2025高考数学复习：解答题专项突破（四） 立体几何中的翻折问题与探索性问题

喷时塞塞1版商ga立体几何中的翻折问题与探索性问题

［考情分析］在高考立体几何的解答题中，常常出现翻折问题与探索性问题，此类问题要求

学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力.翻折问题是空间几何与平面几何转化的集

中体现，处理这类题的关键是抓住两图的特征关系；探索性问题常常是在条件不完备的情况

下探讨某些结论是否成立，处理这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向

量法来解决.预计2025年高考可能会考查以下几点：（1）证明平行（垂直）关系、空间角的计算

与翻折问题结合；（2）证明平行（垂直）关系、空间角的计算与探索性问题结合；（3）翻折问题与

探索性问题的综合.

考点一立体几何中的翻折问题

例1（2024•山东泰安模拟）如图1,四边形ABC。为矩形,BC=2AB,E为的中点，将AABE,

ADCE分别沿BE,CE折起，使得平面ABEL平面BCE,平面DCEL平面BCE,如图2所

示.

图1

（1）求证：4。〃平面BCE；

（2）若F为线段的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.

解（1）证明：在题图2中，分别取BE,CE的中点N,连接AM,DN,MN,

由题图1知，BC=2AB,且£为A。的中点，贝!

所以AALLBE,

又因为平面平面3CE,平面A8ECI平面AMu平面ABE,

所以AM_L平面BCE,

同理可得，ON_L平面BCE,

所以AM〃Z）N.

又因为AM=DN,

所以四边形AMNO为平行四边形，

所以AD〃脑V,

又AOC平面BCE,MNu平面BCE,

所以AD〃平面BCE.

（2）在题图1中，因为/AEB=45。，ZDEC=45°,

所以BE±CE.

以£为原点，EB,EC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=1,则线0,，0,

所以或=0,

设平面AOE的法向量为打=（x,y,z）,

〃•或=0,

x+z=0f

由<得，取z=l,得〃=(—L—1,1),

、〃动=0,j+z=0,

又剪=卜，一坐,

设直线班与平面AOE所成的角为仇

\fA-n\_y[2_^6

贝Isin8=

同例—lx$—3

所以直线型与平面ADE所成角的正弦值为由.

1名师点拨】

翻折问题的解题关键点

金觎训练

1.（2024・湖北宜昌模拟）如图1,在梯形A3CZ）中，AB//DC,A£>=2C=OC=2,

A3=4,E为A3的中点，以DE为折痕把AADE折起，连接48,AC,得到如图2的几何体,

在图2的几何体中解答下列两个问题.

⑴证明：AC±D£；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D-AE-C的余弦值.

①四棱锥A-BCDE的体积为2；

②直线AC与EB所成角的余弦值为小.

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)证明：如图，在题图1中，连接CE,

因为DC=|AB,E为A8的中点，所以。C〃AE,DC=AE,所以四边形AOCE为

平行四边形，所以AO=CE=OC=AE=2,同理可证。E=2,在题图2中，取。E的中点。,

连接OC,CE,贝!|OA=OC=小，因为AOnAEnCEuOC,所以。E_Lft4,DE±OC,

又因为04noc=。，所以。E_L平面AOC,因为ACu平面AOC,所以AC_LOE

(2)若选择①：因为。E_L平面AOC,D£c^WBCDE,

所以平面AOC_L平面BCDE且交线为OC,

所以过点A作AHLOC于反，

=

则A8_L平面BCDE,因为S四边形BCDE2yj3f

所以VA—BCDE=2=3X2小xAH,

所以AH=S=CM,所以4。与AH重合，

所以AO_L平面BCDE,

建立空间直角坐标系，如图，

则0(0,0,0),C(一小，0,0),£(0,1,0),A(0,0,小),

平面D4E的一个法向量为。5=(小，0,0),

设平面AEC的法向量为〃=(尤，y,z),

因为荏=（小，1,0）,CA=（V3,0,3）,

n-Ck=0,

<

n-CA=0,

y[3x+y—0,

所以取x=l,得〃=（1,一小，-1）,

yj3x+y[3z=Q,

设二面角。一AE-C的大小为6,

4\COn\小小

则|cos<9|一二-r-"

\cb\\n\73x^55

易知二面角D-AE-C的平面角为锐角，

所以二面角D-AE-C的余弦值为半.

若选择②：因为DC〃匹，

所以/ACD即为异面直线AC与£8所成的角，

，,-AC2+4—4y[6

在△AZ)C中，cos/IACL)—4A。=4，

所以AC=#,所以。42+OC2=AC2,所以。4_LOC,

因为Z)E_L平面AOC,DEu平面BCDE,

所以平面AOC_L平面BCDE,且交线为OC,

所以AO_L平面BCDE,

建立空间直角坐标系，如图，则。(0,0,0),C(一木,0,0),E(0,1,0),A(0,0,5)，

下同选①.

