2025高考数学复习必刷题：W的取值范围与最值问题

第31讲0的取值范围与最值问题

知识梳理

1、/(%)=Asin(0x+e)在/(x)=Asin(0x+e)区间(〃，。)内没有零点

aa>+(p<7r+k7i---------

co

kji<ba)+(p<7i+kji,

十.71+K77l-(D

b<--------------

l［CD

同理，/⑴二加皿⑺+/在区间口，b］内没有零点

\b-a\<J^

k7T-(p

=><%»<aa)+(p<7r+k7i=<a>---------

CD

kn<b①+(p<7V+k7i

7兀+k兀一cp

b<-------------

CD

2、/(%)=Asin(s+e)在区间(a,。)内有3个零点

T<\b-a\<2T

T<\b-a\<2T

k7i-(p<@<也+V)7i-(p

=>1%»<ao)+0<»+%»

coCD

3万+kr<bco+(p<^7i+k7i

(k+3)万~(p7(k+4)»-(p

---------------<b<----------------

①G)

同理/(%)=Asin(0x+°)在区间［〃，b］内有2个零点

-<\b-a\<—2112

7,7kjl~(pkjv+7T-(p

=\忆兀<aa>+(p<7r+K7T=><---------<a<---------------

CDCD

2兀+k兀Gbco+cp<3兀+hi〃c\z

>(k+2)71一0<(7k+y)7i-cp

3、于3=Asin(ox+e)在区间(a,6)内有n个零点

k7l-(Pkjl+71-(P

n\-----------------<a<......—

①CD

(k+ri)7i一夕<匕<(左+n+V)7i-(p

CDCD

同理/(%)=Asin(5+0)在区间［o,b］内有〃个零点

k兀一cpkjt+汽一cp

=>\------------------------<a<----------

coco

(k+ri)7T~(p.(左+n+V)7T-cp

-----------<b<--------------

coco

4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为止17，则

4

(2n

2n+l+1)%=|Z7-6z|.

5、已知单调区间(a6),贝！一6归，.

必考题型全归纳

题型一：零点问题

例1.(2024.全国•高三专题练习)设函数〃x)=sin(8+°)-：3>°)，若对于任意实数

9,函数〃x)在区间[0,2可上至少有3个零点，至多有4个零点，则。的取值范围是

()

A.B.[，|[CQD-[24]

【答案】C

【解析】因为夕为任意实数，故函数“无)的图象可以任意平移，从而研究函数/(x)在区间

[0,2可上的零点问题，即研究函数y=sinox-；在任意一个长度为2兀-0=2兀的区间上的

零点问题，

11JT

^y=sma)x--=Q,得sins=7，则它在>轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为广，

226a)

5兀13兀17兀25兀工

606a)6a)6a)

27r47r27r47r

则它们相邻两个零点之间的距离分别为,，了，手,了，L,

JCD3CDJCD3CD

1f)7T47t

故相邻四个零点之间的最大距离为w,相邻五个零点之间的距离为竺，

3。CD

所以要使函数〃尤)在区间[0,2可上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点

之间的最大距离不大于2兀，相邻五个零点之间的距离大于2兀,

1071.

-----<2兀

即《，解得，W0<2.

兀c

—4〉2兀3

LCD

故选：C

rr37r

例2.（2024•全国•高一专题练习）设函数/（%）=2sins-1（口>0）,在区间上至少

有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则①的取值范围是（）

26102658

A.

~9^_B.

3458A一26103458

C.D.——u

~9,~9J9’3~9,~9

【答案】D

jr3冗

【解析】函数/（x）=2sins-13>0）,在区间上至少有2个不同的零点，至多有

1TT34

3个不同的零点，即sin0%=7在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的

21_44_

根,

on

coxe

丁，丁

③当h丁时，贝I」丁4—^〈一，W<—<«<—;

64664699

心、、\,①冗13〃4L,、_,①兀3G）7I”①兀137r.主力一十丁­,立心也*人口r十旧

④当一时，区间——长度一］>）一>4万超过了正弦函数的两个最小正周

46L44J43

1Jr37r

期长度，故方程sinox=彳在区间上至少有4个根，不满足题意；

21_44_

4-26//10334,58

综上r，可得或豆；

故选：D.

