2024人教版七年级数学上册专项复习：整式题型归纳【8大考点题型突破】解析版

整式题型归纳【8大考点题型突破】

【题型归纳】

＞题型一：整式单项式多项式的理解

＞题型二：数字类的规律探索

＞题型三：图形类的规律探索

＞题型四：整式的加减

＞题型五：整式的加减应用

＞题型六：整式的化简求值

＞题型七:：整式加减的无关类型

＞题型八：整式的综合问题

【题型探究】

题型一：整式单项式多项式的理解

1.（24-25七年级上•上海）下列叙述正确的是（）

A.1是整式B.X?+尤2y-2万2+1是二次四项式

m—rj1

C.的各项系数都是gD.-工3+2炉-1的常数项是-1

【答案】D

【分析】本题考查了单项式与多项式的基本概念，在单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；在多

项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数；掌握单项式与多项式的基

本概念是解题的关键.根据单项式与多项式的基本概念进行判断即可.

【详解】解：A、1+a不是整式，原说法错误，不符合题意；

B、/+X2了-2/2+1是三次四项式，原说法错误，不符合题意；

c、机-§"，各项系数分别为3和-§，原说法错误，不符合题意；

D、-/+2/-1的常数项是T,

故选：D.

2.（24-25七年级上•上海闵行）下列说法中错误的是（）

A.单项式是整式B.3初2—x—l是三次三项式

22

C.多项式3r」-S的常数项是一5D.多项式33r3-5的常数项是5

444

【答案】C

1

【分析】根据整式的基本概念，解答即可.

本题考查了整式的基本概念，正确理解单项式，多项式的基本概念是解题的关键.

【详解】解：A,单项式是整式，正确，不符合题意；

B.3孙2-x-l是三次三项式，正确，不符合题意；

T.2_55

c.多项式3X3的常数项是错误，符合题意；

44

2

D.多项式3r的-5常数项是-】5，正确，不符合题意；

44

故选C.

3.（24-25七年级上•上海）下列结论中正确的是（）

A.单项式乎的系数;，次数是4B.单项式-孙的系数是一1,次数是4

C.多项式2/+*2+3是二次三项式D.单项式加的次数是1,没有系数

【答案】B

【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记定义是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的

积的形式，叫单项式；单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数;

②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式；多项式中的每个单项式，叫多项式的项；多项式中次数最高的项的次

数，叫多项式的次数，③单项式和多项式统称整式.

根据单项式和多项式的有关概念判断即可.

【详解】解：A.单项式孚的系数】，次数是3,故本选项不符合题意；

44

B.单项式-xy?z的系数是t,次数是％故本选项符合题意；

C.多项式2/+盯2+3是三次三项式，故本选项不符合题意；

D.单项式优的次数是1,系数是1,故本选项不符合题意；

故选：B

题型二：数字类的规律探索

4.（24-25七年级上•山东济宁•阶段练习）a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数.如：2的差倒数是劣=-1，

1-a

111

-1的差倒数是匚=已知％=针出是％的差倒数，的是出的差倒数，％是火的差倒数，…，以此类推，则

“2024（）

c113

A.—2B.—C.—D.一

232

【答案】D

【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出力,出，的，…，发现规律即可解决问题.

【详解】解：由题知,

・.・％=；,电是％的差倒数,

13

依次类推,

2

11

“4=/7=­•

1-(-2)3,

,,,

13

由此可见，这列数按；,9,-2循环出现,

32

又•••2024+3=674…2,

__3

°2024=a2=务•

故选：D.

5.（24-25七年级上•安徽）观察一列数：-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,-512…将这列数排成如图所示

的形式，则第10行第8个数是（）

-2

4-816

-3264-128256-512

A.289B.-289C.298D.-298

【答案】B

【分析】本题主要考查了数字规律的探索，找到相应的数字规律是解答本题的关键.根据给出的数字规律得出第1

行1个数，第2行3个数，第3行5个数，…，第9行2x9-1=17个数，第10行2x10-1=19个数，求出前9行数

的总个数为：1+3+…+17=0+⑺*9=81（个），从而得出第10行第8个数为第81+8=89个数，再根据奇数为负,

2

偶数为正判断符号，即可作答.

