重难点20 三角函数解答题十一大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（解析版）

高中数学精编资源2/2重难点专题20三角函数解答题十一大题型汇总题型1识图问题 1题型2单调性问题 8题型3对称轴与对称中心问题 14题型4值域问题 21题型5最值问题 29题型6凑角求值问题 37题型7方程的根问题 47题型8零点问题 54题型9恒成立问题 65题型10有解问题 75题型11实际应用问题 82题型1识图问题注意正余弦"第一零点"和"第二零点"的区别和联系.正弦“第一零点”：x=2kπ；正弦“第二零点”：x=π＋2kπ.余弦"第一零点"：x=-π2+2kx；余弦"第二零点"：x=π【例题1】（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φ0<φ<π2的部分图像如图，该图像与y轴交于点A0,3，与x轴交于点B（1）求fx（2）若将fx的图像向右平移π12个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数gx的图像，若g【答案】（1）2sin2x+π3，【详解】分析：（1）由△BCD的面积为π2可得T=π，ω=2，由f0=2sinφ=3，从而可解得φ的值，从而解得fx=2sin（2）由题意易知gx=2sin详解：（1）因为函数fx=2sin故△BCD的面积S=12×所以函数fx的周期T=π，即ω=2由函数fx的图像与y交于点A0,3，得f∵0<φ<π2，∴所以fx由-π2+2kπ≤2x+得-5π12+kπ≤x≤所以fx的单调递增区间为-（2）由题意易知gx∵gα=8∵π2<α<π，∴∴cosα+所以sin=sin点睛：本题考查由y=Asin【变式1-1】1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx(1)求fx(2)将fx的图像沿x轴向右平移23个单位得到函数gx的图像，P，Q分别为函数g【答案】(1)f(2)∠OQP=【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为fx=3sinωx+π3（2）由条件根据y=Asinωx+φ的图像变换规律，可得函数gx=3sinπ2x，求出P，Q的坐标，可得OP=2（1）fx=3=3=3∵T=4，ω>0，∴ω=2π∴fx（2）将fx的图像沿x轴向右平移23个单位得到函数∵P，Q分别为该图像的最高点和最低点，∴P1,3，∴OP=2，PQ=4，OQ=12∴cos∴∠OQP=π【变式1-1】2.（2022湖南长沙·统考一模）如图是函数f(x)=Asin（1）求出A,ω,φ的值；（2）当x∈(0,π2)【答案】（1）A=2,ω=2,φ=π3【分析】（1）由三角函数的图像确定函数f(x)=Asin(ωx+φ)的步骤①求A：确定函数的最大值M和最小值m，则A=M-m2;②求ω，确定函数的周期T，则ω=2π（2）求三角不等式的解集，一般要把三角函数化为Asin【详解】（1）由图可知，该函数的最大值M=2和最小值m=-2，则A=M-m该函数周期T=4×π3-π12将点π12,2代入上式，可得2sinA=2,ω=2,φ=π（2）由2sin2x>4由x∈(0,π2)得2x+【变式1-1】3.（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）已知函数fx=Asinωx+φx∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2图像如图，P是图像的最高点，Q为图像与x（1）求函数y=fx（2）将函数y=fx图像向右平移1个单位后得到函数y=gx的图像，当x∈0,2【答案】（1）fx=sin【分析】（1）运用余弦定理，解△OPQ，算出P点的坐标，求得A，ω,φ；（2）根据函数平移性质，求出gx的解析式，对hx进行恒等变换，用辅助角公式将【详解】(1)由余弦定理，得cos∠POQ=OP2得点P的坐标为12,1，由f12=∴fx(2)由题意，gxhx当x∈0,2时，2π当2π3x-π综上，fx=sinπ3【变式1-1】4.（2022秋·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数fx=sin(1)求函数y=fx(2)将y=fx的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y=gx【答案】(1)f(2)2+【分析】（1）根据图象可求函数的对称方程及34（2）根据图象平移可求gx的解析式，故可求g【详解】（1）由图象可得函数图象的一条对称轴为x=-故34×2πω而f(-π3)而φ<π，故φ=-5π（2）将y=fx的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到故gx故g=2+6题型2单调性问题函数Y=sinxY=cosxY=tanx单调性[-[π[-π+2[2(-π【例题2】（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）设函数fx（1）求fx的最小正周期、最大值及取最大值时x（2）讨论fx在区间-【答案】（1）最小正周期π；当x=kπ+5π12,k∈Z时，最大值为32（2）递增区间为-π【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简函数fx（2）由x∈-π2【详解】（1）由题意，函数f=1-cos2x所以fx的最小正周期T=当2x-π3=2kπ+π2,k∈Z，即（2）由x∈-π2结合正弦函数的图象与性质，可得：当-4π3≤2x-当-π2≤2x-π3当π2≤2x-π3≤综上可得，函数fx的单调递增区间为-单调递减区间为-π2,-【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的恒等变换，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【变式2-1】1.（2023秋·山东临沂·高三统考期中）已知函数f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx﹣12（ω＞0），与其图象的对称轴x=π6相邻的f（x）的个零点为（1）判断函数f（x）在区间[﹣π6,π（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=，f（C）=1．若向量π=（1，sinA），n=（sinB，﹣3），且π⊥n，求a，b．【答案】(1)fx在区间-π【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求得ω的值，可得函数f（x）在区间[﹣π6,π（2）利用两个向量垂直的性质，求出C，再利用正弦定理求得b=3【详解】（1）f=3∵与fx图像的对称轴x=π6相邻的f∴14∴ω=1，∴fx则函数y=sinz单调增区间是由-π∴-π∴fx的单调增区间为-当k=0时，fx单调增区间为-又∵x∈-所以fx在区间-（2）fC则sin2C+因为0<C<π，所以π6<2C+π6因为m⊥n，所以m⋅n=0，即sinB=由正弦定理得b=3由余弦定理得c2即3=a由①②解得a=3【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，两个向量垂直的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题【变式2-1】2.（2022·天津河西·统考三模）已知函数f（1）求fx（2）讨论fx在区间-【答案】（1）π.（2）fx在区间-π4【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简f(x)为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得f(x)在R上的单调增区间，结合区间-π【详解】（1）依题意，fx=cos（2）依题意，令-π2+2kπ≤2x+解得-π所以fx的单调递增区间为-π3设A=-π4,π所以当x∈-π4,π在区间π6【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题【变式2-1】3.（2022天津滨海新·校联考一模）设函数f(x)=((1)求f(x)的最小正周期；(2)讨论f(x)在区间(0,π【答案】(1)T(2)f(x)在区间(0,π12)【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得fx（2）根据正弦函数性质求0,π2上单调区间，即得fx（1）fx=1（2）令-π2+2kπ<2x+∵x∈0,π2，∴f令π2+2kπ<2x+π故fx在区间π【变式2-1】4.