高考数学二轮复习专题六几何第1讲直线与圆含答案及解析

第1讲直线与圆（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】直线的方程 2【考点二】圆的方程 4【考点三】直线、圆的位置关系 5【专题精练】 7考情分析：1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．4．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．6．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．8．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．考点突破考点突破【考点一】直线的方程核心梳理：1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).一、单选题1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．1二、多选题3．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（

）A．B．若，则直线的倾斜角为C．存在直线使得D．的最大值为12三、填空题5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程．6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数．规律方法：解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．【考点二】圆的方程核心梳理：1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．一、单选题1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．2．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（

）A．3 B．4 C．8 D．6二、多选题3．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知是圆心为，半径为2的圆上一动点，是圆所在平面上一定点，设（）．若线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为，则（

）A．当时，为椭圆 B．当时，为双曲线C．当时，为双曲线一支 D．当且越大时，的离心率越大4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有(

)A． B．C．的最小值为 D．的最大值为三、填空题5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为．6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为．规律方法：解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【考点三】直线、圆的位置关系核心梳理：1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．一、单选题1．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（

）A．两圆的圆心距的最小值为1B．若圆与圆相切，则C．若圆与圆恰有两条公切线，则D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为24．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（

）A．双曲线的方程为B．的面积为C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切三、填空题5．（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则．6．（2023·河南·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为．规律方法：直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（

）A． B． C．1 D．24．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2023·北京房山·一模）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（

）A． B． C．4 D．67．（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高二上·湖北武汉·期末）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（

）A．的取值范围为B．四边形面积的最大值为C．满足的点有两个D．的面积最大值为10．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线和圆，则（

）A．直线过定点B．直线与圆有两个交点C．存在直线与直线垂直D．直线被圆截得的最短弦长为11．（2024·广东汕头·一模）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：①新桥与河岸垂直；②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上；③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（

）A．新桥的长为B．圆心可以在点处C．圆心到点的距离至多为D．当长为时，圆形保护区的面积最大三、填空题12．（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则的值为．13．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为.14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．．四、解答题15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：(1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程；(2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标．16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切．(1)求圆C半径；(2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；②证明直线AB恒过定点．17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.(1)求W的方程；(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.

第1讲直线与圆（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 9【考点一】直线的方程 9【考点二】圆的方程 13【考点三】直线、圆的位置关系 18【专题精练】 23考情分析：1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．4．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．6．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．8．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．参考答案：题号1234答案CDBA1．C【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，，此时.

故选：C2．D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为，当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D3．B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

4．A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.5．（中任意一个皆可以）【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．6．【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：7．【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．8．或或或．【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．考点突破考点突破【考点一】直线的方程核心梳理：1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).一、单选题1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．（20-21高二·全国·单元测试）如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A． B． C．2 D．1二、多选题3．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（

）A．B．若，则直线的倾斜角为C．存在直线使得D．的最大值为12三、填空题5．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程．6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数．参考答案：题号1234答案CDBDBC1．C【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】当时，，即，则，即；当时，，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C2．D【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，即.所以，，，.故选：D．3．BD【分析】根据题意，由条件可得弦所在的直线方程，然后将转化为圆心到直线的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得弦所在的直线方程为，因为圆，圆心，圆，圆心，设圆心与圆心到直线的距离分别为，因为，即，所以，又，即，化简可得，即，解得或.故选：BD4．BC【分析】A选项，根据点在圆的内部得到不等式，求出，利用垂径定理得到，而，从而得到方程，求出；B选项，在A选项基础上得到，结合求出直线的斜率和倾斜角；C选项，假设存在，结合满足要求，故C正确；D选项，由三角形面积公式和相交弦定理得到D错误.【详解】A．因为点在圆的内部，所以，解得．设点到直线的距离为，则，其中为定值，所以当时，最大，AB最小．又圆心，所以，所以，解得，A错误．B．由选项可知，当AB=4时，直线，而，所以，所以直线的倾斜角为，B正确．C．假设存在直线使得，则此时点到直线的距离为，满足要求，所以假设成立，C正确．D．由三角形面积公式得，

