2024年重庆市铜梁区中考数学二诊试卷附答案解析

2024年重庆市铜梁区中考数学二诊试卷

一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。

1

1.（4分）在四个实数10,-1,&中，最小的数是（）

1-

A.-B.0C.-1D.V2

3

2.（4分）“生命在于运动”，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（）

3.（4分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（）

A.对旅客上飞机前的安检B.检测某市的空气质量

C.了解一批节能灯泡的使用寿命D.对五一节假日期间居民出行方式的调查

4.（4分）如图，ZVIBC和△QEF是以点。为位似中心的位似图形.若。4=A。，则△ABC与△£）£厂的

面积比是（）

A.1：1B.1：2C.1：4D.1：9

5.（4分）“全民行动，共同节约”.我国141亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节

约电1410000000度.将“1410000000”用科学记数法表示，正确的是（）

A.14.1X108B.1.41X109

C.0.141X1O10D.1.41X1O10

6.（4分）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放.其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，

第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…，按此规律排列下去，第〃个图案有25颗棋子,

则n的值为（）

①②③④

A.7B.8C.9D.10

7.（4分）甲、乙两港口相距60千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲

港口，共用去4小时，己知水流速度为2千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方

程（）

8.（4分）如图，。。的直径4B=2逐，C、。为上两点，分别连接AC、BD、CD,延长8。交。。

的切线AE于点E,若tcmC=则DE的长为（）

B.V5-2C.5-2V5

9.（4分）如图，在菱形ABC。中，作尸£垂直平分A3,垂足为E,交AC于点R连接。F,若/。。尸=

a,则NCAB等于（）

D

B.45°-aC.30°+1D.60°

10.（4分）已知两个整式：”什小将这两个整式进行如下操作：

第1次操作：用这两个整式的和除以2,将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为

整式串1：m,m+,m+n；

第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2,将结果放在这两个整式之间，又得到一个新

的整式串，记为整式串2：m,m+^n,m+Jn,m+^n,m+n,以此类推，可以得到整式串3,整式

串4,……

明明同学对此展开研究，得到以下3个结论：

①整式串4共有17个整式；

②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为-表"；

p2024।i

2024Z+

③经过2024次操作后，整式串的和为（2+1）m+2n.

以上3个结论正确的有（）

A.3B.2C.1D.0

二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上。

11.（4分）计算：|百一1|+强=.

12.（4分）己知多边形的每个内角都等于135°,求这个多边形的边数是.（用两种方法解决问题）

13.（4分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》.若从这四本著作中随机抽取两本，

则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是.

14.（4分）如图，反比例函数y=［（k40）的图象与过原点。的直线相交于A、B两点，过点A作

轴于点C,连接3C,若△BOC的面积为4,则左的值为.

15.（4分）如图，以为直径画半O。，弦BC=2®半径。2=2,过点。作。。，42,垂足为。，则

图中阴影部分的面积为.

16.（4分）如图，在矩形ABC。中，CD=9,点、E为BC边上一点、,且EC=4BE,连接。E,过点E作

DE的垂线交AB于点F,若AF=EF,则线段AF的长为.

f3x+4>2%+3a-3

17.（4分）若关于尤的不等式组（竽_1>x有解且最多有4个整数解，且关于y的分式方程为-

三=1有非负数解，则满足条件的所有整数。的和为_________.

y-1

18.（4分）一个四位正整数M,将M的千位数字和百位数字分别作为两位数s的十位数字和个位数字，

将M的十位数字和个位数字分别作为两位数t的十位数字和个位数字，规定F（M）=s+t,当F（W

能被6整除时，M被称为“顺心数”.例如：M=1224,则s=12,f=24,F（M）=12+24=36,因为

36能被6整除，所以1224是“顺心数”.最小的“顺心数”为；若“顺心数"M=1000a+102b+10c

-5（其中1W°W9,3WbW7,1WCW9,a,b,c均为整数），且加的各个数位数字之和等于它千位数

字的4倍，则M的最大值为.

三、解答题：（本大题1个小题，每小题8分，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步

骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上。

m2-9m

19.（8分）（1）x（3尤+5）+（%-2）（x-3）；（2）—----------十（1--------）•

m2+6m+9m+3

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理

步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

20.（10分）如图，在菱形ABC。中，对角线AC、2D相交于点O.

