即q>f,A正

cbbecb

确；

例如“=1,6=—2,c=-3,/=(-2)2=4,。2°=(-3)2=9,显然4<9,B错误；

,a—bbci(c—b)„n—hh.

由〃〉0〉b>。得。一匕<0,。一。>0,-----------=一(-----7>0，即----->一，C正确；

易知a-c>0,a-b>0,b-c>0,

ci—c—2^1(a—b)(b一c)=(<7—b)+(b-c)—2J(a-Z?)(b—c)=(Ja-b—yjb—c)~20,

a-c>2d(a-b)(b-c),D正确；

故选：ACD.

题型二：比较数(式)的大小与比较法证明不等式

【解题方法总结】

比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利

用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是累或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

bbb

右。>0,/?>0,则一>1b>a；—<1b<a；——1b=a；

aaa

bbb

若〃<0力<0,则一—==

aaa

例4.（2024•全国•高三专题练习）若0<。<4。+8=1,则将“也；,2曲4+片从小到大

排列为.

【答案】a<2ab<-^<a2+b2<b

-12

【解析】••・0vav〃，a+b=l,不妨令〃=§乃=耳，

45

贝!J有2ab=§,/+〃=§,

.,.有b>/+/>—>2ab>a,

2

BP6Z<lab<—<a2+b2<b.

2

故答案为：a<2ab<—<a2+b2<b.

2

例5.（2024•全国•高三专题练习）如果给出下列不等式：

①®a3>b3；③@2ac2>2bc2；⑤色>1；@a2+b2+\>ab-\-a-\-b.

62UI）

其中一定成立的不等式的序号是.

【答案】②⑥

【解析】令。=1涉=-1,->7,排除①，后=后,排除③选项，7=-1<1,排除⑤.

abb

当c=0时，排除④.由于幕函数y=/为R上的递增函数，故〃3>/，②是一定成立的.由于

a1+b2+>0,i^a2+b2+1>ab+a+b.故⑥正

确.所以一定成立的是②⑥.

ha

例6.(2024•高三课时练习)(1)已知〃>b>0,c<d<0,求证：——<——；

a-cb-d

(2)设x,yeR,比较-尸)"与孙(x-y)2的大小.

【解析】(1)由。>匕>0,c<d<0,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,从而得

0<^—.

ci—cb—d

ba

又a>b>3所以----<----

a-cb-d

(2)因为_y2)2_孙(1_,)2=14+,4_%3,一孙3=%3(%一,)+,3(,一%)

=(x-y)(x3-y3)=(x-y)2(x2+xy+/)=(x-y)2[++|j2之。，当且仅当x=y时等

号成立，

所以当x=y时，(x2-/)2=xy(x-y)2；

当时，(炉一,2)2>孙(]一丁)2.

例7.(2024•全国•高三专题练习)(1)试比较(x+l)(%+5)与(x+3)2的大小；

(2)已知〃>人，—<-r,求证：ab>0.

ab

【解析】(1)由题意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

=+6尤+5—%2—6无一9——4v0,

所以(％+1)(X+5)<(%+3)2.

(2)证明：因为工<《，所以!一?<。，即字<0,

ababab

而所以/?一。<0,则就〉0.得证.

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【解题方法总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每

个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

例8.(多选题)(2024•全国•高三专题练习)己知实数x,y满足

~3<x+2y<2,—1<2x—y<4,贝°()

A.x的取值范围为(-1,2)B.V的取值范围为(-2,1)

C.无+y的取值范围为(-3,3)D.*一，的取值范围为(-1,3)

【答案】ABD

【解析】因为-l<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8.因为-3<x+2y<2,所以

-5<5x<10,则-1<%<2,故A正确；

因为-3〈尤+2y<2,所以一6<2尤+4y<4.因为一1<2x-y<4,所以-4<-2尤+y<1,所以

-10<5y<5,所以一2<y<l,故B正确；

936114

因为-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以_]<£（无+2y）<],_/E（2x_y）<],则

—2<x+y<2,故C错误；

因为一3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一]+贝|

-1<彳-”3,故。正确.

故选：ABD.

例9.（2024•广东•高三校联考期末）已知lVa-bV3,3<a+b<l,则5o+b的取值范

围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

、/\/\/\/、fm+n=5fm=2

3

【解析】^5a+b=m（<a—b）+nya+b）=\ni+n）a-r\ji—m）b,所以<,

贝lJ5a+Z?=2（a-b）+3（a+Z?）,又1（。一/?43,3<tz+Z?<7

所以242（a—6）46,9V3（a+6）421,由不等式的性质得：H42（a—6）+3（“+6）W27,

则5a+b的取值范围为[11,27].

故选：D.

例10.（2024•全国•高三专题练习）已知”aV2,-l<b<4,则。-26的取值范围是

（）

A.-1<a-2b<4B.-6<a-2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<8

【答案】A

【解析】因为一1«〃44,所以一8W—2/?W2,

由得一74a—2b44.

故选：A.

