2024年浙教九年级上册《垂径定理》练习卷（五）

浙教新版九年级上册《3.3垂径定理》2024年同步练习卷（5）

一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.43为，•〃的直径，弦「"J",垂足为E,下列结论中错误的是（）次

k.CE二DE//\\

B公而

D..1(,一ED

2.如图，•”的直径为10cm,弦AB为8cm,尸是弦上一点，若。P的长是整数，则

满足条件的点尸有（

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

3.如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心。，则折痕N3的长为（）

A.2cm

B..;

D.八:“r”

4.绍兴是著名的桥乡.如图，圆拱桥的桥顶到水面的距离CQ为8加，桥拱半径OC为5加，则水面宽45为（）

DB

5.如图，・。的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB一定是（

A.正方形

A

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C

B.矩形

C.菱形

D.非特殊的平行四边形

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

6.如图，在，•口中，已知半径为13,弦的长为24,那么圆心。到的距离为___.

7.已知的半径为10c加,弦MN〃EF,且W12(IH-EF=16cm＞则弦MN和E尸之间的距离为

8.如图所示，在圆,“内有折线CU8C,其中N,AH12，一」—-，川

则BC的长为,

9.如图，在中，弦.4〃I,点。在N8上移动，连接。C,过点C作

交」.。于点。，则CD长的最大值为.

10.如图，已知半径为2的•门有两条互相垂直的弦N3和CD,其交点£到圆心。的

距离为1,则AB、CD1

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

11.如图，AB,NC都是•"的弦，I」/?,垂足分别为.如果求8C的长.

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MB

四、解答题：本题共3小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

12.।本小题8分I

如图，卜〃，中，一408-（川，2，HO-I，以点。为圆心，CU为半径的圆与交于点C,

求3c的长.

13.（本小题8分।

如图,•()的直径Z8和弦CD相交于点E,已知.l£1-.,I：BVin,.DEH-31,

I1।求圆心。到CD的距离OF；

求CD的长.

14.本小题8分I

如图，射线PG平分,尸，。为射线尸G上一点，以O为圆心，10为半径作.（），分别与.广，厂两边相

交于/、8和C、D,连结。N,此时有OlPI

（1）求证:.IP_.10；

，若弦_12,求Lw,"八”的值.

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E

D

F

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：48为0。的直径,弦CDLIB，

(fPE，［)C-DD'IC-AD'

一〃」「「从1〃，U'.1/)

故选：/»

由于为/的直径，弦「〃1”，根据垂径定理得到(工_OE，不：_而，V,7/),再根据

圆周角定理由而，力,得到小广/r〃，根据圆心角、弧、弦的关系由充：工得.卜1/)>

于是可判断二/“)不正确.

本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理.

2.【答案】D

【解析】解：过点。作(小一山于点C,连接。8,

；♦的直径为10c〃?，弓玄4B为8cm,(%<')

..BC-；t\B-4S”)，OB=5rm,CP/B

(K'\oir：―he-3i，〃“，

，*-，〃<：Of'<"w-iii,

•的长是整数，

・“〃>=3的点只有一个，<〃>1的点有2个，(〃>■，的点有2个，

.满足条件的点P有5个.

故选I)

首先过点O作()「1”于点C,连接03,由垂径定理可求得。P的取值范围为；【•：(〃’•；，而：；的

点只有一个，”八I的点有2个，。/，一.•，的点有2个，故符合条件的点尸有5个.

此题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应

用.

3.【答案】D

【解析】解：过点。作(〃)1八。交N3于点。，连接CU，

(>\201)泰，〃，

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\D\O\OD=v2I'\

AU=2AD=2>/3cm.

故选：Z).

通过作辅助线，过点。作。1/『交于点。，根据折叠的性质可知<，」1)。，根据勾股定理可将AD

的长求出，通过垂径定理可求出的长.

本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：连接04,如图所示.

—<

ADB

在母/.1/)()中，O4=OC_B〃，OD^('D-(X'^：］m,NXDO-SU，

.1/)VO.VOD1"

/.AU=2AD=8m.

故选：D.

连接。4根据垂径定理可知A。=EJ\AB,在EDO中,利用勾股定理即可求出功的长，进而

可得出的长，此题得解.

本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的长度是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：•.1"垂直平分0C,

OAOB-BC，

•,•半径-OC-Oil，

“Iuonlie,

一四边形。4cB为菱形；

故选：(；

由垂直平分0C可知，()A_.If,()B-BC>而半径0(()B，即可证得四边形O4C8为菱

形.

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本题考查了垂径定理、垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，由垂直平分线的性质与圆的半径证得四边

相等是解决问题的关键.

