2025版新教材高中数学第七章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘除运算课时作业新人教A版必修第二册

7．2.2复数的乘、除运算必备学问基础练1．(1＋2i)(1－i)＝()A．3＋iB．－1＋iC．－1－3iD．1＋3i2．已知复数z＝i(1－2i)，其中i是虚数单位，则z的共轭复数是()A．2－iB．2＋iC．1＋2iD．1－2i3．若复数z满意z(1＋i)＝i3，则z＝()A．－eq\f(1＋2i,4)B．－eq\f(1＋i,2)C．eq\f(1－i,4)D．eq\f(2＋i,2)4．若复数z(1－i)＝1＋i，则|z|＝()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．eq\r(2)D．25．已知复数z＝eq\f(2＋i,1－i)，其中i为虚数单位，则复数eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A．eq\f(3,2)iB．－eq\f(3,2)iC．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)6．复数z＝eq\f(2,1＋i)，则z在复平面内对应的点位于第()象限．A．一B．二C．三D．四7.eq\f(1＋i,2－3i)＝________．8．已知复数z＝(1＋3i)i3，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝________．关键实力综合练1．已知a，b∈R，i为虚数单位，若a＋bi＝i8(2－i)，则a＋b＝()A．0B．1C．2D．－22．已知复数z满意z＝(1－eq\r(3)i)(2＋eq\r(3)i)，则|z|＝()A．2eq\r(7)B．5C．2eq\r(5)D．3eq\r(2)3．已知i是虚数单位，若eq\f(2＋i,1－i)＝a－bi(a，b∈R)，则2a＋b的值是()A．－2B．－eq\f(1,2)C．eq\f(5,2)D．14．已知复数z满意eq\f(1＋zi,1－i)＝1＋2i，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限5．(多选)已知复数z满意zi＝(1－2i)2，则()A．z的虚部为3B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．|z|＝5D．z2＋8z＋7＝06．(多选)已知复数z1＝a＋i，z2＝2＋bi，a，b∈R，且z1＋z2为纯虚数，z1z2<0，则()A．a＝－2B．b＝2C．|2z1－z2|＝37D．z1＋2z2的共轭复数为2－3i7．计算：eq\f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝________．8．复数(a－i)(3＋4i)在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则实数a＝________．9．已知复数z1＝1＋2i，z2＝3－4i.(1)在复平面内，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，求点Z1，Z2之间的距离；(2)若复数z满意eq\f(1,z)＝eq\f(1,z1)＋eq\f(1,z2)，求z.10．已知复数z1满意1＋z1＝(－1＋2i)(1－z1).(1)求z1；(2)若复数z2满意|z2|＝1且eq\f(z2,z1)∈R，求z2.核心素养升级练1．若f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(n)(n∈N*)，则集合{x|x＝f(n)，n∈N*}中的元素个数为()A．1B．2C．3D．多数个2．已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2022,1＋i)，则复数z＝________．3．已知复数z1＝1－3i，z2＝a＋i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“志向复数”，已知z1·z2为“志向复数”．(1)求实数a；(2)定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(z1＋z2,z2)，|z1|≥|z2|,\f(z1＋z2,z1)，|z1|<|z2|))，求z1⊗z2.7．2.2复数的乘、除运算必备学问基础练1．答案：A解析：(1＋2i)(1－i)＝1－i＋2i－2i2＝3＋i.故选A.2．答案：A解析：z＝i(1－2i)＝2＋i，eq\o(z,\s\up6(－))＝2－i.故选A.3．答案：B解析：z＝eq\f(i3,1＋i)＝eq\f(－i,1＋i)＝eq\f(－i－1,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1＋i,2).故选B.4．