（2022秋·四川雅安·高三雅安中学阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)讨论fx在0,【答案】(1)最大值为2，对称中心为：k(2)递增区间：0,π3和5【分析】（1）由正余弦的倍角公式和降幂公式，fx可化简为fx=2（2）先求得fx最大增区间与减区间，再与0,【详解】（1）fx=3sin2x-cos2x=2sin2x-（2）先求fx的单调增区间，由-π2+2kπ≤2x-π6≤同理可求得fx的单调减区间π3+kπ,故fx的递增区间：0,π3和【变式2-1】5.（2022春·安徽安庆·高三阶段练习）已知函数f(x)=sin（1）讨论函数f(x)在[0,π]上的单调性；（2）设π4<α<π2，且【答案】（1）f(x)在区间[0,π8]、[5π8【详解】（1）将函数化简得f(x)=2sin(2x+π4)，由正弦函数性质可求出函数f(x)在区间[0,π]上和单调性；（2）由f(α)=-5213得，sin试题解析：（1）f(x)=sin2x-sin2x+由x∈[0,π]得2x+π当2x+π4∈[π4当2x+π4∈[π2当2x+π4∈[3π2综上，函数f(x)在区间[0,π8]、[（2）由f(α)=-5213，即2因为π4<α<π2，所以则sin2α=sin[(2α+=2【点睛】本题考查三角恒等变换、函数的的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中等题型.第一小题先将函数化简，再求出在R上的单调性，再求出[0,π]上的单调性；第二小题求出sin(2α+π4题型3对称轴与对称中心问题函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋π2(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T=2π(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由π2(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ＋π【例题3】（2021·陕西咸阳·校考二模）已知函数f(1)求函数fx(2)当x∈π8,【答案】(1)函数fx的对称轴为x=k(2)-1,【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简fx（2）采用整体替换的方法，先确定出2x-π4的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出【详解】（1）因为fx令2x-π4=k令2x-π4=k所以函数fx的对称轴为x=kπ（2）因为x∈π8,当2x-π4=π2，即x=当2x-π4=5π4，即x=所以函数fx的值域为-1,【变式3-1】1.（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知函数f(x)=2sinωxcosωx+3cos2ωx(1)求gx(2)求gx【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【分析】（1）先求得函数fx解析式，进而得到函数gx解析式，利用代入法去求（2）利用代入法去求gx【详解】（1）f(x)=2=sin2ωx+由函数fx周期为π，可得2π2当ω=1时，g(x)=2由-π2则gx的单调增区间为由π2+2k则gx的单调减区间为当ω=-1时，g(x)=2由-π2则gx的单调增区间为由π2+2k则gx的单调减区间为（2）当ω=1时，g(x)=2由x+π3则g(x)的对称轴方程为x=π6由x+π3则g(x)的对称中心为-π3当ω=-1时，g(x)=2由x+2π3则g(x)的对称轴方程为x=-π6由x+2π3则g(x)的对称中心为-2π3【变式3-1】2.（2022秋·江苏苏州·高三苏州市第五中学校开学考试）已知函数f(x)=5sin(1)求f(x)的周期和最值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)写出f(x)的图象的对称轴方程和对称中心坐标．【答案】（1）π，f(x)max=5，f(x)min=-5【分析】（1）化简函数f(x)=5sinxcosx-53cos2（2）由-π2+2kπ≤2x-π3（3）由2x-π3=π2+kπ(k∈Z)得f(x)的图象的对称轴方程；由【详解】f(x)=5=5sin(1)T=2π2=π；当2x-π3当2x-π3=-π2(2)由-π2+2kπ≤2x-π3≤π故f(x)的单调增区间为：[-π(3)由2x-π3=π2故f(x)的图象的对称轴方程是x=5π由2x-π3=kπ(k∈Z)得x=f(x)的图象的对称中心坐标是(π【变式3-1】3.（2022·山西吕梁·统考一模）已知函数f(x)=2asin2x+2（1）求常数a；（2）求函数f(x)的最小正周期、单调区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当x∈[0,π2]【答案】（1）a=3；（2）T=π，单调增区间[-π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)；单调减区间[【详解】试题分析：（1）把点(0,-3)代入函数表达式即可求得试题解析：（1）把点(0,-3)代入函数表达式，得-3（2）f(x)=23周期T=π；单调增区间[-π12+kπ,对称轴x=5π12+（3）因为0≤x≤π2，所以-π所以-3≤2sin(2x-π考点：1、倍角公式；2、两角差的正弦函数；3、正弦函数的图象与性质【变式3-1】4.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）设函数fx(1)求fx(2)若x0∈5π12【答案】(1)最小正周期为π，对称中心为k(2)-【分析】（1）展开化简fx=sin2x-π3-1（2）根据fx0=33【详解】（1）因为f=12sin2x-3令2x-π3=k所以fx的对称中心为（2）因为fx0=所以sin2因为x0∈5所以cos2所以cos=-6【变式3-1】5.（2021秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）已知向量a=(sinωx+cosωx,sinωx)，向量b(1)求函数fx(2)将函数fx的图象向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，得到函数gx【答案】(1)k(2)k【分析】（1）先通过向量的数量积及降幂公式进行化简，利用关于直线x=π3对称，求出参数（2）直接将函数进行平移得到gx(1)∵向量a=(sinωx+∴f(x)=a∵图象关于直线x=π3对称，其中常数∴2ω⋅π3-π6=kπ∴f(x)=2sin∵令2kπ+π∴f(x)=2sinkπ(2)将函数fx的图象向左平移π得y=2sin再向下平移1个单位后得到函数gx令2x=kπk∈Z，则有y=gx对称中心为k题型4值域问题求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．【例题4】（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）设函数fx(1)列表并画出y=fx，x∈

(2)求函数gx=f1+x【答案】(1)答案见解析(2)-2,22【分析】（1）根据五点作图法画出图象.（2）化简gx【详解】（1）列表：π0ππ32x-214710y020-20作图：