【详解】解：根据题意可得：第1行1个数,

第2行3个数，

第3行5个数，

第9行2x9-1=17个数,

3

第10行2x10-1=19个数，

••・前9行数的总个数为：1+3+…+17=0+17）x9=81（个），

2

第10行第8个数为第81+8=89个数，

•••第奇数个数为负的，第偶数个数为正数，

・•・第10行第8个数为一2%

故选：B.

6.（24-25七年级上•江苏镇江,阶段练习）把有理数。代入|。+4|-10得到多,称为第一次操作，再将q作为。的值

代入得到右，称为第二次操作，…，若a=T2,经过第2024次操作后得到的结果是（）

A.-2B.-6C.-8D.-10

【答案】C

【分析】本题考查了绝对值和数字类探索规律，找出一般规律是解题关键.根据题意依次计算出囚、2、%、氏、

5s…，观察发现第一次操作后，偶数次操作结果为-8；奇数次操作结果为-6,据此解答即可.

【详解】解：由题意可知，a=-12,

第一次操作后％=卜12+4|-10=-2,

第二次操作后出=卜2+4|-10=-8,

第三次操作后a3=|-8+4|-10=-6,

第四次操作后。4=卜6+4|-10=-8,

第五次操作后%=卜8+4卜10=-6,

观察发现，第一次操作后，偶数次操作结果为-8；奇数次操作结果为-6,

经过第2024次操作后得到的结果是-8,

故选：C.

题型三：图形类的规律探索

7.（24-25七年级上,山西吕梁•阶段练习）如图1,数轴上方有1个方块，记图1共有+1个方块；图2的数轴上方有

1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有-1个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共

有+2个方块；同理，记图4共有-2个方块.故按照此规律第2024个图中共有方块（）

4

D.一1013个

【答案】C

【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数

轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当

〃=2人为偶数时，第〃个图的方块数为1+(-2)+3+(-4)+…+24-1+(-2左),代入”=2024求解即可.

【详解】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和,

且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示,

二当〃=2左-1(左为正整数)时,第〃个图的方块数为1+(-2)+3+(-4)4-----\-2k-\,

当〃=2上时，第〃个图的方块数为1+(-2)+3+(-4)+…+24-1+(-2左),

.•.第2024个图中共有方块为1+(-2)+3+(-4)+…+2023+(-2024)

=-1x1012

=-1012,

故选：C.

8.(24-25七年级上•全国•课后作业)将一些相同的"。"按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中"。"的个数，则第

10个图中"。"的个数是().

O

°OOOOO

o

°OOO0000oOO

ooO°°oOO

ooOO°°oOO

°°oO

①②③④

A.90B.95C.100D.105

【答案】B

【分析】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中"。"的个数得到变化规律，进而可求解.

【详解】解：第1个图形中"。"的个数为5=5+1x0,

第2个图形中"。”的个数为7=5+2xl,

5

第3个图形中“。”的个数为11=5+3x2

第4个图形中"o"的个数为17=5+4x3,

依次类推，第"个图形中"。"的个数为5+

・•・第10个图形中“。"的个数为5+10x9=95,

故选：B.

9.(24-25七年级上•辽宁大连•阶段练习)观察下列"蜂窝图"，按照这样的规律，则第2024个图案中的"O的个

数是()

A.6075B.6074C.6073D.6072

【答案】C

【分析】本题考查了图形的规律探究.根据题意推导一般性规律是解题的关键.

根据题意可推导一般性规律为：第〃个图案中的个数是4+3(”-1)=3“+1,然后计算求解即可.

【详解】

解：由题意知，第1个图案中的个数是4,

第2个图案中"O"的个数是7=4+3,

第3个图案中的个数是10=4+3x2,

第4个图案中"O"的个数是13=4+3x3,

•••可推导一般性规律为：第〃个图案中的个数是4+3(〃-1)=3"+1,

当〃=2024时,3«+1=6073,

故选：C.

题型四：整式的加减

10.(2024七年级上•上海•专题练习)去括号或添括号.

⑴2q+3(b—c)=_；

(2)2a-3(6—c)=_.

6

(3)x2-xy+y2=x2-(_)；

(4)x2-xy+y2=x2+(_).

【答案】⑴2〃+36-3c

(2)2〃一3b+3c

⑶孙

(4)-xy+y2

【分析】本题考查的知识点是去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则.

根据去括号和添括号法则分别进行解答即可.

【详解】(1)解：2a+3S-c)=2a+3b-3c.

故答案为：2a+3b-3c.

(2)解：2a—3(6-c)=2a-3b+3c.