（1）尺规作图：在C8的延长线上截取BE=8C,连接AE,再过点8作AE的垂线交AE于点/（保留

作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：四边形为矩形.（补全证明过程）

证明：

•.•四边形ABCO是菱形

J.AO^OC,AC±BD

：.ZBOC=ZBOA=90°

,AO^OC

.,.OB为△ACE的中位线

ZEAO=ZBOC=90°

BFLAE

NEAO=ZBOA^NBR4=90°

四边形AOBF为矩形.（）

进一步研究上述问题发现，当8c和。满足位置关系：时，四边形AO8F为正方形.

21.（10分）为了提高学生课外阅读量，某中学开展了一系列课外阅读活动，组织七，八两个年级全体学

生进行课外阅读知识竞赛，学校从七，八两个年级中各随机抽取。名同学的竞赛成绩，并对他们的竞赛

成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用尤表示，共分为四个等级：A等：90^x^100,B

等80Wx<90,C等：70Wx<80,D等:60Wx<70,其中A等级为优秀，单位：分）

收集数据：

七年级抽取的C等学生人数是A等学生人数的3倍；

八年级抽取的8等学生成绩为：81,82,83,85,86,88,88,88,89

抽取七，八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示：

七年级八年级

平均数8585

中位数86b

众数8688

优秀率C%25%

蜩数

O

98

8

7AD

6/

5C

4

4B

3%

245

1

BCD等级

七年级抽取数据的统计图八年级抽取数据的扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题:

（1）以上数据中：a=,b=补全条形统计图;

（2）你认为该校七，八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？说明理由（说明一条理由即可）;

(3)若该校七年级有780人，八年级有1240人，估计两个年级学生的竞赛成绩被评为优秀的总人数是

多少？

22.(10分)重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计

划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个.甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，

增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务.

(1)求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数；

(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000

个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工25%,结果比原计划提

前2天完成任务，求改进技术前两车间每天加工玩偶的个数.

23.(10分)如图，平行四边形ABC。中，AD=6,CD=4,NAOC=30°,动点P从点A出发沿折线A

fgfC运动，到达点C停止运动.在运动过程中，过点尸作于点设点尸的运动路程为x,

BP+PH^yi.

(1)请直接写出力关于无的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，直接写出yi的图象与%=-+根的图象有1个公共点时机的取值范围.

八y

111--1--T11r--r--।1r--1

101--T--111।r--r--r--r--i

9------------------1---4

8J11U--J

7---；---；---

6.一千十+十+~卜+彳++可

5---T--n---------------1-------1--------r--r--r--r--r--i

4--------------1---<---

34-.4.-J11•u__4

2—1--7--1::!r--1J%--；

止mT+.ma+Y

~012345678910llx

24.（10分）五一国际劳动节前，某校组织学生进行劳动体验活动.如图，学生到达活动基地大门A处后

分组沿两条线路进行体验，最后前往休息区2处集合.根据基地平面图得知，B处在A处的正北方，插

秧体验区。在A处的正西方，磨豆花体验区E在。处的正北方300米处，也在8处的南偏西60°方向

200米处.采摘体验区C在A处的东北方向，也在B处的南偏东75°方向.（参考数据:鱼~1.41，V3-1.73,

V6农2.45)

（1）求休息区2与基地大门A之间的距离;

（2）已知第一组学生沿线路①A-D-E-B体验，在D处的活动时间为25分钟，在E处的活动时间

为20分钟，第二组学生沿线路②A-C-B体验，在C处的活动时间为40分钟，若两组学生步行的平

均速度均为60米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达休息区8处.（计算结果精确到1分钟）

N

北

西一东

南

25.(10分)已知抛物线y=a/一/+3与x轴交于点A(-4,0)和点8,与y轴交于点C.

(1)求a的值和点8的坐标；

(2)如图1,点尸为直线AC上方抛物线上的一点，过点尸作尸。〃y轴交AC于点。，再过点尸作P8

J_AC于点H,求△PQH周长的最大值以及此时点P的坐标；

(3)如图2,平移该抛物线，平移后的抛物线y经过点C且与x轴交于D,E(3,0)两点，连接C8,

CE.点厂是抛物线y'上一点，连接EE,若NFEC=/BCE,直接写出所有符合条件的点尸的坐标，

并写出求解点p坐标的其中一种情况的过程.

y

图1图2

26.(10分)已知△ABC中A8=BC,点。和点E是平面内两点，连接8。，DEBE,ZBED=9Q°.