（2）由已知g=2cos由已知π4∴-2∴-2≤gx∴函数gx=f1+x+f【变式4-1】1.（2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）设函数fx(1)是否存在m>0，使得fx=fm-x对∀x∈R(2)若x∈-π3【答案】(1)存在，取m=2k+1(2)1-3【分析】（1）由题可得f2k+1（2）利用（1）可得fx在-π3,π【详解】（1）取m=2k+1证明如下：因为f2k+1所以m=2k+1（2）由（1）可知，fx所以fx在π2,π上的值域与因此fx在-π3,π当x∈-π3,π2时，cosx≥0又x+φ∈φ-π3所以f(x)所以fx在-π3【变式4-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx（1）求函数fx（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数gx的图象，求函数h【答案】（1）kπ+5π12,kπ+【分析】（1）通过降幂公式和辅助角公式将函数f（x）化简，进而求出单调递减区间；（2）先通过图象变换求出函数g（x），进而通过降幂公式和辅助角公式将函数h（x）化简，进而求出函数的值域.【详解】（1）fx令π2+2kπ≤2x-∴函数fx的单调递减区间为：5π（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sinx-π3∴hx=1∵x∈π6,7π12∴0≤2即hx的值域为：0,【变式4-1】3.（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，A+B=2C且cosA+(1)求角B的大小；(2)设函数fx=2cosxsin【答案】(1)B=(2)-【分析】（1）根据A+B=2C解得C=π3，然后根据三角恒等变化求解角（2）化简函数解析式，然后利用整体代入法求解函数的值域；【详解】（1）因为A+B=2C，又A+B+C=π所以C=π因为cosA+所以cosA-根据三角恒等式变化，2即cosA+所以A+π4=B+解得：A=B，又A+B+C=π所以B+B+π即B=π（2）f=2cos当x∈π42cos11π所以-6则fx的值域为-【变式4-1】4.（2023春·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）已知函数fx=sinπ-ωx(1)求ω的值；(2)将函数y=fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，求函数y=g【答案】(1)1(2)0,【分析】（1）根据题意利用二倍角公式和辅助角公式可得fx=22sin（2）根据三角函数平移规则可得gx=2【详解】（1）易知fx由题意可得T4=又T=2π（2）由（1）知f由平移规则可得gx当x∈0,π由正弦函数单调性可知-2所以g即函数y=gx在区间0,π【变式4-1】5.（2021秋·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考阶段练习）已知数f(x)=3sinωx+（1）求f(x)的解析式；（2）将函数f(x)的图像向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图像，当x∈-（3）对于第（2）问中的函数g(x)，记方程g(x)=43在x∈π6,【答案】（1）fx=2sin2x；（2）[-2,3【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式化简f(x)，再根据相邻两对称轴间的距离为π2，所以T=π求解w（2）根据三角函数的图象变换得到g(x)=2sin（3）结合三角函数图象，画图分析x1【详解】（1）由题意，函数f(x)==3sin(ωx+π6)-cos(ωx+π故f（2）将函数f(x)的图像向右平移π6个单位长度，可得y=2再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)=2当x∈-π12当4x-π3=-π2当4x-π3=π3时，函数g(x)取得最大值，最大值为3（3）由方程g(x)=43，即2sin因为x∈π6,4π3，可得4x-π3结合正弦函数y=sin可得方程sinθ=23在区间π其中θ1即4解得x所以x1【变式4-5】6.（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=sinx-cos(1)求函数y=f(x)⋅f(-x)的最小正周期及其对称中心；(2)求函数y=[f(x)]2+【答案】(1)周期π，对称中心为π(2)[2-【分析】（1）利用二倍角公式将y=f(x)⋅f(-x)的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数y=f(x)⋅f(-x)的对称中心；（2）将函数y=[f(x)]2+（1）函数y=f(x)⋅f(-x)=cos2x-令2x=π2+kπ(k∈所以对称中心为π4（2）函数y==1-sin因为x∈-π4故sin2x+故y∈[2-2题型5最值问题【例题5】（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数f(x)=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a（ω>0，a∈R）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)解析式的两个合理条件作为已知，条件①：f(x)的最大值为1；条件②：(1)求函数f(x)的解析式；并求f(x)的单调递增区间、对称中心坐标；(2)若将函数f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,m]上的最小值为【答案】(1)f(x)=2sin(2x+π6)-1；[-π3(2)π【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将f(x)化为f(x)=2sin(2ωx+π6)+a+1，然后根据函数性质选择条件求出ω（2）利用函数平移变换得gx=2sin【详解】（1）f=cos当选条件①时，a+3=1，解得a=-2；当选条件②时，2ω⋅-显然条件②不合理；当选条件③时，T2=π解得ω=1；综上所述，条件①③能确定函数fx且f(x)=2sin令-π得-π3所以函数f(x)的单调递增区间为[-π3+k令2x+π6=kπ，得所以函数f(x)的对称中心坐标为(-π12+k（2）将函数f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到y=2sin(4x+π得到函数y=2sin即gx因为x∈0,m，所以4x-因为gx在区间0,m上的最小值为g所以4m-π6≤所以m的最大值为π3【变式5-1】1.（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知函数fx=2sinωx+φ+1（Ⅰ）在①fx的一条对称轴x=-π3；②fx的一个对称中心5π12（Ⅱ）若动直线x=t t∈0,π与fx和gx=23sinx注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）选①或②或③，fx=2sin2x+π6+1；（Ⅱ）当t=0【解析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数y=fx的最小正周期，进而得出ω=2选①，根据题意得出-2π3+φ=π2+kπ 选②，根据题意得出5π6+φ=kπ k∈Z，结合φ的取值范围可求出选③，根据题意得出sin5π3+φ=-12，结合（Ⅱ）令hx=fx-gx，利用三角恒等变换思想化简函数y=hx的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出ht【详解】（Ⅰ）由于函数y=fx图象上两相邻对称轴之间的距离为π2，则该函数的最小正周期为T=2×π2=π若选①，则函数y=fx的一条对称轴x=-π3得φ=7π6+kπ k∈Z，∵-此时，fx若选②，则函数y=fx的一个对称中心5π12,1得φ=kπ-5π6 k∈Z，∵-π此时，fx若选③，则函数y=fx的图象过点5π6,0得sin5π3+φ=-1∴5π3+φ=11π6综上所述，fx（Ⅱ）令hx=fx-gx∵t∈0,π，∴2t∈0,2π，当2t=0或2t=2π时，即当t=0或线段PQ的长取到最大值2.【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.【变式5-1】2.（2022秋·安徽·高三校联考期末）设向量m=(2cosωx,3sin(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,t]上的最小值为【答案】(1)f(x)=2(2)π【分析】（1）先将f(x)用三角恒等变换公式化简，再根据最大值和相邻两条对称轴之间的距离分别求出a和ω代入即可；（2）根据三角函数图像变换规律，得到函数g(x)的解析式，再根据正弦函数的图像与性质求m的最大值.【详解】（1）f(x)==2sin所以f(x)的最大值为2+a+1=1，所以a=-2，又因为该函数图象相邻两个对称中心之间的距离为π2所以该函数的最小正周期为π，所以2π所以f(x)=2sin（2）由题意得g(x)=2sin因为0≤x≤t,-π则y=sinx在-π6,由题意可得：4t-π又t>0，所以0<t≤π故实数t的最大值为π3【变式5-1】3.