故答案为：2Q-3b+3c.

(3)解：+/=x2-(xy-/).

故答案为：xy-y2.

(4)解：x2-xy+y2=x2+(-xy+y2).

故答案为：-肛+/.

1L(24-25七年级上•全国•课后作业)合并同类项：

(1)-Ax-2y—x+1y—\；

(2)242b-Aab-3-5a2b-6;

(3)(3机加一5冽之)_(3机2_5冽〃).

(4)7X+4(%2—2)-2(2%2—x+3).

【答案】⑴-5x+5y-1

(2)-3a2b-4ab-9

⑶-8加之+8加〃

(4)9x-14

【分析】本题主要考查了合并同类项，去括号法则:

(1)根据合并同类项的计算法则求解即可

7

(2)根据合并同类项的计算法则求解即可；

(3)先去括号，然后合并同类项即可；

(4)先去括号，然后合并同类项即可.

【详解】(1)解：一4%-2)一1+7y一1

=(-4-l)x-(2-7)y-l

=-5x+—1；

(2)解：2a2b-4ab-3-5a2b-6

=(2-5)a2b-4ab-9

=-3a2b-4ab-9;

(3)解：(3冽几-5加之)_(3冽2__5加〃)

=3mn—5m2—3m2+5mn

=-8m2+Smn;

(4)角军：7%+4(x?—2)—2(2、2—%+3)

=7x+4、2—8—4、2+2x—6

=914.

12.(24-25七年级上•全国)合并同类项：

(1)2%2—5x+x2+4x—3x2—2；

(2)工2「_2>xy—7%2y2_|_~xy_1+5x2y2；

(3)—--2xy+0.5x^-；

(4)--1xj3+3x2y--^x2y-^xy3-^x2y-2x3y.

【答案】⑴-x-2

(2)-x2/-|xy-l

333

(3)一x3-y3

10

W-xy3-2x3y

【分析】本题考查合并同类项.合并同类项的法则：系数相加减，字母及字母的指数不变.根据合并同类项法则计

算即可.

8

【详解】(1)解：2X2-5X+X2+4X-3X2-2

=(2x2+x2-3x2)-(5x-4x)-2

=—x—2；

(2)解：x2y2-3xy-7x2y2+-^xy-l+5x2y2

=^x2y2-7x2y2+5x2-^3xy--^xy^-1

=-x2y2-^xy-1；

(3)角牟：——x3—2xy+0.5x3~y^

+[2xy-2xy^-y3

25

33

-y；

10

352

(4)解：--xy3+3x2y--x2y--xy3

=一]|孙3+1盯3J+卜2了_：x2y_#j_2x>

=—xy3—2x3y.

题型五：整式的加减应用

13.（2024七年级上•浙江•专题练习）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经

过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元.某体育用品商店提供“、3两种优惠方案:

/方案：买一个篮球送一条跳绳;

B方案:篮球和跳绳都按定价的90%付款.

已知要购买篮球50个，跳绳x条（x>50）.

⑴若按4方案购买，一共需付款一元；（用含x的代数式表示），若按8方案购买，一共需付款一元；（用含x的代数

式表不）

⑵当x=150时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算?

⑶当x=150时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元?

【答案】(l)(5000+20x),(5400+18x)

⑵购买150根跳绳时，/种方案所需要的钱数为8000元，2种方案所需要的钱数为8100元

⑶按/方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按8方案购买，付款7800元

【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键:

9

(1)由题意按/方案购买可列式：50x1200+(^-50)x20,在按8方案购买可列式：(50x1200+20x)x0.9；

(2)把x=150代入(1)中的结果计算两种方案所需要的钱数即可；

(3)先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据/方案是买一个篮球送跳绳，8方案

是篮球和跳绳都按定价的90%付款，考虑可以按/方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按2方案购买，计算出所需

付款金额，进行比较即可.

【详解】(1)解：/方案购买可列式：50xl20+(x-50)x20=(5000+20x)元；

按8方案购买可列式：(50x120+20x)x0.9=(5400+18x)元；

故答案为：(5000+20x),(5400+18x)；

(2)由(1)可知，

当x=150,/种方案所需要的钱数为=5000+20x150=8000(元)，

当x=150,3种方案所需要的钱数为=5400+18x150=8100(元)，

答：购买150根跳绳时，/种方案所需要的钱数为8000元，2种方案所需要的钱数为8100元.