因为弦一定经过点，设直线与圆相交于点，因为，所以∽，故，故，因为，所以，所以，当，即时等号成立，故D错误．故选：BC．5．或（写出一个即可）【分析】由条件可设直线方程为，结合条件列方程求即可得结论.【详解】因为切线的方向向量为，所以切线的斜率为，故可设切线方程为，因为直线与圆相切，又圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，所以或，所以与圆相切且方向向量为的直线为或，故答案为：或（写出一个即可）.6．或【分析】设出动点的坐标，由求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线的距离等于1即可.【详解】设点，由可得：，两边平方整理得：，即点的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.若该圆上有且只有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离，解得．故答案为：或.规律方法：解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．【考点二】圆的方程核心梳理：1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．一、单选题1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．2．（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（

）A．3 B．4 C．8 D．6二、多选题3．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知是圆心为，半径为2的圆上一动点，是圆所在平面上一定点，设（）．若线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为，则（

）A．当时，为椭圆 B．当时，为双曲线C．当时，为双曲线一支 D．当且越大时，的离心率越大4．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有(

)A． B．C．的最小值为 D．的最大值为三、填空题5．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为．6．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为．参考答案：题号1234答案CDABDBC1．C【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】圆可化为，圆心，半径为.圆可化为，圆心，半径为.设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示：由题意得，三点共线，三点共线，，，∴，∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，∴，∴点的轨迹方程为.故选：C.2．D【分析】设圆的方程为，代入坐标得的值，即可得圆的方程，再令，即可求得与轴相交弦长.【详解】设圆的方程为，代入点，，，则，解得，可得，整理得符合题意，所以圆的方程为，令，可得，解得，所以．故选：D.3．ABD【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质可得，结合选项，判断点B与圆的位置关系，结合椭圆、双曲线的定义以及其几何性质，依次判断选项即可.【详解】A：由题意知，点A、B为定点，，当时，点B在圆内，由线段垂直平分线的性质知，，所以，由椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆，故A正确；B：当时，点B在圆外，不妨设点B在点A的右边，由线段垂直平分线的性质知，，所以；同理，若点B在点A的左边，有，所以，由双曲线的定义知，点M的轨迹为双曲线，故B正确；C：由选项B的分析，可知C错误；D：由选项A知，当时，点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，焦距为t，若t增大，则半焦距c增大，所以离心率随之增大；由选项B知，当时，点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，且，焦距为t，若t增大，则半焦距c增大，所以离心率随之增大；所以当且越大时，E的离心率越大，故D正确.故选：ABD.4．BC【分析】设，，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依次计算可得正确答案．【详解】设，则，即，它表示以原点为圆心，半径为1的圆；设，则由，得，即，它表示一条直线；对于选项A：，故选项A错误；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度，该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）；故选：BC．5．；【分析】利用待定系数法，结合配方法即可得解.【详解】依题意，设的外接圆的一般方程为，则，解得，所以所求圆的一般方程为，则其标准方程为.故答案为：.6．【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2【详解】设Ax由解得，可得，设经过点A，B，的圆的方程为，所以，解得，即，可得.故答案为：.规律方法：解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【考点三】直线、圆的位置关系核心梳理：1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．一、单选题1．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（

）A．两圆的圆心距的最小值为1B．若圆与圆相切，则C．若圆与圆恰有两条公切线，则D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为24．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（

）A．双曲线的方程为B．的面积为C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切三、填空题5．（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则．6．（2023·河南·模拟预测）圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为．参考答案：题号1234答案DAADBD1．D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线相切的切点坐标为，由，求导得，因此抛物线在点处的切线方程为，即，依题意，此切线与圆相切，于是，解得或，所以所求切线条数为3.故选：D2．A【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：