（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且sin(1)当B=π3，求(2)求B的最大值.【答案】(1)sinC+sinA=1(2)2【分析】（1）代入B=π3，解得32sinC+12cosC=33，对sin【详解】（1）由题意得：sinC即32则sin（2）sinCcosB2sinCcos2B由正弦定理得：a+c=2由余弦定理得：cosB=因为ac≤a+c24此时cosB=b26ac-1≥-12故B的最大值为2【变式5-1】4.（2020秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知a=(3,-1),（1）若A={x|f(x)=0,x∈R},B=[-π,π]，用列举法表示A∩B；（2）求函数f(x)的单调递增区间以及当函数取得最大值时，a和b的夹角θ.【答案】（1）-11π12,-5π12,π12,7π【分析】（1）求出f(x)，并化简变形为一个角一个三角函数形式，然后可求得集合A，得A∩B；（2）结合正弦函数性质可求得f(x)的增区间和最大值，及相应的x值，从而向量b确定，由向量的夹角公式求夹角．【详解】（1）由题意f(x)=3sin=3f(x)=sin(2x-π6)=0∴A={x|x=kπ2+A∩B={-11π（2）由（1）f(x)=sin2kπ-π2≤2x-∴增区间为[kπ-π6,kπ+f(x)max=1，此时2x-π6sin2x=cos(2x-b=(32,1∴<a【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，考查三角函数的图象与性质，考查数量积与求向量的夹角．三角函数问题中的函数常常化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式，然后结合正弦函数性质解题，向量夹角公式为：【变式5-1】5.（2020·安徽马鞍山·校联考一模）在△ABC中的内角A、B、C，sin(A-B)=sinC-sinB，D是边BC（1）求A的大小．（2）当t取最大值时，求tan∠ACD【答案】（1）A=π3【详解】试题分析;（1）由sinA-B=sinC-sinB，可得sinB=sinA+B（2）设BD=x，∠BAD=θ，θ∈0,π3，则DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC=t2sinπ3-θ.又sinC=sin2π3-B=32cosB+t2sin试题解析：（1）因为sinA-B=sinC-sinB，所以sinB=sinC-sinA-B（2）设BD=x，∠BAD=θ，θ∈0,π3，则DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC=ADsin∠DACDC=t2sinπ3-θ.又sinC=sin2π3-B=32cosB+12sinB=【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．题型6凑角求值问题1.“打散”：角度不一致，可以拆开2.“重组”：系数次幂一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”【例题6】（2020秋·新疆·高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知函数f(x)=3sinωx（1）求函数y=fx（2）已知角α,β,θ满足：fα2⋅fβ2=-4【答案】（1）f(x)=2cos2x【分析】（1）化简函数得到f(x)=2cosωx，根据周期为（2）代入数据得到cosα⋅cosβ=-23【详解】（1）f(x)==32sinωx+12（2）∵fα2又∵∴sinα⋅=sin【变式6-1】1.（2022秋·山东枣庄·高三阶段练习）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣23sin2ωx+3（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=23，求sin（5【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣70【详解】试题分析：（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=23，可得sin（2a+π3）=13，根据sin（56π﹣4a）=sin[3π2﹣2（2a+π3解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣23sin2ωx+3=sin2ωx+3cos2ωx=2sin（2ωx+π3∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为π2∴函数的最小正周期为π∴2π2ω∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+π3∴﹣π2+2kπ≤2x+π3≤∴﹣5π12+kπ≤x≤π∴函数f（x）的单调增区间为[﹣5π12+kπ，π（III）∵f（a）=23，∴sin（2a+π3∴sin（56π﹣4a）=sin[3π2﹣2（2a+π3）]=﹣cos[2（2a+π3）]=2sin2（2a+考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【变式6-1】2.（2021秋·河南·高三阶段练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)ω>0,ϕ<(1)求f(x)的解析式；(2)若sin4α-cos4α=-【答案】(1)f(x)=2(2)3-4【分析】(1）先求出周期,由此求出ω的值,利用对称轴方程求出ϕ，即可得到函数的解析式;(2)利用平方差公式以及同角三角函数关系式,结合二倍角的余弦公式,求出cos2α,由此得到sin(1)因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π4所以T=π，故ω=2π又f(x)的图象的一条对称轴方程为x=π6，则2×π6+ϕ=π2+kπ，k∈Z(2)当sin4α-cos因为sin4α-cos故cos2α=因为α∈0,π2则fα+π3【变式6-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cos(1)求f(x)的单调递增区间以及f(x)图象的对称中心坐标；(2)是否存在锐角α，β，使α+2β=2π3，f(α+π2【答案】(1)递增区间为[-π2+4kπ,3π2+4kπ](2)存在；α=π3【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；（2）由诱导公式可得f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=(1)解：f(x)==1-由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，得f(x)的最小正周期T=4π=所以f(x)=2由-π2+2kπ≤12所以f(x)的递增区间为[-π2+4k由12x-π4=kπ（所以f(x)图象的对称中心的坐标为(π2+2k(2)解：存在．因为f(α+π2)=所以f(α+π所以sinα又α+2β=2π3，α=即(32cos即32×1+所以tan2β=3，由β为锐角，得0<2β<π，所以2β=π3故存在α=π3，【变式6-1】4.（2022·全国·高三专题练习）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.①图象上一个最低点为M2π3,-2；②直线问题：已知函数fx=4cosωxsinωx+φ-1（1）求fx（2）若α为锐角，且fα2=【答案】条件选择见解析.（1）fx=2【分析】（1）先化简fx，由题意计算出ω的值，若选①将最低点M2π3,-2代入，计算出结果；若选②，x=π6是一条对称轴求得（2）由题意计算出sinα+π6【详解】（1）f=2sin2ωx+φ+2sinφ-1，相邻交点距离π若选择条件①，由最小值点M2π3,-2，则化简得3cosφ-sinφ=1，由所以fx若选择条件②，因为一条对称轴为x=π所以2⋅π6+φ=π2由0<φ<π2得：所以fx若选择条件③，2⋅11π12+φ=kπ0<φ<π2得：所以fx（2）因为fα设t=α+π6，t∈π当t∈π6,π2当t∈π2,2π∴t∈π6,∴fα+π12=2sin2α+π12+π6=2sin（1）求f(x)的解析式；（2）已知△ABC是锐角三角形，向量m=fB2+π12,fπ4，n【答案】（1）f(x)=2sin(2x-【解析】（1）根据函数的对称中心，结合ω的取值范围，即可容易求得ω；结合函数对称轴，即可求得φ；（2）根据（1）中所求，结合向量垂直的坐标运算，即可容易求得B，结合C角，即可求得cosA.