例3.（2024.河北•高二统考学业考试）设函数/（xXZsinmx+oAMo〉。），若对于任意

Jr37r

实数夕，"X）在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是

一818

ACaD

162020一

3-3-3-3-3

1一

【答案】B

【解析】令/（x）=0,贝ljsin（0x+0）=g

令t=贝|sinr=g

TT3yr

则问题转化为y=sin,在区间—co+（p,—CD+（p上至少有两个，至少有三个方,使得

sint=-,求。的取值范围.

2

故选：B

变式1.（2024•全国•高三专题练习）已知函数〃尤）的图象是由y=3sin[s+m

77"TC

（。＞0）的图象向右平移£个单位得到的，若/■（*）在一上仅有一个零点，则。的取

3LN_

值范围是（）.

A.0,|jB.[1,3）

C.1,|）D.[1,4）

【答案】C

【解析】由题知，函数片应"如+小（。＞0）在3g上仅有一个零点,

所以7=四＞，一£=所以0＜0＜4,

口362

V2sin|cox+—|=0,得。工+巴=攵兀，即％=包一一^-，2eZ.

V3J3a＞3co

若第一个正零点无=二-则。＞4（矛盾），

g3G3口6

因为函数》=Hin"+|J在3g上仅有一个零点，

兀＜2兀＜2兀

所以?3。3解得

2兀兀〉2兀2

、33a）3

故选：C.

变式2.（2024・全国•高三专题练习）记函数〃力=$皿（8+0）上＞。,0＜夕＜：|的最小正

周期为T.若/⑺=当，xj为〃x）的零点，则。的最小值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】因为/（切=而（8+9）（。＞0,。＜夕＜彳]的最小正周期为7=主，且

AT）/,

二匚（2万\.石

物以sinco------\-（p=sin夕=——，

\CD）2

因为0<0<^，所以o=

所以/（苫）=$也（0尤+|^,

因为x=g为“X）的零点，

6

所以H=3+.=。，

7TTT

所以一切+—=k兀,keZ,解得〃>=6%—2,左£Z,

63

因为G〉0,所以。的最小值为4,

故选：C

2sino%+l

------------1=,coscoxw

COSGX-

变式3（2024.全国.模拟预测）若函数〃尤）=<（0>0）在（0,4兀）上

石

X,COS0X=——

2

有3个零点，则。的取值范围是（）

313143

C.——,+co

2424524

【答案】D

【解析】令/（九）=0,贝U

,6,2sin@x+l1

当coscoxw—时，7==。，即sincox=——-,

2cos。％732

当cos公r时，x=0,矛盾，

2

]V3

所以sinG%=-1,且cos&%W——，Xsin2cox+cos2cox—1,

22

所以sin°K=-!，且COSGX=一且，

22

Sir

所以G%=--—+2kn(JcGZ).

1Ol^TT—STT

所以％=T(左£Z),因为0>0,

6G

7IT1OlT41jr43K

所以函数“X）的正零点从小到大依次为：盂

6G

因为函数“X）在（0,4兀）上有3个零点,

所以答<4村些

6①6G

匚匚…31,43

所以一<CD<——.

2424

故选：D.

题型二：单调问题

例4.（2024・四川成都•石室中学校考模拟预测）已知函数/（x）=sin（0x-：|（0>O）的图象

关于点对称，且/（》）在，，言］上单调，则。的取值集合为（）

A.{2}B.{8}C.{2,8}D.{2,8,14）

【答案】C

【解析】小）关于点gob寸称，所以sin［3-小=0,

JTTV

所以一g——=E,G=6Z+2,左£Z（D；

63

°<了<|^,一々<3：-三<|^0-申而/（x）在上单调,

4oJ3433I43

所以工公一弓"?，0<69<8（2）;

4832

由①②得0的取值集合为{2,8}.

