2024年中考数学复习重难点专练：一元一次方程（学生版）

一元一次方程

1、概念理解错误导致出错.

定义用等号来表示相等关系的式子，叫做等式.一

学习误区

性质运用错误导致出错.

(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一

)定义不同.个整式，所得结果仍是等式.

a=bQo±c=b±c

1.区别

代数式、等等式性质

式与方程的

方程是特殊的等式，但等式不一定是方程.知能提升

(3)区别与联系(2)等式两边都乘(或除以)同一个不为0的数,

知识所得结果仍是等式.

>,^a=/>,C5'£0=ac=bc^i4-c=b+c一

升华梳理1>

(1)等式和方程的左、右两边都由代数式构%2.联系

含有未知数的等式叫做方程.

(2)方程是含有未知数的等:

如，x+3=5»rt尸1卢2x-3=0,…

定义

只要是用“=”连接的式子,方醺N

不管它是否成立.基础知识’方程使方程左右两边的值相等的未知数

方程的解的值叫做方程的解，只有一个未知

---------^方程的解，也叫做方程的根.

等式的概念

是等式.学法

指导

常求方程的解的过程叫做解方程.

含有未知数.方程的概念解方程

见

概念问题的

几

它(或它们)是方程中未知数的值.种若两个方程的解相同，则这两个

方程的解方I同解方程式方程叫做同解方程.一

将它(们)分别代入方程的左边和右程

边，左边等于右边.

一元一次方程形如av+/>=0("0)

基本性质1.杉如图:黑1

二元一次方程组

性质

基本性质

2无理——元二次方程形jgav34-/>.v+f=0(</#0)_

方程/\

基本性质:,分式方程

即分母含有未知数的方程.

1、移项忘记变符号.

2、违反去括号法则.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数

不等于0的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式

>

3、去分母时，漏给不含分母的项乘公分母.L'^^ar+b=O(a,6为常数，a^O)._______________

4、忽视分数线的“括号”作用.学习误区

5、忽视“0”的特性：任何数与。相乘都得0.

6、小数化为整数时，把小数以外的数也跟着扩大.去分母.....边扁一毒冬用附.小小他曲

定义

7、小数化为整数时，同一分数中的分子，分母扩大的倍数不同.

知能提升:去括号括号，再去中括号，最后去大括昱

Z落而把含有未知数的项移到方程的左边，

用一元一次方程解决实际问题的基本思路总结知识

升华—、其他项移到方程的右边，移项要变号.

实际问题抽；》数学问题------———►己知■,未知■,等■关系梳理

解方IZ---------------------一

程步骤〃4、合并同类列化为最简方程aubgwO)的形心

TI列

1］出

解释<4----L=解的合理性，空方程的解「巴方程5、系数化为1x吟

若有分母先去掉，化为整式很重要；

去分母1.弄清题意和题目中的已知数、未知数,

各项都乘公分母，分子项多加括号.

正括号来不变号，负括号来全变号;

去括号

各项都要乘系数，系数分配要公道.

指导

未知在左常数右，移项切记要变号:移项

解方程

同类合并要谨慎，一边一项处理好.合并同类项注意问题

系数化一有讲究，分数乘倒整数除.系数化为一

列方程

应注意问题

找出已知与未知，相等关系列方程.

应用解字

系

类型母

的

解出负数要斟酌，未知范围莫忽略.数

元

一

可化为奴=人的形式

次

一

程

和差倍分问题、等积变形问题、数字问题、行程(1)CT#0.X=-.方

a

问题(相遇、追及、航行)、劳力调配问题、工(2)a=0,b关(V无解.