(1)如图1,若BD=BA,/ABC=2/D,BE=2,求AC的长度；

(2)如图2,连接和CD,点/为AO中点，点G为CD中点，连接EE和8G,若EF=BG,求证：

ZBAC=NDBE；

1V3

(3)若/ABC=60°,AB=2,当鼻4。+万8。+CD取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出^

的面积.

2024年重庆市铜梁区中考数学二诊试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。

1

1.（4分）在四个实数？0,-1,加中，最小的数是（）

1L

A.-B.0C.-1D.V2

3

11

解：•••-1<0<寺V、②.•.在实数于0、-1、/中，最小的实数是-1.故选：C.

2.（4分）“生命在于运动”，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（）

EBX/V

解：A,C、D选项中的图标都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是轴对称图形；

8选项中的图标能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形；

故选：B.

3.（4分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（）

A.对旅客上飞机前的安检

B.检测某市的空气质量

C.了解一批节能灯泡的使用寿命

D.对五一节假日期间居民出行方式的调查

解：A、对旅客上飞机前的安检，最适合采用全面调查，故A符合题意；

8、检测某市的空气质量，最适合采用抽样调查，故B不符合题意；

C、了解一批节能灯泡的使用寿命，最适合采用抽样调查，故C不符合题意；

。、对五一节假日期间居民出行方式的调查，最适合采用抽样调查，故。不符合题意；

故选：A.

4.（4分）如图，△A8C和△DEF是以点。为位似中心的位似图形.若O4=A。，则△ABC与的

面积比是（

c

A.1：1B.1：2C.1：4D.1：9

解：9：OA=AD,

.OA1

••=~,

OD2

,/AABC与丛DEF是以点。为位似中心的位似图形，

AABC与ADEF的面积比为1：4,

故选：C.

5.（4分）“全民行动，共同节约”.我国14.1亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节

约电1410000000度.将“1410000000”用科学记数法表示，正确的是（）

A.14.1X108B.1.41X109

C.0.141X1O10D.1.41X1O10

解：1410000000=1.41X109,

故选：B.

6.（4分）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放.其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，

第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…，按此规律排列下去，第〃个图案有25颗棋子,

则n的值为（）

①②③④

A.7B.8C.9D.10

解：第①个图案有1颗棋子，

第②个图案有4颗棋子，

第③个图案有7颗棋子，

第④个图案有10颗棋子，

按此规律：第n个图案棋子个数是（3”-2）,

第⑨个图案的颗数为：3X9-2=25,

故选：c.

7.（4分）甲、乙两港口相距60千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲

港口，共用去4小时，已知水流速度为2千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方

程（）

解：顺流时间为：---小时，逆流时间为：----小时，

x+2x-2

…6060

由题忌得：---+----=4,

x+2x-2

故选：A.

8.（4分）如图，的直径48=2遮，C、。为上两点，分别连接AC、BD、CD,延长5。交

的切线AE于点E,若tcmC=则DE的长为（）

B.V5-2C.5-2V5

解：连接A。，如图,

,：AB为直径，

AZADB=90°,

:/C=NB,

.1

tanB=tanC=于

在RtZXABO中，

_AD_1

•taDnn==2，

设A.D=x,BD=2xf

：.AB=Jx2+(2x)2=V5x,

即底=2遥，

解得x=2,

：.BD=4,

TAE为。。的切线，

：.AB±AE,

：.ZBAE=90°,

在RtAABE中，

•tanB=诟=2'

AE=^AB—V5,

22

：.BE=y/AE+AB=J(遮=+(2遍尸=5,

：.DE=BE-BD=5-4=1.

故选：D.

o

9.（4分）如图，在菱形ABCD中，作FE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点孔连接。R若NCDF=

a,则NCAB等于（）

解：连接BD、BF,

:四边形ABC。是菱形，

；.4C垂直平分8。，ZCAD=ZCAB,

:FE垂直平分42,

C.AF^BF,

：.ZFBA=ZCAB,

：.ZCAD+ZCAB+ZFBA=3ZCAB,

:ZCAD+ZCAB+ZFBA+ZCBF=ZDAB+ZABC=180°,

/.3ZCAB+a=180°,

AZCAB=60°-1,

故选：D.