(3)按/方案购买50个篮球配送50个跳绳，按8方案购买150个跳绳合计需付款：

50x120+20x100x90%=6000+1800=7800(元)；

•••7800<8000<8100,

•••省钱的购买方案是：

按/方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按2方案购买，付款7800元.

14.(24-25七年级上•山西晋城,阶段练习)小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化为最简代数式的卡片,

游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功.小明，小刚，小颖的卡片如下，其

中小颖的卡片有一部分看不见了.

小明小颖小冈U

3a2-5〃+2-8aW-6

(1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断此操作能否使游戏成功；

(2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式.

【答案】⑴游戏不成功

(2)-5a2-4Z>3-4

【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可；

233

(1)计算(3a-5b+2)-(-8/+b-6)即可判断;

10

(2)计算(3/-563+2)+(-8/+/-6)即可求解.

【详解】(1)解：根据题意得：

(3a2-5/+2)-(-8a②+/-6)=3/-5/+2+8/-ft3+6=1la2-6Z>3+8；

一6/+8的常数项为8,而小颖卡片上代数式中的常数项为T,

••・小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式不等于小颖卡片上的代数式.

••・游戏不成功.

(2)解:根据题意得，小颖卡片上的代数式为：

(3a2-5b3+2)+(-8a2+ZJ3-6)=3a2-5/+2-8/+/-6=-5a2-4Z?3-4.

小颖卡片上的代数式为-5a2―4/一4.

15.(23-24七年级上•河北沧州•期末)如图，一个长方形运动场被分隔成2个2个8,1个C共5个区，N区是

边长为am的正方形，C区是边长为cm的正方形.

B

⑴列式表示3区长方形场地的周长，并将式子化简；

(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简;

⑶如果a=25,c=10,求整个长方形运动场的面积.

【答案】(1)8区长方形场地的周长为4“m

(2)整个长方形运动场的周长为8“m

⑶整个长方形运动场的面积为2400m?

【分析】本题主要考查列代数式、去括号、合并同类项、求代数式的值等知识点，结合图形、理解每个正方形和长

方形的边的表示方法是解题的关键.

(1)由图形可知，8区长方形场地的长和宽分别可以由正方形/和正方形C的边长表示，列出代数式后再去括号、

合并同类项即可解答；

(2)整个长方形运动场的长为(2a+c)m,宽为(2a-c)m,列出代数式再去括号、合并同类项即可解答；

(3)先列代数式，再将a、c的值代入所列的代数式求值即可.

【详解】(1)解：由题意得，3区长方形场地的长为(“+c)m,宽为(a-c)m,

11

2（Q+c）+2（Q-c）=2Q+2c+2Q-2c=4a（m）,

:・B区长方形场地的周长为4am.

（2）解：由题意得，整个长方形运动场的长为（2。+c）m,宽为（2a-c）m,

.­.2（2a+c）+2（2tz-c）=4a+2c+4a-2c=8tz（m）,

,整个长方形运动场的周长为8。m.

（3）解：,整个长方形运动场的长为（2a+c）m,宽为（2a-c）m,

整个长方形运动场的面积为（2。+4（2°-。1112,

当a=25,c=10时,（2a+c）（2a-c）=（2x25+10）x（2x25-10）=2400（m2）,

,整个长方形运动场的面积为24000?.

题型六：整式的化简求值

16.（24-25七年级上•山西忻州）先化简，再求值.

3

⑴3（x—y）-2（%+歹）+2,其中％=一1,^=—；

（2）2（X3-2/）-（X-2J）-（X-3/+2X3）,其中x=—3,歹=—2.

【答案】（l）x-5y+2,--

4

（2）~y2~2x+2y,—2

【分析】本题考查了整式的加减一化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键;

（1）去括号合并得到最简结果，将、与丁的值代入计算即可求出值；

（2）原式去括号合并得到最简结果，将工与歹的值代入计算即可求出值.

【详解】（1）解：原式=3x—3y—2x—2歹+2=x—5歹+2.

3.

当％=-1,V=W时，

原式=一1一5*3+2=-1-"+2=」

444

（2）解：原式=2d—4y2—x+2y—x+3y2—

——2x+2y.

当x=—3,歹=一2时，

原式=—(—2)—2x(—3)+2x(—2)

12

=—4+6—4=—2.