故选：C

例5.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=sin（0x+e）［o>O,|e|wgx=一?是函

O

数“X）的一个零点，x=g是函数"X）的一条对称轴，若“X）在区间上单调，则

①的最大值是（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】A

【解析】设函数〃可的最小正周期为T,

JT

因为％=-（是函数八%）的一个零点，%=*1是函数/（%）的一条对称轴,

2/+1丁71（一方）二；,其中〃EN,所以,71_271

则I二.刃=4〃+2,

42n+lco

因为函数“X）在区间生：］上单调，则门=5,所以，0W2O-

所以，。的可能取值有：2、6、10、14、18.

m

(i)当0=18时，/(九)=sin(18x+°)14kH=o,

所以，（p-=fac（A;eZ）,贝|0=而+彳（左£2）,

■：-^<（p<^,二9=:,所以，〃x）=sin［18x+：）,

当四<工<二时，4?:--=—<18A-+-<—=4;:+—,所以，

542020444

函数"X）在］,［上不单调，不合乎题意；

（ii）当0=14时，〃x）=sin（14x+0）,=sin（-与+'=0,

77r77r

所以，（p_■—=fai（A：GZ）,贝°o=E+7（左eZ）,

-：­<（p<^~,：.（p=-^~,所以，〃x）=sin（14x—；］,

224<4J

、"兀兀・Lc117151KY,711371c571LLl、r

当一<x<一时，2兀H------=-----<14x——<-----=2TI+一,所以，

542020444

函数/（X）在（Ki上单调递减，合乎题意.

因此，。的最大值为14.

故选：A.

例6.（2024.内蒙古赤峰.校考模拟预测）若直线x=：是曲线y=sin（0x-：、0>O）的一条

TT7T

对称轴，且函数y=sin（ox-7）在区间［0,TJ上不单调，则。的最小值为（）

4172

A.9B.7C.11D.3

【答案】C

【解析】因直线x=］是曲线y=sin［s-：］（o>0）的一条对称轴，则

—a）——=k7r+—,keN9即0=4k+3,%EN,

442

由一冷--x-~T~,则函数V=sin（G%—/）在［一:-,；^］上单调递增,

2424G4G44。4。

而函数y=sin（s-f）在区间［0,与上不单调，则当<二,解得。>9,

4124G12

所以外的最小值为H.

故选：C

变式4.（2024.全国•高三专题练习）已知函数/（%）=sin（5+e）3>0）的一个对称中心为

［-］，。｝/（x）在区间（票,\

上不单调，则q的最小正整数值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由函数〃x)=sinmx+0)(0>O)的一个对称中心为1-(,0

可得了(-I^MsinC-qo+MMO,

■TT

所以——co+(p=K兀,左1£Z,

(P=—cok17i,k、GZ,

f'(x)=6；cos^a)x+(p),

由/(尤)在区间万］上不单调，

所以/'(同=℃05(8+0)=0在区间］胃"上有解，

所以0x+9=1+&乃(&eZ),在区间［彳,上有解，

所以+勺乃=耳+左2万(42£Z)

717

——\-k7i

所以0=-.........,k=k-k^Z,

712x

XH------

3

T71717万而

又%£-^,乃，所以％+工£7

<o)363

n

2+,3+6左3+6左、

所以0=/€(),

%+至87

3

当左=2时，a>e(―,—)»

此时。的最小正整数为2.

故选：B

-ITJT

变式5.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=sin®x+e)(<y>0)在-y,—上单

调，且/图"图=7仁),

则。的可能取值()

A.只有1个B.只有2个

C.只有3个D.有无数个

【答案】c

4-IT

【解析】设〃%）的最小正周期为T,则由函数”同在-《彳上单调，可得

因为T=一>71,所以0<@42.

①

由“X）在1-彳用上单调，且/佰]=-小，，得“X）的一个零点为一V_兀，

L36」⑹I3）~^~=^n

即【一三'°）为〃"）的一个对称中心.

因为fmm，所以x=£6=网为〃无）的一条对称轴.

4万

因为了,所以有以下三种情况:

①I'

因为72%,不可能满足其他情况.