【详解】（1）设f(x)的最小正周期为T，∵f(x)图象的一个对称中心是7π12∴7π12-∴T=π2k-1k∈N*，∴ω=4k-2，k∈N∵0<ω<6，∴ω=2∵f(x)图象的一条对称轴是x=π∴2π3+φ=π2+kπ，∵|φ|<π2，∴f(x)=2sin（2）因为m⊥n，m=(2sinB,3∴m∴2B+π3=kπ∴B=-π6+k2∴B=π∵sinC=3∴cos【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求函数解析式，向量垂直的坐标表示，利用正余弦的倍角公式进行三角恒等变换，属综合性中档题.【变式6-1】6.（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)若x∈0 ,  π【答案】(1)kπ2+(2)2【分析】（1）首先对f(x)化简为12（2）首先根据fx=36得到【详解】（1）fx==32sin2x-12cos所以fx的对称中心为kπ2+（2）∵fx=1∵x∈0 ,  π故cos2x=cos=63×【变式6-1】7.（2022·全国·高三专题练习）在①函数fx=1已知________，函数fx的图像相邻两对称中心之间的距离为π(1)求函数fx(2)若0<θ<π6，且fθ【答案】(1)最小正周期T=π，单调递增区间:-π3(2)4【分析】(1)先选择条件，然后根据选择的条件整理函数解析式，再利用已知可求出函数周期，进而可以求出ω的值，即可求出函数解析式，再求函数的单调递增区间.(2)利用(1)中的结论，结合两角和的余弦公式求值.【详解】（1）若选条件①，f(x)=12sin2ωx+π2+sin2ωx-∴fx令-π2+2kπ≤2x+π6所以函数的单调递增区间为-π3+k若选条件②，f(x)=cosωxsinωx+π6-14=cos∴fx令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2k（2）因为fx=12sin所以sin2θ+π6=3所以cos2θ+所以cos=cos2θ+π6cosπ【例题7】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知函数fx=2sinωxcos①函数fx的图像向左平移π3个单位长度后得到的图像关于y轴对称且②函数fx的图像的一个对称中心为π12,0(1)求函数fx(2)若关于x的方程fx【答案】(1)f(2)-【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换化简，然后由条件可得ω，根据正弦型函数的性质结合条件即可求得φ；（2）根据题意，将方程根问题转化为两函数交点问题，再结合换元法求得y=fx【详解】（1）因为f=2sin又其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4所以T4=π4，即T=π若选①，则函数向左平移π3个单位长度后为y=2又其为偶函数，所以2π3+φ=又因为φ<π，且f0<0，所以若选②，因为函数fx的图像的一个对称中心为π则sin2×π12+φ=0又因为φ<π，且fπ6>0故无论选①还是选②，都有f（2）因为f=2sin2x-π6+即y=2t2则方程fx+12f2x-π3【变式7-1】1.（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2(1)求fx(2)已知fx在-π6【答案】(1)f(x)=2sin2x，π(2)11π【分析】（1）将函数变形为f(x)=2sin（2）解方程得f(x)=-3或f(x)=32，即sin【详解】（1）f(x)=3sin∵f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2∴f(x)的最小正周期为T=π，即可得ω=2，又f(x)为奇函数，则φ-π6=kπ，k∈Z，又0<φ<π故fx的解析式为f(x)=2令π2+2kπ≤2x≤∴函数f(x)的递减区间为π4+kπ,3π（2）∵x∈-π6,5π6方程2f2x解得f(x)=-3或f(x)=32，即当sin2x=-32时，2x=-π解得x=-π6或x=当sin2x=34时，综上知，在-π6,-π6+2π3+5π6+π2=(1)求f(x)的解析式与单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，当x∈【答案】(1)f(x)=2sin2x，递减区间为π(2)4π【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【详解】（1）由题意，f(x)=3sin∵f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2∴f(x)的最小正周期为T=π，即可得ω=2，又f(x)为奇函数，则φ-π6=kπ又0<φ<π，∴φ=π6，故令π2+2kπ⩽2x⩽∴函数f(x)的递减区间为π4+kπ,（2）将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y=2再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)=2又2g2(x)+3g即sin4x-π3令z=4x-π3，当x∈0,画出y=sinsinz=34有两个根z1,sinz=-32sin4x-π3=34在0,π又sin4x-π3所以方程2g2(x)+3g【变式7-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sin(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心；(2)若x∈0,5π6【答案】(1)最小正周期π，对称中心为kπ(2)m∈【分析】（1）先将fx（2）结合正弦函数的图像即可求得答案.【详解】（1）f(x)=

=sinx

=34

=34=12所以，最小正周期T=2π由2x+π6=kπ所以，对称中心为kπ2（2）因为x∈0,5π6由正弦曲线可得m∈-【变式7-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知∠A是△ABC的内角，函数fx=cos（1）求∠A的大小；（2）若gx=2fx+14，关于x【答案】（1）π3；（2）(-5,-4)∪{5}【分析】（1）利用两角和差、二倍角和辅助角公式化简得到f(x)，结合最大值可求得cosA，由此可得A（2）根据x的范围可求得g(x)的范围，将问题转化为m=4g(x)+1g(x)在x∈(-π3,π3)内有两个不同的解，设t=g(x)，【详解】（1）f(x)=cos(x-3π2)sin(x-A)=-sinx(sin∵f(x)的最大值为14，∴12∵A∈(0,π)，∴A=π（2）由（1）得：f(x)=12cos∵x∈(-π3,π3当g(x)=0，即x=-π12时，方程4[g(x)]∴m=4g(x)+1g(x)在令t=g(x)，则m=4t+1t，设h(t)=4t+1t，则∴当t∈(-1,-12)∪(12,1]时，∴h(t)在(-1,-12)，(12又h(12)=4，h(1)=5，h(-∴h(t)的大致图象如下图所示，设m=4t+1t对应的根分别为当m∈(-5,-4)时，t1∈(-1,-12)，t2∈(-12当m=-4时，t=-12，此时2x-π当m=4时，t=12，此时2x-π当m∈(4,5)时，t1∈(0,12)，t2∈(12,1)，则当m=5时，t=1或14，此时x综上所述：m的取值范围为(-5,-4)∪{5}.题型8零点问题1.可以直接求解：五点画图法思维2，可以换元求解【例题8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=22（1）当x∈-π8（2）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g(x)=f(x)-a在x∈0,nπ上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n【答案】（1）0,2【解析】（1）利用三角恒等变换得出fx（2）由题意可知，函数y=fx与直线y=a在0,nπ上恰有2021个交点，然后对实数a的取值进行分类讨论，考查实数a【详解】（1）f(x)=2=2sin当x∈-π8∴sin2x+π4（2）假设同时存在实数a和正整数n满足条件，函数g(x)=f(x)-a在x∈0,nπ上恰有2021个零点，即函数y=f(x)与直线y=a在0,nπ当x∈0,π时，2x+π4∈π①当a>2或a<-2时，函数y=f(x)与直线y=a在②当a=2或a=-2时，函数y=f(x)与直线y=a在此时要使函数y=f(x)与直线y=a在0,nπ上恰有2021个交点，则n=2021；③当-2<a<1或1<a<2时，函数y=f(x)与直线y=a此时函数y=f(x)与直线y=a在0,nπ上有偶数个交点，不符合题意；④当a=1时，函数y=f(x)与直线y=a在0,π上有三个交点，此时要使函数y=f(x)与直线y=a在0,nπ上恰有2021个交点，则n=1010；综上所述，存在实数a和n满足题设条件：a=2时，n=2021a=-2时，n=2021a=1时，n=1010.