考点二立体几何中的探索性问题

例2(2024・湖北武汉期末汝口图，四边形A8CQ是边长为1的正方形，EDL^ABCD,FB

，平面ABC。，且££)=FB=1.

E

⑴求证：EC_L平面AOF；

(2)在线段EC上是否存在点G(不含端点)，使得平面G8O与平面AZ)尸的夹角为45。？若存在,

指出点G的位置；若不存在，请说明理由.

解(1)证明：以。为原点，DA,DC,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角

坐标系，如图所示，

则。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),E(0,0,1),F(l,1,1),

...反反=0,

；.EC=(0,1,-1),ZM=(1,0,0),访=(1,1,1),_

庭诉=1—1=0,

：.EC±DF,EC±DA,

XDAQDF^D,DA,DFc^ADF,

；.EC_L平面AOF.

(2)设前

则点G的坐标为(0,九IT),D&=(0,A,IT),

易知3(1,1,0),则初=(1,1,0).

设平面GBD的法向量为n={x,y,z),

n-Dtj—Ay+(1—%)z—0,

则《

^n-Dh—x+y—0,

取y=l一九贝1Jx=4—Lz=­i

贝I/i=(2—L1一九一A)f

:平面GBD与平面A。尸的夹角为45。，且平面A。下的一个法向量为证=(0,1,-1),

I”.反11

cos45°=

\n\\Et\j(IT)2+万义小，

又0<kl,解得力=/

；.G为线段EC上靠近点E的三等分点.

名师点拨】

探索性问题的解题策略

(1)条件探索性问题

①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.

③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.

(2)结论探索性问题

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论,

就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设.

训I练2.(2024・四川成都树德中学模拟)如图1,在梯形ABC。中，BC//AD,ABLAD,

AB=2,BC=3,AD=4,线段的垂直平分线与AD交于点E,与交于点R现将四边

形沿EF折起，使C,。分别到点G,H的位置，得到几何体ABFEHG,如图2所示.

⑴判断线段即上是否存在点尸，使得平面小尸〃平面BGH.若存在，求出点尸的位置；若不

存在，请说明理由；

(2)若AH=2巾,求平面A①/与平面2G8所成角的正弦值.

解⑴当尸为线段的中点时，平面外尸〃平面8GH

证明如下：由题易知EH=2,GF=1,EH//GF,

因为尸为线段EH的中点，

所以HP=GP=1,HP//GF,

所以四边形HP_FG是平行四边形，

所以HG//PF,

因为PFu平面PAF,HGC平面PAF,

所以HG〃平面PAF.

连接尸G,因为PE〃GF,PE=GF=1,

所以四边形尸EFG是平行四边形，

所以PG〃EF,且尸G=EF,

XEF//AB,EF=AB,

所以尸G〃43,PG=AB,

所以四边形ABGP是平行四边形，

所以PA//BG,

因为以u平面丛凡8GC平面以尸，

所以BG〃平面PAF.

因为“GnBG=G,HG,BGu平面BGH,

所以平面E4P〃平面BGH.

(2)因为AH=2吸，AE=EH=2,

所以AE2+£H2=AH2,所以AE±EH,

又所_LEA,EF±EH,

所以EA,EF,EW两两垂直.

故以E为原点，EA,EF,或/所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

Exyz,

则A(2,0,0),BQ,2,0),H(0,0,2),G(0,2,1),所以协=(0,2,0),荫=(-2,一

2,2),砧=(一2,0,1).

设平面A5”的法向量为加=(»,yi,zi),

/n•戏=0,12yl=0,

则，即।

断威=0,1一2xi—2yi+2zi=0,

取zi=l,得加=(1,0,1).

设平面3GH的法向量为〃=(%2，＞2，Z2),

〃协=0,一2x2-2y2+2Z2=0,

则,即

m茄=0,—212+Z2=0,

取％2=1，得〃=(1,192).

设平面A3H与平面BGH所成的角为仇

um，\m-n\3^3

则|c°sHa—|利"厂色xj_2，

所以sin9=\l1—cos20="\J1-4=2'

所以平面ABH与平面8GH所成角的正弦值为g.

课时作业

1.如图，在R3ABC和RtAOBC中，AB^AC,BC=2BD=2,ZA=90°,ZD=90°,将AABC

翻折到△A'BC的位置，使二面角4一2。一。的大小为30。，£为边CD上的点，且CE=2ED

(1)证明：BCXA-E；

(2)求直线A'D与平面A'BC所成角的正弦值.