10.（4分）已知两个整式：m,m+n,将这两个整式进行如下操作:

第1次操作：用这两个整式的和除以2,将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串，记为

整式串1：m,m+m+n；

第2次操作：在整式串1中，用相邻两个整式的和除以2,将结果放在这两个整式之间，又得到一个新

的整式串，记为整式串2：m,m+^n,m+^n,m+\,m+n,以此类推，可以得到整式串3,整式

41Z4,

串4,

明明同学对此展开研究，得到以下3个结论:

①整式串4共有17个整式;

②整式串9从左往右第2个整式减去整式串10从左往右第2个整式的差为-击小

2024

?+1

③经过2024次操作后，整式串的和为（22°24+1）二万■n.

以上3个结论正确的有（）

A.3B.2C.1D.0

解：对于①:

整式串1：m,m+n,m+n,有21+2-1=3（个）；

整式串2：m,m+n,m+H,771+彳九,m+n；

42

m+i=m+4n,

22

m+ln=m+^n,

42

共有22+2-1=5（个）；

67

34-nm+-n+n

整式串3：m,m+Qn,m+几,m+QTI,m+on,m+n,m+

oo88

共有23+2-1=9（个）

由此得到整式串4,有24+2-1=17（个）整式，

故①正确.

对于②：

根据规律,得到整式串9从左往右第2个整式是爪+勺n,整式串10从左往右第2个整式是加+-4^.

22

它们的差为（血+舞）-+=热一击=表儿

故②错误.

对于③：

根据题意，整式串1：m,m+2机+〃的和为（21+l）?n4——工—n,

对于整式串2：m,

,1,1

m+-rn=m+）九,

42

,1,2

m+不九=m+17荏,

22

,3,3

九=

m+74m+2-^-n,

m+n的和为Q2+l）mH----工—n,

123456

------

整式串3：888888m+pH,m+n的和为（2^+l）m+

23+l

-2-n'

^>2024^

由此得到，经过2024次操作后，整式串的和为（22。24+1）逆+22+,人

故③正确.

故选：B.

二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上。

11.（4分）计算：|71-1|+强=b+1.

解：|V3—1|+V8

=73-1+2

=V3+1,

故答案为：V3+1.

12.（4分）已知多边形的每个内角都等于135°,求这个多边形的边数是8.（用两种方法解决问题）

解：解法一：设这个多边形是〃边形，由题意，得

（n-2）X180°=135°n,

解得w=8.

解法二：

由正多边的性质，得

每个外角等于=180°-135°=45°

外角和除以一个外角，得

360°+45°=8.

故答案为：8.

13.（4分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》.若从这四本著作中随机抽取两本，

1

则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是一.

-6-

解：画树状图如下，

论语孟子大学中庸

孟子大学中庸论语大学中庸论语孟子中庸论语孟子大学

共有12种等可能得结果，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的情况有2种，

抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是巳=±

126

1

故答案为：--

6

14.（4分）如图，反比例函数y=W0）的图象与过原点。的直线相交于A、B两点,过点A作AC_Ly

轴于点C,连接8C,若△BOC的面积为4,则4的值为-8.

解：•••反比例函数y=^（/c70）的图象与过原点。的直线相交于A、8两点,

...点A、8关于原点对称,

：.OA=OB,

==

S/^AOCS/\BOCJ

•：S^AOC=义因且反比例函数的图象位于二、四象限，

，一的值为-8.

故答案为：-8.

15.（4分）如图，以A8为直径画半。。弦8。=2百，半径03=2,过点。作CD_LA8,垂足为。，则

图中阴影部分的面积为2n-挛.

L----

,：AB为直径，

AZACB=90°，

\'CD±AB,

：.Bd=BD，AB,

%.(2问2

•,BD—AB-4—3,

・•・CD=y/BC2-BD2=V3,

**•S阴影=S半圆-S/\BDC=—~^BD,CD=2TC—,x3xV3=2TC——.

故答案为：2TT-竽.