故。的可能取值只有3个.

故选：C

题型三：最值问题

例7.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=6sinox-cos0x（0>O）在区间[-等，苧

上单调递增，且在区间。兀]上只取得一次最大值，则。的取值范围是（）

A.号|]B.[|,|]C.d]D,[|,|]

【答案】B

7T

【解析】依题意，函数/(x)=2sin3x-：),①>0,

6

因为了⑴在区间[2-冗?，当37r上单调递增，由xe[2_兀?，3S7r，则

5454

7T27r7137rTC

COX——G[r---CD——,—CD——1,

65646

T口2兀兀、7rL3兀兀/兀Anzn/5r/8口口0/5

于是---①——>一一且i一co-—<—,解得。(一且l0<一，gp0<<-,

562462696

当尤e[0,利时，0x-=e[-2,o7r-刍]，因为广⑺在区间上只取得一次最大值，

666

因此乌wo兀一。<9兀，解得

26233

所以。的取值范围是匕25

36

故选：B

例8.(2024•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=2sin(0x+q](0>O),若/[三|=°，且

f(x)在[三，上有最大值，没有最小值，则。的最大值为.

【答案】17

【解析】由且/(X)在((，上有最大值，没有最小值，可得

rriTTTT

(+1=2k兀*GZ),所以刃二61伏€Z).

由/⑴在^上有最大值，没有最小值，可得!X加〈餐-gwjx也，解得

1312)4co12341y

6<(o<18,又0=6左—1(左eZ),当左=3时，<y=17,则。的最大值为17,,

故答案为：17

例9.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=2sin((yx+e)3>0)在尤=三处取得最大

值，且/㈤=0,若函数在日上是单调的，则。的最大值为.

【答案】?45/lL25

4

【解析】由题意，函数/(x)=2sin(s+0)3>0)

满足它卜2,〃兀)=0,

可得1刃+9=]+2版,即+0=左'兀（左EZ,左'EZ）,

27rJr

两式相减得—①=----1-urn,其中机=k'-2左，

32

3（2m-l）

解得@=-L,

4

「，兀5兀12兀

又由W一124力---，可得刃（12,

2CD

即。〈〜V⑵解得受底(

故m的最大值为8,

此时外取得最大值

4

45

故答案为：--

4

变式6.（2024・全国•高三专题练习）已知函数〃耳=5就"+：|在（0,2］上有最大值和

最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则。的取值范围是

....47r..II7%、

【答案】］Ur［—,—）

3o3o

【解析】易知切=0时不满足题意，

t7T7T,./口71klT7

由（OXH-Fk兀,K,GZ,不JX---1--------，左£Z,

6230①

当。>0时，第2个正最值点x=97T+工7T42,解得27r

3CDCD3

第3个正最值点+—〉2,解得。故?

3a）co636

当口<0时，第2个正最值点x=二-四<2,解得&<—学，

5（0CD6

...._,.I-.,,,.TC37r-,口47r.>4〃*57r

果3个A正取值点^------>2,斛得。〉一--,故一--<a）<一--.

3coco336

综上，。的取值范围是（-94.7,7-STT27r77r

3636

故答案为：（-［与，?）

3636

变式7.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=sinG%+QCOSS（a>0,G>0）的最大值

为2,则使函数Ax）在区间［0,3］上至少取得两次最大值，则。取值范围是

【答案】［营+8）/021r

【解析】/（%）=sina）x+acoscox-J1+/2sin（s+/）,因为/（工）惭=Jl+〃2=2,a>0,故

a=y/3,原式为/（x）=2sin［ox+1^,当取到最大值时，a>x+^=^+2k/c,keZ,

当xe［0,3］,/（x）取得前两次最大值时，上分别为0和1,左=1时，cox吟吟+2兀，

x=学，此时需满足乎V3,解得。2与.

