新教材2023-2024学年高中数学第六章概率测评北师大版选择性

第六章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是()A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现点数之和D.两次出现相同点的种数2.随机变量X的分布列如下,且EX=13,则(X101Pa1bA.a=16,DX=1 B.a=12,C.a=16,DX=59 D.a=123.两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02,加工出来的零件放在一起,现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,则任意取出一个零件是合格品的概率是()A.275 B.7375 C.74.甲、乙两选手进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,若采用三局两胜制,则甲最终获胜的概率为()A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.6485.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=()A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.846.如果甲、乙、丙三人通过某次考试的概率分别为45,3A.2180 B.27C.3380 D.7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是()A.121 B.521 C.108.设X~B(4,p),其中0<p<12,且P(X=2)=827,那么P(X=1)=(A.881 B.1681 C.8二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),对应的两个正态分布密度曲线如图所示A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)10.下列说法中正确的是()A.设随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=2)=516B.已知P(B|A)=12,P(AB)=38,则P(A)C.某射击选手射击一次,击中目标的次数为随机变量X,则X服从两点分布D.E(2X+3)=2EX+3,D(2X+3)=2DX+311.一盒中有8个乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是()A.X的所有可能取值是3,4,5B.X最有可能的取值是5C.X等于3的概率为3D.X的均值是1712.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某同学罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,则P(X=0)=.

14.已知X~B3,35,且Y=5X+2,则Y的方差为.

15.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛,如果每局比赛甲获胜的概率是35,乙获胜的概率是25,采用5局3胜制,则恰好打了4局比赛结束的概率为16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为,第三个人摸到中奖彩票的概率为.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)某校组织“创建文明城区”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类,然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答,若回答错误则比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,比赛结束.A类问题回答正确得30分,否则得0分;B类问题回答正确得10分,否则得0分.已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.5,能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.8,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列和均值EX.(2)为使累计得分的均值最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为710,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为919.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为34,每个男生通过的概率均为23;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ20.(12分)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,乙能答对其中的8道题.(1)求甲恰有2道题目答对的概率;(2)求乙答对的题目数X的分布列;(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),…,第六组[135,145],得到的频率分布直方图如图所示.(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩(用各组的组中值代替实际数据);(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和均值.附:若X~N(μ,σ2),则P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.22.(12分)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节,预赛有4000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人的成绩得到如下频率分布直方图.(1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩,σ2=362,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛,复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,…,n)题时扣掉0.2k分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?参考数据:362≈19,若Z~N(μ,σ2),则P(μσ<Z≤μ+σ)≈0.6826,P(μ2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9974,1+2+3+…+n=n(n

参考答案第六章测评1.D2.C由已知可得EX=-a+b=13,a+b+13=1,解得a=16,b=12,所以DX=13.B记事件A1为取出的一个零件是第一台机床加工的,事件A2为取出的一个零件是第二台机床加工的,事件B为取出的一个零件是合格品,则P(A1)=23,P(A2)=13,P(B|A1)=10.03=0.97,P(B|A2)=10.02=0.98,故P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=0.97×23+0.98×4.D由题意可得甲最终获胜有两种情况:一是前两局甲获胜,概率为0.6×0.6=0.36,二是前两局甲一胜一负,第三局甲胜,概率为C21×0.6×0.4×0.6=0.288,这两种情况互斥,故甲最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648.5.A6.C甲、乙、丙三人通过考试的概率分别为45则三人中恰有两人通过的概率为45×34×134+45×134×34+145故选C.7.B8.D根据题意得P(X=2)=C42p2(1p)2=即p2(1p)2=132×232,解得p=13或p=2故P(X=1)=C41p(1p)3=故选D.9.ABD因为X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),由图可知,两图象分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,显然μ因为X的正态曲线“高瘦”,Y的正态曲线“矮胖”,故σ1<σ2.故P(Y≥μ1)>P(Y≥μ2),P(X≤σ2)>P(X≤σ1),所以A,B错误;对任意的正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),则P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错误.故选ABD.10.BC对于A,设随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=2)=C62122×1124=1564,错误;对于B,由条件概率的公式知,P(B|A)=P(AB)P(A),得P(A)=34,正确;对于C,某射击选手射击一次,击中目标的次数为随机变量X,则X服从两点分布,正确;对于D,E(2X+3)=2EX+3,正确,D(2X+3)=2DX+3错误,应该为D11.ACD记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B,任取3个球的所有可能是:1A2B,2A1B,3A.A使用后成为B,故X的所有可能取值是3,4,5.P(X=3)=C61C22C83=656=328,所以X最有可能的取值是4,EX=3×328+4×1528+5×故选ACD.12.BD由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(B|A1)=511,由此知,B正确P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,又因为P(A1B)=522,P(A1)P(B)A1,A2,A3是两两互斥的事件,由此知D正确.故答案为BD.13.0.15∵罚篮一次的得分X服从参数为0.85的两点分布,∴P(X=0)=10.85=0.15.14.18∵DX=3×35∴DY=(5)2×1825=1815.234625甲3∶1获胜的概率P1=C32×352×25×35=162625,乙3∶1获胜的概率P2=C32×25216.1515记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=17.解(1)得分情况有三种可能性,X的可能取值为0,30,40,P(X=0)=10.5=0.5,P(X=30)=0.5×(10.8)=0.1,P(X=40)=0.5×0.8=0.4,∴X的分布列为X03040P0.50.10.4EX=0×0.5+30×0.1+40×0.4=19.(2)由(1)知,若小明先回答A类问题,则EX=19.若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y的可能取值为0,10,40,P(Y=0)=10.8=0.2,P(Y=30)=0.8×(10.5)=0.4,P(Y=40)=0.8×0.5=0.4,∴EY=0×0.2+10×0.4+40×0.4=20.∵19<20,即EX<EY,∴小明应选择先回答B类问题.18.解以Ai,i=1,2,3表示事件“当透镜落下第i次时打破”,以B表示事件“透镜落下三次未打破”,因为B=A1所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=119.解(1)设该小组中有n名女生,根据题意,得Cn1C解得n=6或n=4(舍去),∴该小组中有6名女生.(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=13P(ξ=1)=C21×23×13P(ξ=2)=C21×23×13P(ξ=3)=232×34=∴ξ的分布列为ξ0123P1741Eξ=0×136+1×736+2×49+20.解(1)∵甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45∴选中的4道题目甲恰有2道题目答对的概率P=C42452152=(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,P(X=2)=C2P(X=3)=C2P(X=4)=C8∴X的分布列如表所示.X234P281(3)∵乙平均答对的题目数EX=2×215+3×815+4×13=165,甲答对题目数Y~B4,45∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.21.解(1)由题中频率分布直方图,可知成绩在[125,135)内的频率为1(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以a=0.012.所以估计此次考试该校数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).(2)由题意,得P(1203×5<X≤120+3×5)≈0.9974,故P(X≥135)≈1-0.99742=0.0013,则0根据题中频率分布直方图,可知这50人中成绩在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成绩在[125,145]内