16.（4分）如图，在矩形ABCZ）中，CQ=9,点E为BC边上一点，MEC=4BE,连接DE,过点E作

OE的垂线交AB于点F,若AF=EF,则线段AF的长为5

解：如图，连接。R

・・•四边形A8CD是矩形,

\AB=CD=9,AD^BC,

：AF=EF,DF=DF,

*.RtAADF^RtAE£>F(HL),

\AD=DE,

；EC=4BE,

,•设CE=4x,

\BC=5x,

*.AD=DE=5x,

\CD=9=<DE2-CE2=V25x2-4x2=3x,

\x=3,

•・BE=3,AD=BC=DE=15,

:EF1=BE2+BF-,

,.A产=9+(9-AF)2,

\AF=5,

f3x+4>2x+3a-3

17.（4分）若关于x的不等式组x+a有解且最多有4个整数解，且关于y的分式方程「-

---L^Xy—1

=1有非负数解，则满足条件的所有整数。的和为10.

y-i

（3x+4>2x+3①

解：竽_1>X②，

解不等式①，得尤2-1,

解不等式②，得尤<4-2,

♦.•原不等式组的解集为--2,

有解且最多有4个整数解，

••a-2W3,

a—3y_7

解分式方程——--=n1,得y=

y-iy-iz

：y=l是原分式方程的增根，

CL—2.

•・•——>0,

2

综上，且〃W4,

・••满足条件的整数。为2或3或，

2+3+5=10,

故答案为：10.

18.(4分)一个四位正整数将"的千位数字和百位数字分别作为两位数s的十位数字和个位数字，

将M的十位数字和个位数字分别作为两位数t的十位数字和个位数字，规定F(M)=s+t,当F(M)

能被6整除时，M被称为“顺心数”.例如：M=1224,则s=12,t=24,F(M)=12+24=36,因为

36能被6整除，所以1224是“顺心数”.最小的“顺心数”为1014；若“顺心数"1000a+102b+10c

-5(其中lWaW9,3W6W7,1WCW9,a,b,c均为整数)，且M的各个数位数字之和等于它千位数

字的4倍，则M的最大值为6729.

解：:M是一个正四位数，为了使M最小，

...千位数最小为1,百位数最小为0,即s=10,

为了使M最小，F(M)=s+t能被6整除，且f为两位数，

/.当t的十位数为1,个位数取0时，

F(M)=5+/=10+10=20,不能被6整除，

当r的十位数为1,个位数取1时，

F(M)=s+f=10+ll=21,不能被6整除，

当r的十位数为1,个位数取2时，

F(M)=5+/=10+12=22,不能被6整除，

当/的十位数为1,个位数取3时，

F(M)=5+/=10+13=23,不能被6整除，

当/的十位数为1,个位数取4时,

F(M)=s+f=10+14=24,能被6整除，

最小的“顺心数”为1014；

VM=1000«+102&+10c-5(其中1W.W9,3WbW7,1WCW9,a,b,c均为整数)，

•••由题意可知，M的千位数字是a,百位数字是6,十位数字是c,个位数字是(26-5),

'：M的各个数位数字之和等于它千位数字的4倍，

.'.a+b+c+2b-5—4a,BP3b—3a+5-c,

是“顺心数是

Z.l0a+b+Wc+2b-5是6的倍数，

即36+10a+10c-5是6的倍数，

：3b=3a+5-c,

.,.3Z?+10a+10c-5=3a+5-c+10a+10c-5=13a+9c,

\T3a+9c是6的倍数，且1WCW9,a,c均为整数，

必须是6,c可以是2,4,6,8,

：3b=3a+5-c,

为了使M最大，方要越大越好，那么c越小越好，

••c=2,

.,.当a=6,c=2时，

36=3a+5-c=3X6+5-2=21,

：.b=l,满足3W6W7,

此时a=6,6=7,c=2,

M=1000a+102Z?+10c-5=1000X6+102X7+10X2-5=6729,

67+29=96,96是6的倍数，

所以6729是“顺心数”，

故M的最大值是6729.

故答案为：1014,6729.

三、解答题：(本大题1个小题，每小题8分，共8分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步

骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在对应的位置上。

19.(8分)(1)x(3x+5)+(x-2)(尤-3)；

m2-9m

(2)■+(11).

m2+6m+9m+3

解：(1)x(3x+5)+(x-2)(x-3)

=3X2+5X+X2-5x+6

=4X2+6；

m2-9m

(2)~+(1一)

m2+6m+9m+3

_(m+3)(m—3).m+3—m

一(m+3)2'租+3

_m—3m+3

-m+33

m—3

=-3--

四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理

步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

20.(10分)如图，在菱形A8CD中，对角线AC、8。相交于点。.

