2024年浙教九年级上册《垂径定理》同步练习卷（四）

浙教新版九年级上册《3.3垂径定理》2024年同步练习卷（4）

一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知。O的直径于点E，则下列结论一定错误的是（）

A.CE=DE

B.AE=OE

C=RD

D.△OCE之△OOE

2.如图，是OO的直径，弦。。工4B于点E,OC=5cm,CD=8cm,则

AE=（）cm.

A.8

B.5

C.3

D.2

3.如图，BC是00的两条弦，AO_LBC，垂足为。，若。。的直径为5,BC=

则的长为（）

A.2\/5

B.273

C.4

4.如图，©O的直径CD=20,48是©O的弦，ABLCD，垂足为M■.若

OC=3：5,则的长为（）

A.8

B.12

C.15

D.16

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5.如图，在半径为5的③。中，AB、CA是互相垂直的两条弦，垂足为P,且48=。。=8，则OP的长

B.4C.3通D.4\/2

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

6.如图，45、AC、3c都是。0的弦，0M_L4B，ONVAC垂足分别为M、N,

若MN=1,则3c的长为.

7.如图，已知N2是半圆。的直径，弦CD^AB,CD=8.AB=1Q,则3c

的长为.

8.如图是半圆。的直径,/C为弦，0014。于D,过点。作。£?〃4。交半圆。于点E,过点E作EFL4B

于F.若AC=12,则0F的长为.

9.如图，在0。中，弦48=4，点C在48上移动，连接。C,过点。作。。10C，

交0O于点。，则CD长的最大值为.

三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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10.（本小题8分）

已知：如图，是©O的弦，半径。C、分别交AB于点£、F,MOE=OF.

求证：AE=BF.

11.（本小题8分）

如图，是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以。为圆心，N3为直径的圆.隧道内部共分为三层，上层

为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点/到顶棚的距离为1.6加，顶棚到路面的距离是6.4馆，点8

到路面的距离为4.0m.请求出路面CD的宽度.（精确到O.bn）

m

12.（本小题8分）

如图，。£＞是⑷。的半径，N3是弦，且。0,48于点C连接并延长交0。于点£,若48=8,CD=2,

求。。半径0A的长.

13.（本小题8分）

如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O,直径是河底线，弦C£＞是水位线，CDHAB,AB=10

米，OELCD于点E,此时测得OE：CD=3：8.

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(1)求cr»的长；

⑵如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满?

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：：。。的直径4B1CD于点E，

：.CE=DE,锭=氤,

在△OCE和△O0E中，

(Z.CEO=ADEO=90°

<AOCE=NODE，

[OC=OD

：.AOCE义AODE,

根据已知条件无法证明AE=OE，

故选：B.

根据垂径定理得出CE=DE,石0=方万，再根据全等三角形的判定方法“44S”即可证明

^OCE^/XODE.

本题考查了垂径定理的应用和全等三角形的判定，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的

两条弧.

2.【答案】A

【解析】解：是直径，

.-.CE=ED=4cm，

在RtAOEC中，OE=一EC2=-42=3(cm)，

AE=OA+OE=5+3=8(cm),

故选：A.

根据垂径定理推出EC=ED=4,再利用勾股定理求出OE即可解决问题.

本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.【答案】A

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【解析】解：连接。8,

■：A01BC，/。过。，8。=4,

：.BD=CD=2,ABDO=90%

由勾股定理得；OD=y/OB2-BD2=y(|)2-22=|，

53

-,AD=OA+OD=-+-=4,

在RtAAZZB中，由勾股定理得：AB=\/AD2+BD2=\/22+42=2\/5'

故选：A.

根据垂径定理求出8。，根据勾股定理求出求出/£),再根据勾股定理求出N3即可.

本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出2。长是解此题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：连接04,♦.•0。的直径CD=20，OM：0。=3：5,

，OC=10，0M=6,

■：ABLCD,

：.AM=y/OA2-OM2=^102-62=8>

AB=2AM=16.

故选：D.

连接ON，先根据(DO的直径CD=20，OM：。。=3：5求出OD及。M■的长，再根据勾股定理可求出

的长，进而得出结论.