由题意圆的标准方程为，，又因为，所以，所以，又圆心到直线的距离为，所以，所以不妨设，则，又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时，有最大值.故选：A.3．AD【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误．【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确；对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得．两圆外切时，圆心距，即，解得．综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确；对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，，即，可得，解得且，故C项不正确；对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确．故选：AD．4．BD【分析】根据双曲线定义结合为等边三角形得，，由余弦定理得，进而求出方程为判断选项A；求出判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D.【详解】由已知得，由双曲线定义知：，因为，所以，故，，在中，由余弦定理得：，解得：，所以，方程为，A错误.的面积为，B正确.取的中点，，两圆内切，故C错误.取的中点，则，两圆外切，故D正确.故选：BD5．81【分析】由题意可知点在以为直径的圆上，结合两圆相交可得直线的方程为，再根据直线与圆相切列式求解.【详解】圆：的圆心为O0,0，半径；圆：的圆心为，半径；由题意可知：，可知点在以为直径的圆上，以为直径的圆为，整理得，结合圆：，两圆方程作差，可得直线的方程为，即，若直线与圆：相切，则，整理得.故答案为：81.6．【分析】求出A、B坐标，设N(x,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆，令，得，解得或，则，．设，∵，∴，则，整理得，则点N的轨迹是圆心为，半径为的圆．又圆M的方程为，则圆M的圆心为，半径为．∵，∴两圆相交，设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D，连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形，∵，，∴，则，则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为．故答案为：.规律方法：直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（

）A． B． C．1 D．24．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2023·北京房山·一模）已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（

）A． B． C．4 D．67．（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（22-23高二上·湖北武汉·期末）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（

）A．的取值范围为B．四边形面积的最大值为C．满足的点有两个D．的面积最大值为10．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线和圆，则（

）A．直线过定点B．直线与圆有两个交点C．存在直线与直线垂直D．直线被圆截得的最短弦长为11．（2024·广东汕头·一模）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：①新桥与河岸垂直；②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上；③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（

）A．新桥的长为B．圆心可以在点处C．圆心到点的距离至多为D．当长为时，圆形保护区的面积最大三、填空题12．（2023·全国·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则的值为．13．（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为.14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．．四、解答题15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆O：(1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程；(2)设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标．16．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：相切．(1)求圆C半径；(2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；②证明直线AB恒过定点．17．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.(1)求W的方程；(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.参考答案：题号12345678910答案DCADACBDACABC题号11答案AC1．D【分析】求出直线平行的充要条件为，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若，则有，所以或，当时，，故，重合；当时，，满足条件，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．2．C【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意设直线的方向向量为，则，而，则，即为直线的法向量，又O到直线的距离为，故在上的投影向量为，

故选：C3．A【分析】根据条件列方程组求出，然后利用点到直线的距离求解即可.【详解】由已知得，解得，则双曲线的左焦点，一条渐近线，故双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为.故选：A.4．D【分析】借助待定系数法计算即可得.【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为，则有，解得，故该圆方程为.故选：D.5．A【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果.【详解】因为可化为，则，所以．又点在圆的外部，所以，故，综上，．故选：A.6．C【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小【详解】由圆的方程，可知圆心，半径，直线过定点，因为，则定点在圆内，则点和圆心连线的长度为，当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，由圆的弦长公式可得，故选：C7．B【分析】利用万能公式将直线方程化为，求出过原点与直线垂直的直线方程，进而得出点的轨迹为圆心为半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解.【详解】由可得，令，由万能公式可得，，所以直线的方程为①，由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为②，可得，即表示点的轨迹为圆心为半径为3的圆，于是线段长度的取值范围为，因为，所以线段PQ长度的取值范围为，故选：B.8．D【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设Ax1,y1，Bx2,y【详解】即，则圆心为，半径，直线，令，解得，即直线恒过定点1,0，又，所以点1,0在圆内，设Ax1,y1，B消去整理得，显然，则，则，所以，，则，则，又直线的斜率不为，所以不过点1,0，所以动点的轨迹方程为（除点1,0外），圆的圆心为，半径，又，所以，即，即的取值范围为.故选：D

【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得.9．AC【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C，根据三角形的面积公式可求解D.【详解】圆心到直线的距离，所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，当时取得等号，所以的取值范围为，A正确；因为，所以四边形的面积等于，四边形面积的最小值为，故B错误；因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，则有，所以满足条件的点有两个，C正确；因为所以当，即，面积有最大值为，此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误，故选:AC.10．ABC【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A，由可得，，令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确；对B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即，此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确；对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；故选：ABC.11．AC【分析】根据给定条件，求出直线的方程，联立求出点的坐标判断A；设，由题意列出