(1)尺规作图：在的延长线上截取3E=BC,连接AE,再过点B作AE的垂线交4E于点尸(保留

作图痕迹，不写作法)；

(2)求证：四边形AO8尸为矩形.(补全证明过程)

证明：

..•四边形ABC。是菱形

：.AO=OC,AC±BD

：.ZBOC=ZBOA=90°

VBE=BC,AO=OC

OB为△ACE的中位线

BF//AC

：.ZEAO^ZBOC^90°

'：BF±AE

ZAFB=90°

：./EAO=ZBOA^ZBFA^9Q°

四边形A02尸为矩形.(有三个角是90°的四边形是矩形)

进一步研究上述问题发现，当8c和C。满足位置关系：BCLCD时，四边形A08E为正方形.

：.AO=OC,AC±BD,

：.ZBOC=ZB0A^9Q°,

,:BE=BC,AO=OC,

.•.08为AACE的中位线，

J.BF//AC,

；.NEAO=NBOC=90°,

,：BF1AE,

：.ZAFB=9Q°,

ZEAO^ZB0A=ZBFA=90°,

四边形AOBF为矩形（有三个角是90°的四边形是矩形）.

进一步研究上述问题发现，当8C和。满足位置关系：BCLC。时，四边形A02F为正方形.

故答案为：BE=BC,BF//AC,ZAFB=90°,有三个角是90°的四边形是矩形，BC±CD.

21.（10分）为了提高学生课外阅读量，某中学开展了一系列课外阅读活动，组织七，八两个年级全体学

生进行课外阅读知识竞赛，学校从七，八两个年级中各随机抽取a名同学的竞赛成绩，并对他们的竞赛

成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用x表示，共分为四个等级：A等：90WxW100,B

等80Wx<90,C等：70Wx<80,。等：60W无<70,其中A等级为优秀，单位：分）

收集数据：

七年级抽取的C等学生人数是A等学生人数的3倍；

八年级抽取的B等学生成绩为：81,82,83,85,86,88,88,88,89

抽取七，八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示：

七年级八年级

平均数8585

中位数86b

众数8688

优秀率C%25%

频数

七年级抽取数据的统计图八年级抽取数据的扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)以上数据中：a=20,b=85,5,c=10,补全条形统计图；

(2)你认为该校七，八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？说明理由(说明一条理由即可)；

(3)若该校七年级有780人，八年级有1240人，估计两个年级学生的竞赛成绩被评为优秀的总人数是

多少？

解：(1)由题意得，a=9+45%=20.

由八年级抽取数据的扇形统计图知，A等级的人数为20X券=5(人)，

将八年级的竞赛成绩按照从大大小的顺序排列，排在第10和H的是82,89,

：.b=82+89=85.5.

由题意得，七年级抽取的A等学生人数是c人，则七年级抽取的C等学生人数是3c人,

**.c+8+3c+4=20,

解得c=10.

故答案为:20；85.5；10.

补全条形统计图如图所示.

频数

七年级抽取数据的统计图

(2)我认为七年级学生知识竞赛成绩更好.

理由：七年级学生知识竞赛成绩的中位数为86,大于八年级学生知识竞赛成绩的中位数85.5,

所以七年级学生知识竞赛成绩更好.

1

(3)780X10%=78,1240x4=310,

共计优秀的总人数是78+310=388(人)，

估计两个年级学生的竞赛成绩被评为优秀的总人数约388人.

22.(10分)重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计

划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个.甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，

增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务.

(1)求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数；

(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000

个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工25%,结果比原计划提

前2天完成任务，求改进技术前两车间每天加工玩偶的个数.

解：(1)设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶为x个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶为(x+40)

个，

由题意得：7x+3(x+40)=1000,

解得：尤=88,

答：增加工人人数前每天加工熊猫玩偶为88个；

(2)设改进技术前两车间每天加工玩偶为y个，则改进技术后每天加工玩偶为(1+25%)y个，

11

_,30007x30007x3000

由题忌得：一(+~~)=2,

yy(l+25%)y

解得：y=150,

经检验，y=150是原方程的解，且符合题意；

答：改进技术前两车间每天加工玩偶为150个.

23.(10分)如图，平行四边形ABCD中，AD=6,CD=A,ZADC=3Q°,动点P从点A出发沿折线A

f^fC运动，到达点C停止运动.在运动过程中，过点尸作于点设点尸的运动路程为x,

BP+PH记为yi.

(1)请直接写出yi关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，直接写出yi的图象与%=久+机的图象有1个公共点时m的取值范围.