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数y=fx与直线y=a的图象在区间0,π【变式8-1】1.（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知函数fx=sinωx+φ(ω>0,0<φ<π)的周期为π，图象的一个对称中心为π(1)求函数fx与g(2)求实数a与正整数n，使得Fx=fx【答案】(1)f(x)=cos2x(2)a=-1，n=1349【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解；(2)转化为方程2sin2x+asinx-1=0【详解】（1）T=π当x=π4时，因为0<φ<π，取φ=⇒fx将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=cosx，再将所得图像向右平移g(x)=cos（2）由（1）得Fx=cos2sin不妨设sinx=t1或sin若sinx∈-1,1且sinx≠0，则F所以t1,t2中至少有一个为不妨设sinx=t1当t1=1，则此时Fx在(0,π)上有1个零点，在(π,2又2023=674×3+1，所以只需nπ当t1=-1，则此时Fx在(0,π)上有2个零点，在(又2023=674×3+1，当n=1348时，F(x)在(0,1348π)上有2022个零点，当n=1349时，增加2个零点，即F(x)在综上所述，a=-1,n=1349．【变式8-1】2.（2022秋·福建福州·高三校考阶段练习）由两角和差公式我们得到倍角公式cos2θ=2cos2θ-1，实际上(1)试用cosθ表示(2)求sin18∘(3)已知方程4x3-3x-12=0在(-1，1)上有三个根，记为x1【答案】(1)cos(2)5(3)证明见解析【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明；（2）利用第（1）问的结论对cos54°=（3）利用（1）中结论得到cos3θ=12【详解】（1）解：（1）因为，cos3θ=cos所以cos54因为cos54因为cos184cos即4因为sin18°>0，解得sin（3）（3）因x∈(-1,1),故可令x=cos故由4x4cos3θ-3因0<θ<π，故0<3θ<3π，故3θ=π3,或3θ=即方程(*)的三个根分别为π9又4x3-3x-于是，4x【变式8-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx(1)求fx(2)若函数gx=fx-2【答案】(1)[-(2)1012π【分析】（1）化简函数为fx（2）根据题意得到sin(6x+π4)=22，求得6x+π4=π4+2kπ【详解】（1）解：由函数fx=22令-π2+2k所以fx的单调递增区间为[-（2）解：令gx=fx解得6x+π4=由x∈n,m，可得6x+设fx在n,m上的零点依次为x当6x1+此时-π4+2022π+2kπ两项相减得6(m-n)=2024π，即m-n=根据三角函数的性质，当6x1+所以m-n的最大值为1012π【变式8-1】4.（2020秋·安徽六安·高三校考阶段练习）将函数f(x)=-cos4x的图象向右平移π4（1）在△ABC中，三个内角A,B,C且A<B<C，若C角满足gC=-1，求（2）已知常数λ∈R，n∈N*，且函数F(x)=g(x)+λsinx在0,nπ内恰有2021个零点，求常数【答案】（1）(1,2)；（2）λ=-1，【分析】（1）首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的取值范围.（2）利用函数的图象和函数的零点的关系进一步进行分类讨论，最后求出参数λ的值和n的值.【详解】解：（1）函数f(x)=-cos4x的图象向右平移再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象.可知g(x)=cos因为g(C)=-1，所以C=90°，∴A+B=90°，∴cosB=∴cosA+因为A<B<C，所以A∈0,所以A+π4∈所以cosA+cosB（2）依题意，F(x)=cos当λ=0时，F(x)=cos则F(x)在0,nπ内的零点个数为偶数个，故λ≠0，令F(x)=0，t=sin得2t2-λt-1=0二次方程2t2-λt-1=0必有两不等实根t由于t1t2=-1（i）当0<t1<1方程2sin2x-λ（ii）当t1=1，则-1关于x的方程2sin2x-λ由于2021=3×673+2，则n为奇数则3⋅n-1解得：n=4043（iii）当t1=-1时，则0<t关于x的方程2sin2x-λsinx-1=03⋅n-12+2=2021此时，2×(-1)2-λ×(-1)-1=1+λ=0综上所述：λ=-1，n=1347.【点睛】本题考查三角函数的平移变换，恒等变换，三角函数性质等，考查分类讨论思想和数学运算能力，是难题.【变式8-1】5.（2022秋·安徽六安·高三六安一中阶段练习）已知函数fx(1)若函数fx的最大值为6，求常数m(2)若函数fx有两个零点x1和x2，求m的取值范围，并求x(3)在（1）的条件下，若gx=t-1【答案】(1)m=3(2)-3<m≤-2,x(3)t=2时，一个零点；t>2时，没有零点【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出2x+π（2）由x的范围求出z=2x+π6的范围，函数fx在x∈0,π2上有两个零点x1,x（3）由（1）求出f(x)的最小值，求出当t≥2时(t﹣1)f(x)的范围，利用商的关系、两角差的正切公式化简3sinx-3（1）由题意得，fx=2sin∵x∈0,π2，∴2x+∴2sin2x+π解得m=3；（2）令z=2x+π6，∵x∈0,函数fx在x∈0,π2上有两个零点x1即函数y=2sinz与y=-1-m在由图象可知2×12≤-1-m<2×1由图象可知y=-1-m与y=2sinz有两个交点，设交点横坐标为则z1+z解得x1（3）在（1）的条件下，fx且-12≤2当t≥2时，t-1fx≥3（当t=23sin∵x∈0,π23tanx-π所以当t=2时，函数gx=t-1当t>2时，t-1f函数gx题型9恒成立问题【例题9】（2023春·北京·高三校考阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)当x∈0,π2时，关于x的不等式f条件①：函数fx的图象经过点π条件②：函数fx的图象可由函数g条件③：函数fx的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)fx(2)[2,+∞【分析】（1）化简fx=2sin(2ωx-π6)，若选①，将点π（2）由x∈0,π2确定2x-π6【详解】（1）fx选①：函数fx的图象经过点π3,2所以2ω×π3-由0<ω<2，可得ω=1，则fx选②：函数fx的图象可由函数g即fx=2sin则ω=1，则fx选③：函数fx的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π则函数的最小正周期为π，故2ω=2故fx（2）当x∈0,π2时，2x-故fx又当x∈0,π2时，关于x的不等式f即实数m的取值范围为[2,+∞【变式9-1】1.（2020·全国·校联考二模）已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，当x∈(1,+∞)时，有f(x)>0，且f(2)=1.