17.(24-25七年级上•河北石家庄•期末)化简求值：

(1)9。2_12防+4〃-4力+12。6—9/,其中a==-；；

(2)2(X?+x/)-[2x/-3(1-X))],其中xj满足(x+2y+/一；=。.

【答案】⑴5/一5凡0

(2)2x2-x2y—2xy2+3,10

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质：

（1）先合并同类项化简，再代值计算即可；

（2）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出X、》的值，最后代值计算即可.

【详解】（1）解：9a2-12ab+4b2-4a2+I2ab-9b2

=（9-4）a2-（12-12）aft+（4-9）S2

=5a2-5b2,

当°=彳,6=_彳时，原式=5x[』]—5xf——=———=0；

22⑵I2)44

(2)解：2(x2+-^2xy2-3(1-x2y^

=2x2+2x1y-(2xy1-3+3x2y^

=2x2+2x2y—2xy2+3—3x2y

—2x?—y-'Zxy^+3,

7i9i

,・,(％+2)+y~~~0，(x+2)>0,y-->0,

x+2=0?y—=0,

2

=8-2+l+3

二10.

18.（23-24七年级下•重庆・开学考试）化简求值：2心一［加_2（2/6-加）卜加，其中,一收^^仁。.

13

(1)求Q,b的值

(2)化简并求出2a2b-[ab2-2(2a2b-ab1)]-ab2的值.

【答案】(1)。=1,b=-3

(2)6a2b-4ab2,-54

【分析】本题考查整式的运算，熟练运用整式运算法则是解题关键.

(1)根据绝对值的非负性即可求解；

(2)先去括号，然后和合并同类项，得出最简式后，把。、6的值代入计算即可.

【详解】(1)解：•.山一1|+|6+3|=0,

••・〃—1=0,b+3=0,

a=1,Z?=-3；

(2)2a2b-[a/一2(2a2b-ab20-ab1

=201b-[ab1-4a2b+lab1)-ab1

—2cl2bab?+4a2bZab?-ab?

=6a2b-4ab2,

当a=1,b=-3时，

原式=6xl2x(-3)-4xlx(-3)2=-18-36=-54.

题型七:：整式加减的无关类型

19.(2024七年级上,贵州)已知N=3(/+X)-2(X2-5)+X2

⑴化简/;

(2)若B/+"一],且4与5的差不含％的一次项，求。的值.

【答案】(1)2X2+3X+10

(2)4=3

【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题

的关键：

(1)去括号，合并同类项，进行化简即可；

(2)先求出/与3的差，根据结果不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0,进行求解即可.

【详解】(1)解：^=3(X2+X)-2(X2-5)+X2

■L4

=3x2+3x—2x2+10+x2

—2/+3x+10；

(2)A—B—2x2+3x+10—x2—ax+1

—%2+(3-+,

・・弘与5的差不含x的一次项，

•，・3—a=0,

，Q=3.

20.(23-24七年级下•重庆九龙坡)已知/=3/一3加x+2y,5=2〃/一3%+3歹是关于工，＞;的多项式，其中如〃为

常数.

⑴若Z+5的值与％的取值无关，求如〃的值.

(2)在⑴的条件下，先化简病〃-2&/〃+4”)+3(2/〃+〃)，再求值.

3

【答案】⑴加=一1,〃=—5；

3

(2)6m2n-5n,--.

【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，整式的加减-化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键.

(1)求出/+B的结果，再根据4+5的值与％的取值无关，可得含％项的系数为0,据此即可列方程求解；

(2)先对整式进行化简，再把(1)中所得加、〃的值代入化简后的结果中计算即可求解.

22

【详解】(1)I?：A=3x-3mx+2y,B=2nx-3x+3yf

：.A+B=3x2-3mx+2y+2nx2-3x+3y=(3+2^)x2~(3m+3^x+5y,

+5的值与1的取值无关，

3+2n=0,31n+3=0,

13

・••m=—l,n=—；

2

(2)解：原式=/〃一(加2〃+8〃)+6加2〃+3〃

=m2n—m2n-8〃+6m2n+3n，

=6m2n—5n，

13

vm=-\,n=——,

.•・原式=6x(-Q33

15

_3

--2,

21.(22-23七年级上•广东佛山•期末)已知Z=4Q+2Q6—36+2,B=-a-15b+6ab.

(1)当Q+b=3,Qb=2时，求2/-8的值；

(2)若24-8的值与。的取值无关，求b的值，并求24-5的值.