程问题、储蓄问题、商品利润问题……

02知名梳理

知识点01：解一元一次方程

【高频考点精讲】

1.解一元一次方程的一般步骤

(1)一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

(2)所有步骤目的：使方程逐渐向x=a形式转化。

2.解一元一次方程时，应该先观察方程的形式和特点，如果有分母一般先去分母；如果既有分母又有括号，

且括号外的项乘以括号内各项后能消去分母，就先去括号。

3.求解“a/bx=c”类型方程时，将方程左边按照合并同类项的方法并为一项，即(界6)x=c,使方程

逐渐转化为"=6的最简形式，体现化归思想。将ax=6系数化为1时，首先弄清楚求x时，方程两边除

以的是a还是6,尤其a为分数时；其次要准确判断符号，a、6同号x为正，a、6异号x为负。

知识点02：由实际问题抽象出一元一次方程

【高频考点精讲】

1.“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在此类问题中，首先表示出各部分的

量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程；

2.“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中另一个基本关系式，也是列方程的一种基本方法。

通过对同一个量从不同角度用不同的式子表示，进而列出方程。

知识点03：一元一次方程的应用

【高频考点精讲】

1.销售问题：利润=售价-进价，利润率=理胆X100%；

迸价

2.工程问题：

（1）工作量=人均效率X人数X时间；

（2）如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段工作量的和=工作总量；

3.行程问题：路程=速度X时间；

4.水流航行问题：

（1）顺水速度=静水速度+水流速度；

（2）逆水速度=静水速度-水流速度。

⑬新题速递

检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.66

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+〃=5的解为x=l,则〃的值为（）

A.3B.-3C.7D.-7

2.（2分）（2023•光泽县模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车,

二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多

出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2x+9

C.-^-+9=^-9D.3（x-2）=2（x+9）

32

3.（2分）（2023•连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，

弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马

每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）

Ax一x+12B.=-12

,240—"15CT240150

C.240(x-12)=150xD.240x=150(x+12)

4.（2分）（2023•贵州）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有

剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正

确的是（）

A7B

-x4-=100-3x+l=100C,x-4-x=100D,等=100

ooo

5.（2分）（2023•日照）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，

人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多

出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x,可列方程为（）

A.9x+ll=6x+16B.9x-ll=6x-16

C.9x+ll=6x-16D.9x-11=6^+16

6.（2分）（2023•台湾）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往

吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两

人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步

的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（）

A.46B.50C.60D.72

7.（2分）（2023•新昌县模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙

发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；

乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，

甲乙相逢，则可列方程（）

8.（2分）（2023•南充）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，

不足一尺.木长几何？"（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）.意思是，现有一根长木，不知道其长短.用

一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？

设长木长为x尺，则可列方程为()

A.—(x+4.5)=x-1B.-1(x+4.5)=x+l

22

C.—(x-4.5)=x+lD.—(x-4.5)—x-1

22

9.（2分）（2023•宿迁）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问

人与车各几何？设有车x辆，则根据题意，可列出方程是（）

A.3(x+2)=2x-9B.3(x+2)=2x+9

C.3（x-2）=2x-9D.3（x-2）=2x+9

10.（2分）（2023•枣庄）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二

百四十里，弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240

里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则

下列方程正确的是（）

A.240x+150x=150X12B.240x-150^=240X12

C.240^+150^=240X12D.240x-150^=150X12

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2023•鼓楼区校级模拟）定义运算法则：a㊉6=d+加，例如3㊉2=3,3X2=15.若2㊉x=

10,则x的值为.

12.（2分）（2023•德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取

九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个

数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m王小明抽取到的题目

如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则勿=.

图II

13.（2分）（2023•伊通县四模）“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺：如果将

绳子折成四等份，井外余绳1尺.问绳长、井深各是多少尺？”设井深为x尺，可列一元一次方程

为.

14.（2分）（2023•余江区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来

到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么

有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有x间客房，可列方程

为：•

15.（2分）（2023•慈溪市一模）方程术是中国传统数学著作《九章算术》中最高的代数成就.《九章算

术》中记载了这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善

行者追之，问几何步及之？”译文：”相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走

路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”，根据题意可求得走

路快的人要走步才能追上走路慢的人.

16.（2分）（2023•柯桥区一模）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，

负一场得。分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜场.

17.（2分）（2023•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，

还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程

为.

18.（2分）（2023•未央区校级三模）请阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，五

只没处去，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗中谈到的鸦为只，树为

棵.

19.（2分）（2023•大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，

盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何.”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多

出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、鸡价各是多少.”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列

方程为.

20.（2分）（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三

斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古

代中国1斤等于16两）.今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤.

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（6分）（2023•浙江模拟）以下是欣欣解方程：生2aL=］的解答过程：

32

解：去分母，得2（x+2）-3（2x-l）=1；................①

去括号：2e2-6科3=1；..........................②

移项，合并同类项得：-4x=-4；.........................③

解得：x=l...........................................④

（1）欣欣的解答过程在第几步开始出错？（请写序号即可）

（2）请你完成正确的解答过程.

22.（6分）（2023•衢州）小红在解方程互生L+1时，第一步出现了错误:

36

解：2X7x=(4x-1)+1,

（1）