解(1)证明：取8c的中点R连接4凡EF,如图，

由4B=AC,得4P_LBC.

又BC=2BD=2,则C£)=小，CE=平，/BCD=30。,C尸=1,

EF-=CE2+CF2-1C£-CFcos30°=g,

i4、

EF2+CF2=-j+1=2=CE2,

：.EF±CF,BPEF±BC,

XEFQA'F^F,EF,A'EF,

.•.8C_L平面A'ER

：4Eu平面4EP,：.BC±A'E.

(2)VA,F±BC,EFLBC,NAPE为二面角4—BC-。的平面角，ZATE=30°.

以厂为原点，建立空间直角坐标系，如图，贝l4］。，坐，；)，8(1,0,0),C(-l,0,0),

吗,坐，0),故求=(—2,0,0),届=11,一坐，一£|,m=d，o,一；),

设平面45c的法向量为〃=(%,y,z),

n-Bt=0,厂2x=0,

则1即JA/31

“独=0,1x-5厂呼=0，

取y=l,则尤=0,z=一隹，即〃=(0,1,一小)，

设直线4。与平面48c所成的角为a,

则sina=|cos{n,双＞〉-=—\=坐，

I"11ml2x^4

直线4。与平面4BC所成角的正弦值为坐.

2.(2024•福建厦门模拟)如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，ZABC=60°,PA=AC=

1,PB=PD=p，点E在线段PD上,且满足成=2动.

(1)求平面EAC与平面DAC所成角的余弦值；

(2)在线段PC上是否存在一点Q,使得8。〃平面E4C?若存在，请指出点。的位置；若不

存在，请说明理由.

解(1)：底面ABC。是菱形，ZABC^60°,

.,.AB=AD=AC=1,

：.R^+AB2^PB2,

由勾股定理逆定理知，PALAB,

同理可得，PALAD,

'：AB,AOu平面ABC。，ABPiAD=A,

...以1.平面ABC。，

以A为原点，AD,AP所在直线分别为y,z轴，过点A且与垂直的直线为无轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

则A（O,o,0）,c停o）,p（o,o,1）,。（0,1,0）,

:彷=2动，；.《0,|,£）,

.•.屐=（0,W）,祀=（坐,0）,

设平面EAC的法向量为〃=（%,y,z）,

\n±Ak,卜*=专+/=。，

陷得1r

.LAC,1”市=孚^+5=0,

取x=l,得"=（1,~\[3,2小）,

易知平面D4C的一个法向量为机=（0,0,1）,

./xmn^3

..cos〈…}=|利川=2'

A/3

・•・平面EAC与平面DAC所成角的余弦值是手.

（2）设题=屁=曾3盘,—,（0WfWl）,

摄,1—fj,

又《坐，T4则旗=（^^，与，1—）

由（1）,知平面&1C的一个法向量为"=（1,一小，2小）,

当2。〃平面EAC时，”_L旗,

.,・〃.胶=0,

・・・恒子-迪邛+2$（1—）=。，

.,"=/即。为PC的中点时，再退_1_”,

且平面EAC,满足8。〃平面E4C.

3.（2024•黑龙江大庆期中）如图1,在直角梯形EFBC中，BF//CE,EC±EF,EF=LBF=

2,EC=3.现沿平行于EF的A。折叠，使得E£）_LZ）C且BC_L平面BOE,如图2所示.

图1图2

⑴求AB的长；

(2)求二面角F-EB-C的大小.

解(1)由BC_L平面BOE,BDu平面BDE,得BC_LBD,

在直角梯形EFBC中，由8月〃CE,EC±EF,EF=1,BF=2,EC=3,知BC=5

设AB=x(0a<2),则AP=OE=2—x,CD^x+1,

故BD^^AB2+AD2=x2+l,CD?=(尤+1产，

由BU+BCZMC》，得f+1+(5)2=(尤+1)2,

解得x=l,即AB的长为1.

(2)因为即_LAD,ED±DC,ADHDC^D,

且A。，ABCD,所以EZ)_L平面ABCD,

结合ZM_LZ)C知，DA,DC,Z)E两两相互垂直，

故以。为原点，DA,反，方方的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，

则2(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1),F(l,0,1),

所以昉=(0,-1,1),彷=(1,0,0),病=(一1,1,0),比=(0,2,-1),

设平面8CE的法向量为“1=(x1,yi,zi),

ni-BtJ=-xi+yi+0=0,

所以

^ni-Et—2yi-zi—Q,

取阳=1,则"i=(l,1,2),

设平面BEF的法向量为“2=(X2，>2，Z2),

H2,盾'=X2=0,

所以j-

Jl2•融=—y2+z2=0,

取丁2=—1，则"2=（0，—1，—1），

制/\八肛一3近

则COS〈小，"2）一闭||"2|一,X啦——2'

又所求二面角为钝角，

,5兀

所以二面角厂一EB—C的大小为不.