【答案】(1)27

989

(2)6=-,2A-B=W

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题：

(1)根据整式的加减计算法则求出24-5的结果，再把々+6=3,"=2整体代入求解即可；

(2)将在(1)的基础上，进一步化简，要使24-8的值与。的取值无关，则令含有〃的项的系数为。即可就出b

的值，再带入24-8即可求解24-8的值.

【详解】(1)I?：A=4a+2ab-3Z)+2,B=-a-15b+6ab,

・・・24—B

—2(4q+2ab—3b+2)—(-ci—15b+6ab)

=8。+Aab-6b+4+4+156-6ab

=9a+9b—2ab+4

=9(Q+6)-2Q6+4,

•・,a+b=3,ab=2,

・•・原式=9x3-2x2+4=27；

(2)解；由(1)可得24—5=9。+96—2。6+4=(9—26)。+96+4,

••・24-8的值与〃的取值无关，

・・.9—2b=0,

2

989

.•.2/-B=96+4=9x—+4=——。

22

题型八：整式的综合问题

22.(24-25七年级上•河南新乡)"整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用

广泛.

(1)把(x-y)2看成一个整体，将2(x-_5(x-a+(x-4合并的结果是

(2)①已知a2+a=\,贝I2a°+2a+2020=;

16

（2）已知〃+b=—3,贝lj5（。+6）+7。+7b+11；

9

（3）已知/—2ab=-5,ab+2b2=-3,求代数式3a2--ab+3b2

【答案】（l）-2（x-y）2

（2）①2022；②-25

,、39

（3）-y

【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想.

（1）把（工-了）2看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简；

（2）①把/+a看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；

②把a+6=-3看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；

（3）将代数式提取一个;，化为（（6/-9仍+662）,再将1-2成=-5,仍+2/=-3整体代入计算即可.

22

【详解】（1）解：2（x-y）-5（x-y＞）+（x-y）

=（2-5+l）（x-y）”,

故答案为：-2(x-y)2

(2)解:(T)'.'a2+a=1,

2a"+2a+2020=2(a-+a)+2020=2x1+2020=2022,

故答案为：2022；

:a+=-3,

5(a+b)+7“+7b+11

-5(a+6)+7(a+6)+11

=(5+7)(a+Zj)+ll

=12x(-3)+ll

=-25；

故答案为：-25

(3)解：Va2-2ab=-5,ab+2b2=-3,

17

9

3a2——ab+3b2

2

=；(6/-9ab+6b2)

=；[6(/-2ab)+3(«Z)+2b1)]

=；x[6x(—5)+3x(-3)]

=-x(-39)

2

_39

--T,

23.(24-25七年级上•江西上饶)观察下列等式6汽-；1_11W将以上三个等式两边分别

2^3-2-3

111=1+113

相加得:----1-----1----4

1x22x33x4233444

11

⑴猜想并写出:

4x5

(2)直接写出下列各式的计算结果:

①一L+-••+1

Jx22x33x42023x2024

②---+----+----+…+-------=

^1x22x33x4〃(〃+1)--------

1

⑶探究并计算:----1-----1-----1---F

2x44x66x82022x2024

j___1_

【答案】⑴；-g;

n77+1

⑵①就②言

1011

⑶

4048

【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键;

(1)观察已知等式可知相邻两个正整数乘积的倒数等于较小的数的倒数减去较大数的倒数，据此规律求解即可;

(2)①结合(1)中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果；

(3)把运算先化为具有(2)中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算.

【详解】(1)解：,=1一1，

1x22

111

2^3~2~3f

1_11

3^4~3~4f

18

1_1__1

以此类推可知,

n(n+l)nn+1

111

"4^5"4-5

故答案为：常j___1_

n〃+1

/_、h-nZT\lx.11111111INUND

(2)角牛：(J)原式=l-----1-----------1-----------1------1----------------------=l---------=-------

223342023202420242024

(2)原式=1-----1-----------1-----------1------1---------------=1---------=------

—22334nn+ln+1n+1

解：原式：1111

(3)=x--------1----------1----------1------1--------------------

1x22x33x41011x1012

1111111

1—।----------1------------F,••H---------------------

=r2233410111012

1喘

=­x1

4

11011

—x------

41012

1011

4048

24.(24-25七年级上•全国•课后作业)我们知道，4x-2x+x=(4-2+l)x=3x,类似地，我们把(…)看成一个整体,

则4(q+6)-2(a+6)+(q+6)=(4-2+1)伍+6)=3(1+6).〃整体思想〃是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式

的化简与求值中应用极为广泛.