6①6G18

故答案为：黑什001

L）

变式8.（2024•全国•高三专题练习）已知函数

71兀

f(x)=cos2a)x+2sin69xcoscox-sin2CDX{CD>。)在上有最大值，无最小值，则。的

1293

取值范围是

33

【答案】

852

【解析】/(x)=sin2(yx+(cos2s-sin?cox=sin2a)x+cos2cox=^2sin2a)x+—.

4

jrjr

由题可知，T＞———,所以。〈口＜8,

312

7171t-71TICD71iTICO71

当xe时，2a)x+—G——+—,------+—

i25i46434

7171

因为函数/'(x)在上有最大值，无最小值,

1273

广―…7171CD兀71…2兀。71,3冗一,

所以存在左eZ,使得---1-2k兀<-----F—<——F2kn<------+—<——+2上万

2642342

93

-----bl2Z<co<一+12%

22

整理得，QkwZ).

315

-+3)t<^<—+3)t

188

9,3

——<(o<—_

2233

因为Ov口＜8,所以＜3<15,解得.0<于

-<CD<——

188

33]

故答案为:95)

题型四：极值问题

/71711

例10.(2024・全国•高三专题练习)记函数/(%)=5由(。％+。)［刃＞0,-5＜。＜5)的最小正周

期为T.若工］=变,x=二为A、)的极小值点，则。的最小值为__________

12J28

【答案】14

【解析】因为/(x)=sin(0x+e)[0>O,-所以最小正周期7=军，

<2L)co

f(~)=sin(o•；+9)=sin(兀+<p')=-sin(p=

又一]<夕所以夕=_：,BPf(x)=sin^<z>x-^；

又苫=方为〃x)的极小值点，所以10-弓=一]+2析,%€2,解得°=-2+16匕ZwZ,因为

0>0,所以当k=1时0mhi=14；

故答案为：14

例11.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(无)=45皿0尤+9)］。＞0,|。|＜!^,

/(0)=/(4)=-2,函数/⑺在(0,4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则。的最小值

为()

、兀小5n4%

A.—c-TD.

6-1V

【答案】C

1TT71

【解析】,**f(0)=4sin=-2,sin^?=——.又|夕|<5,。—

~6

0+471357r

当犬==2时,函数取到最小值，此时2&一二=2左"+7万，keZ.角由得。=左乃+2^,

2626

k&Zj.

571

所以当％=0时,CD=——

6

故选：C.

71(。＞0)在区间［内

例12.(2024•山西运城•高三统考期中)己知函数〃x)=cos(DX+—

有且仅有一个极小值，且方程/(X)=g在区间］。,

内有3个不同的实数根，则。的取值

范围是()

251125112511

A."6"，TB.~6~2~69^

【答案】C

【解析】因为所以CDX+内有且仅有一

个极小值，则万〈乎+£43万(1).若方程/(x)=；在区间内有3个不同的实数根，则

7TCTCCDTC1\.7Cr、17TC7CG)7C_-左刀，口25-11

,所以丁＜光-+143»z(x2),由⑴(2),解得《〈口工彳.

所以。的取值范围是.

ko2

故选：C

()

变式9.(2024.全国•校联考三模)已知函数/(x)=2siin15+看j69>0,XG•若

函数了(%)只有一个极大值和一个极小值，则⑷的取值范围为()

A.（2,5］B.(2,5)

【答案】C

।p-■人兀f-j-.、？7171।九①冗冗COTT7t„,...