（1）求不等式f(4t)-f(1-t)<2的解集；（2）对任意x∈0,π2，f【答案】（1）0,12；（2）【分析】（1）利用定义法求出函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(xy)=f(x)+f(y)和f(2)=1，求出f(4)，求出f(4t)<f[4(1-t)]，运用单调性求出不等式的解集；（2）由于f2sin2x+π4-22cosx-π4-5a+2【详解】（1）设x1∴fx所以函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为f(xy)=f(x)+f(y)和f(2)=1，则f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，所以f(4t)<f(1-t)+2=f(1-t)+f(4)=f[4(1-t)]得4t>0解得t>0t<1t<1故t的取值范围为0,1（2）由于f2⇔2sin设g(x)=2sin则g(x)=2=1-cos令t=cosx+sin所以h(t)=t2-2t-5a+2=所以h(t)根据条件，只要-5a+1⩾6-2a6-2a>0所以a⩽-5【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.【变式9-1】2.（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，(1)求函数f(x)的解析式，并写出f(x)单调递增区间；(2)函数g(x)=4f(x)-a⋅2f(x)【答案】(1)f(x)=sin(2x-π3(2)a≤2【分析】(1)利用图像可以求出最小正周期，然后就可以求出ω；取得最大值时的x的取值，进而可以求出φ；整体代入求单调区间；(2)在给定区间x∈[π4，π2]，求出【详解】（1）由图可知T=4(5π∴2πω∵f(5π∴2×5π12+φ=2nπ+∴φ=2nπ-π又|φ|<π2，∴∴f(x)=sin由于2kπ-π2≤2x-∴函数f(x)的单调递增区间为：[kπ-π12,kπ+（2）π4令t=2f(x)，则g(t)=t2-at+3法一：只需g(t)min≥0即可，g(t){a2≤2解得{a≤22a≤2.5法二：g(t)=t2-at+3=t(t+3tt∈[2,2]恒成立，由双勾函数得h(t)=t+3在[3,2]单调递增，∴h(t)【变式9-1】3.（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）已知a=sinωx,cosωx，b=（1）求函数fx在0,π（2）若关于x的不等式fx-π6>2【答案】（1）0,π12、7π12【分析】（1）本题首先可根据a=sinωx,cosωx、b=cosωx,3（2）本题首先可将fx-π6>2msinx+π4-2cos【详解】（1）因为a=sinωx,所以b-则f=sin因为最小正周期为π，所以T=2π2ω=π，ω=1令-π2+2kπ≤2x+则函数fx在0,π内的单调递增区间为0,π12（2）fx-即sin2整理得sin2x>m-1sin即2sinxcos令t=sinx+cosx=2设ht=t-1t，易知当故htmin=h1=0，m-1<0，m<1【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则、三角恒等变换、正弦函数的性质、同角三角函数关系以及利用函数最值求参数的取值范围，能否通过三角恒等变换得出fx【变式9-1】4.（2020秋·江苏无锡·高三校考阶段练习）已知π=sinx,cosx（1）当x∈0,π2（2）若锐角△ABC满足fC=0，且不等式tan2【答案】（1）-1,（2）-2【分析】（1）根据向量的数量积，求得fx的表达式化简，再根据x的取值范围求出f（2）根据fC=0，可求的角tan2A+tan2B+m【详解】解:（1）已知π=sinx,fx因为x∈0,π222故fx的值域为:-1,（2）由（1）得fx因为锐角△ABC满足fCfC解得C=π又因为tan即tanA+又因为∵∴tantanAtanB-12+m所以tanA-tanA故m的取值范围为-22【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角函数及基本不等式的应用。【变式9-1】5.（2020秋·海南·高三海南华侨中学校考阶段练习）已知函数fx=xcosx，（1）求证:fx（2）若ax<gx<bx在0,π2上恒成立，求【答案】（1）答案见解析；（2）a最大值为2π,b【分析】（1）构建函数hx=xcosx-sin（2）构造函数Mx=sinx-cx，通过分类讨论的方法，c≤0，c≥1和【详解】（1）由h所以h'x又x∈0,π2所以hx在区间上0,从而hx≤h0（2）当x>0时,“ax<gx”等价于“sin“gx<bx”等价于“令Mx=sin当c≤0时,Mx>0对任意当c≥1时,因为对任意x∈0,π2所以Mx在区间0,从而Mx<M0当0<c<1时,存在唯一的x0∈0,Mx与M'xx0,xxM+0-M↗↘因为Mx在区间0,所以Mx进一步,“Mx>0对任意当且仅当Mπ2=1-综上所述：当且仅当c≤2π时,Mx当且仅当c≥1时,Mx<0对任意所以，若ax<gx<bx对任意则a最大值为2π,b【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.题型10有解问题【例题10】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π2）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为（1）求函数fx（2）求证：存在大于π3的正实数x0，使得不等式|f(x)|ln【答案】（1）f(x)=2sin【分析】（1）由题可得A=2，周期为π，则可求出ω=2，由fπ12=2（2）问题可化为|f(x)|>23×12在区间【详解】解：（1）由题意可知，A=2，12T=π2，故函数fx故f(x)=2sin∵fπ则φ+π6=∵|φ|<π2，∴∴f(x)=2sin（2）证明：因为x0∈π3,原不等式可化为|f(x)|>23又因为0<lnx<1要使得|f(x)|>23lnx在x0,代入得：sin2x+当sin2x+π3>3此时与区间kπ,kπ+π6与区间当sin2x+π3<-3令k=1得x∈π2,又因为e>π2，故只需x【点睛】关键点睛：本题考查三角函数不等式有解问题，解题的关键是将问题转化为|f(x)|>23×12在区间【变式10-1】1.（2021秋·北京·高三北京一七一中校考期中）已知的函数f(x)=cos(1)求函数fx(2)若当x∈0,π2【答案】(1)最小正周期T=π，单调递增区间为kπ-(2)(-∞,2]【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数f(x)进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数fx的单调递增区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数f(x)（2）根据题意可知m小于等于f(x)的最大值，结合正弦函数的定义域求出f(x)的最大值，即可知m的取值范围.【详解】（1）∵f(x)=2=232sin2x+1由2kπ-π2≤2x+因此，函数fx的单调递增区间为kπ-（2）由题意可知，不等式f(x)⩾m有解，即m≤fx因为x∈0,π2故当2x+π6=π2，即x=∴m≤2即实数m的取值范围为(-∞,2].【变式10-1】2.（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知函数fx（Ⅰ）求函数fx（Ⅱ）若当x∈0,π2时，关于x的不等式f请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：-π3+kπ,π6【解析】（Ⅰ）先将函数整理，得到fx（Ⅱ）若选①，可得m≤fxmax，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得【详解】（Ⅰ）解：因为fx=3所以函数fx的最小正周期T=π因为函数y=sinx的单调增区间为-π所以-π2+2kπ≤2x+解得-π3+kπ≤x≤所以函数fx的单调增区间为-π3（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式fx≥m有解，即因为x∈0,π2故当2x+π6=π2，即x=所以m≤2；若选择②由题意可知，不等式fx≥m恒成立，即因为x∈0,π2故当2x+π6=7π6，即x=所以m≤-1．【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.【变式10-1】3.（2020秋·安徽合肥·高三合肥市第六中学校考期中）已知函数fx（1）已知α，β为锐角，fα+β=-55，tanα=（2）函数gx=3f2x+1，若关于x的不等式【答案】（1）cos2α=-725，tan【解析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分别求出cosα+β，sin(α+β)，进而求出tan（2）由gx=3f2x+1=3cos2x+1∈-2,4，得关于x【详解】解：（1）∵tanα=4=1-tan2α1+tan2α=∴2α∈0,π，α+β∈0,π.