⑴把(。-6)2看成一个整体，化简：3(4-6)2-6(4-6)2+23-6)2；

(2)已知。=-3,b=-\,求(1)中整式的值；

⑶先化简，再求值：§(2工2—工+3)+§(212—x+3)—2(2f—x+3),其中％=—/.

【答案】⑴一(。一人)2

⑵T

⑶2、2一%+3,4

【分析】本题考查了合并同类项，整体思想的运用是解答本题的关键.

(1)把(。-6)2看成一个整体合并同类项即可；

(2)把3,b=-1代入(1)化简的结果计算即可；

(3)把(2/-x+3)看成一个整体合并同类项化简，再把尤=-;代入计算即可.

【详解】(1)解：3(a-by-6(a-b)2+2(a-b)2

19

=(3_6+2)(Q_6『

=一("6/.

(2)解：当。=一3,6=-1时,

原式=-(-3+1/=-(-2)2=-4；

(3)解：|(2X2-X+3)+1(2X2-^+3)-2(2X2-X+3)

="-2)2/一》+3)

=(3-2)(2——x+3)

=2Y—x+3,

当x=T时，

原式=2x［二］-f--V3=2x-+-+3=-+-+3=4.

I2)I2)4222

【专题强化】

一、单选题

25.（24-25七年级上•上海浦东新）代数式2/歹+3//一6关+2贯是（）

A.按x降哥排列B.按x升募排列

C.按V降幕排列D.按了升塞排列

【答案】A

【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降累，升累排序的定义.

根据降塞排序和升幕排列的定义，依据不同的字母进行排列.

【详解】解：按某一个字母的升累排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降累则相反，常数项应该放在最前

面，

•.•多项式2。+3》2了2-6x+2y3中，x的指数为：3,2,1,0的指数为：1,2,0,3,

.•.按x降塞排列，

故选：A.

26.（24-25七年级上•上海浦东新•阶段练习）把代数式-&工2-11-（-/+1）去括号，正确的结果是（）

11737V17-«7-«

A.—x—1+x+1B.—x+1+x+1

22

C.--x2+l+x2-lD.--x2-1+x2-1

22

20

【答案】C

【分析】本题考查了整式去括号，计算时注意符号，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键.

根据整式的去括号法则计算即可.

【详解】解：+l）=-1x2+l+x2-1,

故选：C.

27.（24-25七年级上•上海浦东新•阶段练习）在下列代数式：2x+y,,冷，当，0中，是整式的有

x333b

（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称为整式，解题的关键是熟知整式的概念.

直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出即可.

【详解】解：整式有：,国，丁，。，共计4个，「郎为分式;

故选：B.

11

28.（24-25七年级上•河南洛阳•阶段练习）已知一列数外,出它们满足关系式％=匚1'

1

。4=-----------，…，当q=2时，贝U4024=（）

1一

11

A.2B.-1C.——D.-

22

【答案】B

【分析】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键.分别计算出第2、3、4个数，据此得

出循环规律，进一步求解即可.

【详解】解："=2,

_1_1_,

•••a2=；---------=；_7=-1,

1—4]1—2

111

•••%=；=；―m;，

1—41—(—1)2

2

・•・数列是3个一循环的数列,

•・•2024=674x3+2,

**•。2024———1，

21

故选：B.

29.（24-25七年级上•吉林长春•阶段练习）正方形N8CZ）在数轴上的位置如图所示，点。、A对应的数分别为。和

-1,若正方形ZBCD绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点3所对应的数为-2,则翻转11次后,

数轴上的数-12所对应的点是（）

BC

,,.AI)1111J

-4-3-2-C1234

A.点AB.点5C.点CD.点Z）

【答案】D

【分析】本题考查的是数轴点的运动规律的探究，由正方形/BCD在数轴上转动一周的过程中，3对应的数是

-2,C,。,/分别对应的数是-3,-4.-5,再翻转1次后，5对应的数是-6,所以四次一循环，再结合"即可得答案.

【详解】解：正方形/8CO在数轴上转动一周的过程中，5对应的数是-2,C,。,4分别对应的数是-3,-4,-5,再翻

转1次后，