例11.（2024•全国•高三专题练习）已知三个实数。、b、c,当c>0时，Z?W2〃+3c且

根=/,则三主的取值范围是____________.

b

【答案】（-8,3

【解析】当。>0时满足：瓦2〃+3。且庆=〃2,

二《,,2"+3c,BPa2-2ac-3c2<0,进而（与②-2.乌一3,,0,解得一啜/3.

CCCC

所以c或1£C«-i,

a3a

a—2c_ac—2c2_ccY_

ba1a\aJa

c「1、

令一=t,tG-,+ooo（-oo-l］,

a_3）

/⑺=-2/+f=-2上一；］+1，

由于feg,+oo）u（-oo-f|

所以/■⑺在t?（?，1］单调递增，在f?管，？字单调递减，

当"如嘲土当I时，〃-1）=一3,

所以4）£（

g1,

故答案为：踪？

题型四：不等式的综合问题

【解题方法总结】

综合利用等式与不等式的性质

例12.（多选题）（2024•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）已知。〉0,

4151

b>0,且满足。之一+丁，b>-+-.则/+〃2的取值可以为（）

abba

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

41S1

【解析】因为。之一+:，b>—+—,

abba

所以b2>5+—,

ba

故24+色+5+2W9+2jq-2=11,

ba\ba

当/=4+f,〃=5+2且f=2,而“=〃时/力/，即等号不能同时成立，

baba

所以/+〃>1],故AB错误，CD正确.

故选：CD.

例13.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知/（丁+1）=1,则（）

1

A.xy<lB.x9y>~-

5

C.x+xy<\D.x9+xy<-

【答案】ABD

【解析】由丁（丁+1）=1得“，由于y??。，所以0</41,

所以彳、2=1_/？[0,1）,因此一1〈孙<1且孙wo,故A正确，

无。=子7，当y<o时，",一手力-二"，由于>+一<-2,当且仅当、=一1时，等号

y+1J+-y

0c>----1--->—11

成立，故、.1-2,当丁上。时，x2y>0,所以故B正确，

y+—2

y

x2（l+y）2=x2（l+2>+/）=x2（/+l）+2x2y=l+2x2y<l+x2（l+/）=2,当且仅当

1f—l

2y=1+9？>1,无2=3时取等号，故一逝4彳。+/）=X+孙4应，所以C错误，

222

x+Xy=l-xy+xy=-(xy-^\+|<|,当且仅当孙=g取等号，又/(9+1)=1,所以

与邛或者-奈尸¥等号成立，

X

故选：ABD

例14.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知实数a,b满足七>不,则（）

A.l°g0.2023a<l°go.2O23人B.a3<b3

-bb+1D-"+力的最小值为1

C.->-----

aa+1

【答案】BC

【解析】由3；可知Q〉0,b>0,由不等式的性质可知，贝!JO<a<〃.

7a7bab

选项A：因为对数函数y=logo.2023元为减函数，0<a<b,所以logo.2023a>logo.2023b，故A

错误；

选项B：由函数y=%3的单调性可知〃3<〃，故B正确;

必工「Ibb+\b(a+l)-a(b+l)

选项C:因为------7=——2—-—-前土°，所以卜然，故,正确;

aa+1

选项D：ab-\------=(ab+l]-\-------l>2.(ab+l)x-------1=1,

ab+1')ab+lVab+1

当且仅当成+1二1二，即必=0时取得等号，显然等号不成立，故D错误.

ab+1

故选：BC.

例15.(2024•全国•高三专题练习)已知实数a,b,c满足〃+0+c=0,a2+b2+c2=1,则

a的最大值是一.

【答案】亚

3

222

【解析】a+b+c=lf

b+c=-a,b2+c2=1-a2,

,be=g•(2Z?c)=([(〃+c)2-(b2+/)]=/-3

：.b、c是方程：N+QX+〃2—：=o的两个实数根，

A>0

—4(〃2—5)>0

2

即a92<-

3

33

即a的最大值为亚

3

故答案为：好.

3

题型五：糖水不等式

【解题方法总结】

糖水不等式：若a>b>0,机>0,则一定有生丝>2,或者竺

a+mab+mb

例16.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知糖水中含有Qg糖（人>〃〉0）,若

再添加机g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事

实，下列不等式中一定成立的有（）

aa+ma+ma+2m

A.——<------------<---------

bb+mb+mb+2m

21

C.(tz+2m)(Z?+m)<(d：+m)(Z?+2m)D.

【答案】ABD

【解析】对于A,由题意可知£＜十,正确;

bb+m

a+m+2m—ma+2m

对于3,因为根＜2%所以"正确;

b+mb+m+2m-m~b+2m

十八〃+根a+m+ma+2m\/c\/\

对于C,-------<-------------=---------BaPn(z6z+m)(Z7+2m)<(6z+2m)(Z77+m)错误;

b+mb+m+mb+2m

22+1_3_11

对于。,3T<3。+「*一声"〈声正确.

故选：ABD

例17.（2024•山西•统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这

hb+m

句话用数学符号可表示为：上＜2_