4.（2024・广东高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥尸一48CZ）中，PAL^ABCD,AD//BC,

ADLCD,AD=CD=^BC=2,点E在平面P8C上运动.

（1）试确定一点E,使得CD〃平面B4E,并说明点E的位置；

（2）若四棱锥的体积为6,在侧棱PC上是否存在一点F,使得二面角F-AB-C的余弦值为

甯？若存在，求Pf的长；若不存在，请说明理由.

解（1）取BC的中点G,连接AG,PG,如图，

由AQ—BC,AD//BC,得AZ）〃GC,AD=GC,

即四边形AGCD为平行四边形，

于是AG〃CD,

而AGu平面PAG,

COC平面PAG,

则C。〃平面PAG,

所以当点E在APBC的边8c的中线PG上运动时（E与尸不重合），CD〃平面PAE.

i(2+4)x2

⑵由于B4_L底面ABCD,ADLCD,则四棱锥P-ABCD的体积V=§x-------j-------xB4=6,

解得B4=3,

由(1)知，AGLBC,AG=BG=2,则有48=2w，AC=2吸，tAB2+AC2=BC2,AB±AC,

以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

则A(0,0,0),8(2吸，0,0),C(0,2小，0),P(0,0,3),

假定棱PC上存在一点F满足条件，

令瓦'=%此，/€(0,1),则刀(0,2寸〃,3—32),

屈=(2吸，0,0),#=(0,2回，3-3/1),

设平面ABF的法向量为〃=(x,y,z),

Ai-n—2-\f2x—0,

则彳

、办大=2/犯+(3-3/)z=0,

取z=2小九得〃=(0,3(2-1),2^22),

又平面ABC的一个法向量为机=(0,0,1),

于是二面角F—AB—C的余弦值为|cos(n,m)1=熄=~/=呼用毕，

同加yj9Q-i)2+217

解得即尸为PC的中点，此时尸C=>(2巾)2+的=5,pF=Lpc=^-

即当尸尸=乎时，二面角尸一AB—C的余弦值为平.

5.(2023•北京昌平三模)如图1,在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分别为

AC,AB上的点，S.DE//BC,DE=2,将AADE沿。E折起到AAiDE的位置，使4C_LC。,

如图2.

⑴求证：4C_L平面8CDE；

⑵若M是4。的中点，求CM与平面AiBE所成角的大小；

(3)线段2C上是否存在点P,使平面4DP与平面A/E垂直？说明理由.

解(1)证明：在R3ABC中，NC=90。，

DE//BC,

则有CDLDE,AD±DE,

折起后，有CD_LZ)E,AiD±DE,

又0X141。=。，CD,ARu平面AC。，

.•.OE_L平面AC。，又AiCu平面AC。，

：.AiC±DE,

又AiC_LC£),CD,DEu平面BCDE,CDCDE=D,

；.AiC_L平面BCDE.

(2)由CD,CB,CAi两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),0(-2,0,0),4(0,0,2事),8(0,3,0),£(-2,2,0),

.•.脑=(0,3,-2^3),硅=(—2,2,一2小)，

设平面4BE的法向量为"=(x,y,z),

A^Bn=0,f3y—2小z=0,

则彳即彳「

、元."=0,〔一2x+2y—2/z=0,

取x=—1,则y=2,z=/,

.*.n=(-l,2,4),又〃(一1,0,小)，

.•.加=(一1,0,小)，

设CM与平面所成的角为Q,

..a,3、,\cU-n\1+3__________4__应

|南|同V1+3XV1+4+32x2/2

•.•0。(《90。，；.CM与平面AiBE所成角的大小为45°.

(3)设线段BC上存在点P,且点P的坐标为(0,a,0),则。€[0,3],

.>.A>=(0,a,-2^3),D>=(2,a,0),

设平面AiOP的法向量为"i=(xi，yi，zi),

f—近

ay1—2y/3zi=0,.zi=$，

则

2xi~\~ayi=Of1

x\——'

.'.7ii=(—3a,6,y[3a)>

假设平面A。尸与平面AiBE垂直，则〃「"=0,

；.3a+12+3a=0,解得a=—2,

线段BC上不存在点P,使平面A\DP与平面ArBE垂直.

6.(2024•山西太原小店区月考)如图1,在边长为4的菱形4BCD中，ZDAB=6Q°,M,N分

别是边8C,CO的中点，ACHBD=O,ACriMN=G.沿MN将翻折到△PMN的位置，

连接B4,PB,PD