∵fx=cos∴sinα+β=1-∴tanβ-α综上，cos2α=-725（2）gx关于x的不等式g2即g2x≥则t∈1,7，t-32≥a+7≤t+9tmax，设ht在3,7上单调递增，则t+9∴a≤3，故实数a的最大值为3.【点睛】关键点睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函数的两角和差公式求解；（2）通过化简，把问题转化为g2x≥【变式10-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=2sin（Ⅰ）若x∈0,π3（Ⅱ）将函数fx图象向右平移π6个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数hx的图象，并设Fx=hx+t【答案】（1）[0,2]；（2）(-2【分析】（1）由倍角公式和辅助角公式可得f(x)=2sin（2）函数图象的变化可得h(x)=4sin2x，进而可得不等式4sin2x+【详解】（1）f(x)=sin∵x∈[0,π∴sin(2x+π函数值域为[0,2（2）由题意可得h(x)=4sinF(x)=4sin∵x∈[0,π可得t>=22[1φ(m)=22(1所以φ(m)Fx>0在0,π∴t>-22t【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数图像的变化、不等式能成立等基本数学问题，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目【变式10-1】5.（2022秋·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数f(x)=sin（1）求函数y=f(x)的单调减区间和对称轴；（2）若不等式f(x)+1<m在0,π3上有解，求【答案】（1）kπ+π3,kπ+5π【分析】（1）利用三角恒等变换以及二倍角化简，然后根据正弦函数的性质进行计算．（2）由（1）可得fx+1=sin【详解】解：（1）由题意f(x)==3由2kπ+π2⩽2x-整理，可得kπ+π3⩽x⩽kπ+∴函数y=f(x)的单调减区间为：(kπ+π3，kπ+5π又∵2x-π6=kπ+∴函数y=f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+（2）f(x)+1=sin∵0⩽x⩽π∴-π∴-1∴要使不等式有解，必须m>-1∴m的取值范围为(-12，【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及二倍角相关导出公式进行化简，正弦函数的性质，不等式的性质，属于中档题．题型11实际应用问题【例题11】（2023·全国·高三专题练习）如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0,8]）的图像，且图像的最高点为S(6,43)(1)求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；(2)试求折线段MNP的最大值．【答案】(1)A=43，ω=π12，M、(2)20【分析】（1）根据图像最高点求出A，利用周期求出ω，再利用两点距离公式即可求解M、P两点之间的距离.（2）首先利用三角函数表示处折线段的长度，再利用辅助角公式即可求解最大值.【详解】（1）图像的最高点为S(6,43)，且A>0，所以A=43.根据图像可知T4=6，则T=2πω=24，ω>0，解得ω=π12，所以y=Asinωx综上，A=43，ω=π12，M、（2）在△MNP中，设∠NMP=θ，因为∠MNP=120∘，故0∘<θ<60∘，由正弦定理可得10sin120∘=NPsinθ=MNsin60∘-θ【变式11-1】1.（2022·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）某街道路宽OD为103米，在道路的边缘点O安装高度为11米（即OA=11）的路灯，灯杆AB与灯柱OA成120°角．当灯罩轴线BC与灯杆AB垂直时，灯罩轴线正好通过(1)求灯杆AB的长；(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线（如图BM，BN）都成30°角．设∠ABC=θ，是否存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求tanθ的取值范围；若不存在，在M，N都落在路面【答案】(1)2(2)不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面；在M，N都落在路面OD上的条件下，MN的最大值为1293【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC，即可求出sin∠OAC，cos∠OAC，再根据两角差的余弦公式求出cos∠CAB（2）建立如图所示的平面直角坐标系，假定存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．由题意得BM，BN所在直线的斜率均存在，其中BM所在直线的方程为y=x-3tanθ+12，令y=0，求出【详解】（1）解：如图连接AC，依题意OC=53、所以AC=OA2+又∠OAB所以∠CAB所以cos∠=-1又∠ABC所以AB=（2）解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A0,11，C53,0，又∠OAB=120°，所以假定存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．由∠ABC=θ，有∠BCD=当θ=90°时，BM⊥x此时OM段没有光线照射到，不满足要求，则θ<90°由题意，BM、BN所在直线的斜率均存在，其中BM的方程为y=令y=0，得x=3-12令3-12tan令3-12tan∵1333>4∴当43≤tanθ设f又2sinθ∵tan又tan75°=tan45°+30°∴75°<θ<90°∴sin2θ-30°当tanθ=1333故不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面；在M，N都落在路面OD上的条件下，MN的最大值为1293【变式11-1】2.（2022·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）某街道路宽OD为103米，在道路的边缘点O安装高度为11米（即OA=11）的路灯，灯杆AB与灯柱OA成120°角．当灯罩轴线BC与灯杆AB垂直时，灯罩轴线正好通过(1)求灯杆AB的长；(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线（如图BM，BN）都成30°角．设∠ABC=θ，是否存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求tanθ的取值范围；若不存在，在M，N都落在路面【答案】(1)2(2)不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面；在M，N都落在路面OD上的条件下，MN的最大值为1293【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC，即可求出sin∠OAC，cos∠OAC，再根据两角差的余弦公式求出cos∠CAB（2）建立如图所示的平面直角坐标系，假定存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．由题意得BM，BN所在直线的斜率均存在，其中BM所在直线的方程为y=x-3tanθ+12，令y=0，求出【详解】（1）解：如图连接AC，依题意OC=53、所以AC=OA2+又∠OAB所以∠CAB所以cos∠=-1又∠ABC所以AB=（2）解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A0,11，C53,0，又∠OAB=120°，所以假定存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．由∠ABC=θ，有∠BCD=当θ=90°时，BM⊥x此时OM段没有光线照射到，不满足要求，则θ<90°由题意，BM、BN所在直线的斜率均存在，其中BM的方程为y=令y=0