6.【答案】5

【解析】解：如图，连接03,过点。作(小于点C；

则"="=12；由勾股定理得:

()13--m，而13，BC-12,

..OC=3，

故答案为5.

如图，作辅助线；首先求出8C的长度；直接运用勾股定理求出OC的长度，即可解决问题.

该题主要考查了勾股定理、垂径定理及其推论等的应用问题；作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

7.【答案】2c”？或14cm

【解析】解：①当弦和跖在圆心同侧时，如图1,

\12，"，//13小，

.(E-S/V,/，MD-(><HI，

oi:-().\1-m，

.('()-Vy/ii,()D_Znu，

</><>l>(X,」，•，，,，；

②当弦MN和所在圆心异侧时，如图2,

.1/\-I>>/./It”>

MD(xI/J>

()1:(),}f=Uh，”，

,1.CO=Go，，，OD-Zru，图2

：CDOCOD-Uc；»；

故答案为：2cm或14cm

分两种情况进行讨论：①弦MV和在圆心同侧；②弦MV和所在圆心异侧；作出半径和弦心距，禾！］用

勾股定理和垂径定理求解即可.

本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算.

8.【答案】20

【解析】解：延长NO交8C于D,作「于E；

-,­-1-二B-U)，:Z.IP/J-U);

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为等边三角形；

..BD=AD=AB=12；

<>1>I,又一ID8-IP•，

DI}on2；

o

.HEH»；

!«,2!11Ji»;

故答案为1l

延长NO交BC于D,根据.1、.”的度数易证得1/“）是等边三角形，由此可求出O。、5。的长；过。

作8c的垂线，设垂足为E；在由中，根据。。的长及,，〃〃的度数易求得的长，进而可求出

BE的长；由垂径定理知,由此得解.

此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用.

9.【答案】2

【解析】解：

.DCO=90°，

CDv（>/）-'OC-\6（八，

当。C的值最小时，CD的值最大，

（"I"时，0c最小，此时D、8两点重合，

，/）（II'I?；

Q

即CD的最大值为2,

故答案为：2.

根据勾股定理求出CD,利用垂线段最短得到当OC—1〃时，0C最小，根据垂径定理计算即可.

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的

关键.

10.【答案】28

【解析】解：连接/。，DO,作（八/「〃于点作（八1〃于点N,^5—\

DC1IB，OI/-DC，OV_18，乎、、及V

「四边形OMEN为矩形；J

;（2.1尸+3〃尸=（〃曰勾股定理），----/

又V/-=（八一

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(“/+()、」OE'；

nr,

IJ;

.4B2+CD2=28.

故答案为：？、

作辅助线“连接/。，。。，作＜八/」■〃于点M,作（八一1/I于点N”构造矩形ENOM,然后利用勾股定

理和垂径定理推知，尸-"V'=1-J“：、。\」-,1V,II—r，所以

22

OU+OXl-¥「'+l—I勺「'I＞由止匕解得.1〃-'一「/）」,」、

**

本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理.解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形。河硒，利用勾股定

理、矩形的性质以及垂径定理将.1所r「/》联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解.

11.【答案】解：I",NC都是•。的弦，（）"1/：,（＞\|「，

\、M分别为/C、的中点，即〃N为二、“「的中位线，

.MX-；h

BC-2MN-6.

【解析】由ON垂直于NC,垂直于48,利用垂径定理得到M、N分别为/8、/C中点，即儿加为三角

形/2C中位线，利用中位线定理求出3c的长即可.

此题考查了垂径定理，以及三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

4

12.【答案】解：过点£作，〃h于点£,

/ZAOB90，U）=2，=I，（/

=2«,（/------）~-^5

・・.EOxAB=AOxBO,\/

「八AOBO2x44vz5-----/

■"AB，65-'

在3"“中

_—r/_4^/5«V

t/Vl（rIO-\2-I—2/5

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AC

/.BC■2V

【解析】首先过点E作O上［八］于点£,利用三角形面积进而得出EO的长，即可得出NE以及NC的长,

即可得出2C的长.

此题主要考查了勾股定理以及三角形面积应用和垂径定理等知识，得出EO的长是解题关键.

13」答案】解

OE

在附，八，中,

•/ZOEF=30

/.OF

即点。到CD的距离为1；

连接。D,如图,

在M中,

DF=VOD2-。产=V32

.Ofl<，

\CD=2DF=4V

,</）的长为

【解析】I）先由.IElnn-EB，得到半径。B=3,则OE3在小，/厂“中，利用含30

度的直角三角形三边的关系得到。尸的长;

连接OD,在Rt/UN中，先利用勾股定理计算出DR由<，/，5，根据垂径定理得到I1,

即可得到弦CD的长.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考