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

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5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线.

作。儿UAB于M,ONLCD于N,连接OB,0D,首先利用勾股定理求得0M的长，然后判定四边形0MPN

是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得。尸的长.

【解答】

解：作于0NLCD于N,连接08、OD,

由垂径定理、勾股定理得：0M=ON=点-42=3，

•.•弦48、CD互相垂直,

.•.ZDPB=90%

■：OM1AB^M,ONLCD于N,

：.NOMP=/.ONP=90°

四边形MONP是矩形，

OM=ON,

,四边形MONP是正方形，

:.OP=3V2.

故选：C.

6.【答案】2

【解析】解：•.•OMLAB,0N1AC，垂足分别为M、N,(W过圆心。，ON过圆心。,

:.AN=CN，AM=BM，

：,MN=^BC,

-：MN=1,

:.BC=2,

故答案为：2.

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根据垂径定理得出AN=CN,AM=BM,根据三角形的中位线性质得出=再求出8C即可

本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出AN=CN和4M=B刊是解此题的关键.

7.【答案】，记

【解析】解：过点。作于〃，分别过点C、。作。于点E，于点凡连接OC，

在RtAOCH中，0C=—A7?=5,

：,0H=，0。2—CH2=仰-42=3，

CD//AB,OHVCD,CEYAB,

：.OH//CE,

又乙CEO=90°,

二.四边形HOEC是矩形，

：.CE=OH=3,OE=CH=4,

/.BE=OB—OE=1,

BC=VCE2+BE2=V1Q，

故答案为：\/10.

过点。作OH，。。于X，分别过点C、D作CEL4B于点E,于点R连接。C,如图，根据垂

径定理得到。H=OH=4,再利用勾股定理计算出OH=3,根据题意推出四边形“OEC是矩形，根据

矩形的性质及勾股定理即可得解.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

8.【答案】6

【解析】【分析】

本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定等知识.熟练掌握垂径定理，证明是解决

问题的关键.

先根据垂径定理求出4D的长，再由区4s定理得出△ADOgZSOFE,推出。F=40即可求出答案.

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【解答】

解：-：OD1AC，AC=12,

：,AD=CD=6,

■：ODLAC，EFLAB，

：,AADO=NOFE=90°，

■：OE//AC,

：,ADAO=AEOF,

(NADO=NOFE

在△ADO和△OFE中，＜ADAO=AFOE

(OA=EO

△40。g△0FE(44S),

，OF=4。=6，

故答案为：6.

9.【答案】2

【解析】解：:。。，。。，

：,ADCO=90°,

：,CD=y/OD2-OC2=，声—。。2,

当。C的值最小时，CD的值最大,

OCLAB时，0c最小，此时。、8两点重合,

.-.CD=CB=^AB=2,

即CD的最大值为2,

故答案为：2.

根据勾股定理求出CD,利用垂线段最短得到当0CL4B时，。。最小，根据垂径定理计算即可.

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的

关键.

10.【答案】证明：如图，过点。作于点M，则=

又•「OE=OF

:.EM=FM，

：,AE=BF.

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【解析】本题考查了等腰三角形的性质及垂径定理.平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦

所对的另一条弧.

如图，过点。作OWLAB于点根据垂径定理得到4M"=3时.然后利用等腰三角形“三线合一”的性

质推知=故=

11.【答案】解：如图，连接。C,AB交CD于E,

由题意知：43=1.6+6.4+4=12,

所以。。=。8=6，

OE=OB—BE=6—4=2,

由题意可知：AB1CD.

■.•48过。，

:.CD=2CE，

在Rt^OCE中，由勾股定理得：CE=y/OC2-OE2=^62-22=40，

CD=2CE=8y2弋11.3m，

所以路面CD的宽度为11.3m.

【解析】连接。C,求出。C和。E,根据勾股定理求出CE,根据垂径定理求出CD即可.

本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.

12.【答案】解：•.•O0_L弦AB,48=8，

AC=—AS=—x8=4,

设。0的半径04=r，

：.oc=0D—CD=r—2,

在RtZ\04。中，

r2=(r—2)2+42,

解得：r=5,

【解析】先根据垂径定理求出4c的