r【解析】^t=a）x+-,因为xe,所以ox+^e---+—,—+-则问题转化为s

6l_3，」o［_3ozo_

y=2sinf在-q+上只有一个极大值和一个极小值，

_3oZo_

因为无函数“X）只有一个极大值和一个极小值，则£>>（_外即T>",

又7=生，所以。>:,所以一等+£<。

co536

3万<3717171

——+—<——2<G<5

一了一一362Q

则<解得《28故2<0<；

71CD71713冗-<co<-3

—<——+—<一133

12262

故选：C

变式10.（2024・全国•高三专题练习）函数/（对=$也（8+。（0>0）在［0,1］上有唯一的极

大值，则（）

【答案】C

【解析】方法一：当尤e［0,l］时，f=+^,a>+^,

因为函数/（犬）=$山"+今｝0>0）在［0,1］上有唯一的极大值,

7TTT

所以函数〉=5仙/在y,®+-上有唯一极大值，

71兀

(D+—>—

32(7i13K

所以，解得

兀，5兀

o)+—<——

32

故选：C

方法二：令GXH—=2knT—,keZ,贝！J@X=2EH—,keZ,

326

所以，函数/（x）=sin［s+M（0>O）在y轴右侧的第一个极大值点为x=F，第二个极

V5）6G

大值点为x=913兀，

069

因为函数/■（x）=sin［ox+3（0>O）在［0』上有唯一的极大值，

兀1

（兀13兀

所以,善解得公

三1,

、6。

故选：c

变式11.（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=cos（ox+力（。>0）在区间［。之内有

且仅有一个极大值，且方程/（"=；在区间［。段］内有4个不同的实数根，则0的取值范

围是（）

74174141152515

A.27~6B.29~6C.D.-6-，T

【答案】C

71

【解析】由题意，函数〃x）=cosox+—3>o）,

7t7171G）九）

因为所以+~49~T+7r

4

若在区间!。,g内有且仅有一个极大值，则”号+5-解得若

方程/（X）=；在区间［。仁）

内有4个不同的实数根,

eIbr7t（D兀，\3兀&力/口4149

则〈<丁+：4<，—<^<—.

3243o6

综上可得，实数。的取值范围是.

<62

故选：C.

题型五：对称性

例13.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（无）=cos［0x-5］（0>O）在区间［0,万］上有

且仅有3条对称轴，则。的取值范围是（）

./1317,r913,〃913、-1317、

A.（—,—］B.（z—,-］C.［—,--）D.［—-,—）

44444444

【答案】C

【解析】/（X）=cos,x—2）（0>0）,

.71TrE（1+4左）；r,_

令。x=k兀，keZ,则x=----------,kjZ,

44。

函数/（x）在区间［0,砌上有且仅有3条对称轴，即040+软）”4万有3个整数I符合,

4G

04（1+4人）%得041±^41-041+4%44。，则左=0,1,2,

4a）4G

r913

即1+4x2W4gv1+4x3,CD<—.

故选：C.

例14.(2024•内蒙古赤峰•校考模拟预测)已知函数/(X)=COSGX-gsin@X3>0),若

"%）在区间［。,2月上有且仅有3个零点和2条对称轴，则①的取值范围是（）

1319)419

A.2qc.D.

n9n)3?1212'3)

【答案】D

【解析】函数/(%)=cosGx—gsinGJV=2—COSGX----sincox=2cos|a)x+—

7T7T

令/=GX+5,由xe[0,2司,则££—,2jtG)+—

又函数在区间［0,2兀］上有且仅有3个零点和2条对称轴,

TTTT

即y=2cosf在区间-,2Tt（o+-上有且仅有3个零点和2条对称轴,

例15.（2024.全国.高三专题练习）已知函数〃x）=sin（0x+m（0>O）在区间［0,可上有且

仅有4条对称轴，下列四个结论正确的是（）

A.在区间（0,%）上有且仅有3个不同的零点

B.〃工）的最小正周期可能是:

c.。的取值范围是［了,彳）

D.“X）在区间上单调递增

【答案】C

【解析】函数/（"=$也［0了+；］（0>0）,

人兀兀77r〃日（4%+1）兀7r

令0%+:二1+E,左eZ,得犬=——----,keZ,

424G

函数/（X）在区间［0，兀］上有且仅有4条对称轴，即有4个整数上满足0（坐±如<兀,

4G

得0W1+4左W4g,可得左=0,1,2,3,

则1+4x3《痴<1+4x4,

即。的取值范围是-，vh故C正确；

44L44J

.兀(兀兀),「1317、兀「7兀9兀

*.*XG(0,71),..69X+1£697C+7J,gyCDGICOTt~^2~，~2

当。尤+畀（4兀,用时，/（X）在区间（0,%）上有且仅有4个不同的零点，故A错误;

周期V得作44

由。£