答案：B解析：因为复数z(1－i)＝1＋i，所以z＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(（1＋i）2,2)＝eq\f(2i,2)＝i，所以|z|＝1，故选B.5．答案：D解析：∵z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1＋3i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，故eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为－eq\f(3,2).故选D.6．答案：D解析：z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－i，故z在复平面内对应的点位于第四象限．故选D.7．答案：－eq\f(1,13)＋eq\f(5,13)i解析：由题意可得eq\f(1＋i,2－3i)＝eq\f(（1＋i）（2＋3i）,（2－3i）（2＋3i）)＝－eq\f(1,13)＋eq\f(5,13)i.8．答案：10解析：因为z＝(1＋3i)i3＝3－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝3＋i，因此z·eq\o(z,\s\up6(－))＝32＋(－1)2＝10.关键实力综合练1．答案：B解析：由虚数单位i的性质可知i8＝1，故由a＋bi＝i8(2－i)可得：a＋bi＝2－i，故a＝2，b＝－1，∴a＋b＝1，故选B.2．答案：A解析：复数z＝(1－eq\r(3)i)(2＋eq\r(3)i)＝2＋eq\r(3)i－2eq\r(3)i－3i2＝5－eq\r(3)i，则|z|＝eq\r(52＋（－\r(3)）2)＝2eq\r(7).故选A.3．答案：B解析：由复数的运算法则，可得eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i.因为eq\f(2＋i,1－i)＝a－bi(a，b∈R)，所以a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(3,2)，所以2a＋b＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2).故选B.4．答案：D解析：∵复数z满意eq\f(1＋zi,1－i)＝1＋2i，∴1＋zi＝(1＋2i)(1－i)＝1－i＋2i－2i2＝3＋i，∴zi＝2＋i，∴z＝eq\f(2＋i,i)＝eq\f(2i＋i2,i2)＝1－2i在复平面内所对应的点(1，－2)位于第四象限．故选D.5．答案：AC解析：因数zi＝(1－2i)2＝－3－4i，两边同时乘以i得－z＝4－3i，所以z＝－4＋3i，所以z的虚部为3，故A正确；z在复平面内对应的点位于其次象限，故B错误；|z|＝eq\r(（－4）2＋32)＝5，故C正确；z2＋8z＋7＝(－4＋3i)2＋8(－4＋3i)＋7＝16－9－32＋7－24i＋24i＝－18，故D错误．故选AC.6．答案：AD解析：由z1＋z2＝(a＋2)＋(b＋1)i为纯虚数，得a＝－2，且b≠－1，由z1z2＝(a＋i)(2＋bi)＝2a－b＋(ab＋2)i<0，得ab＝－2，且2a－b<0，得b＝1，所以|2z1－z2|＝|－6＋i|＝eq\r(37)，z1＋2z2＝2＋3i的共轭复数为2－3i，所以AD正确，BC错误，故选AD.7．答案：－2＋i解析：解法一：eq\f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝eq\f(1＋7i,1－3i)＝eq\f(（1＋7i）（1＋3i）,10)＝－2＋i.解法二：eq\f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝(eq\f(1＋i,1－i))(eq\f(4＋3i,2－i))＝eq\f(i（4＋3i）（2＋i）,5)＝eq\f(（－3＋4i）（2＋i）,5)＝eq\f(－10＋5i,5)＝－2＋i.8．答案：7解析：由题意得(a－i)(3＋4i)＝3a＋4ai－3i－4i2＝3a＋4＋(4a－3)i，在复平面内对应的点为(3a＋4，4a－3)，因为该点在第一、三象限的角平分线上，所以3a＋4＝4a－3，解得a＝7.9．解析：(1)解法一：在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1(1，2)，Z2(3，－4)，所以|Z1Z2|＝eq\r(（1－3）2＋（2＋4）2)＝2eq\r(10).解法二：因为z1－z2＝(1＋2i)－(3－4i)＝－2＋6i，所以|Z1Z2|＝|z1－z2|＝|－2＋6i|＝2eq\r(10).(2)因为eq\f(1,z1)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，eq\f(1,z2)＝eq\f(1,3－4i)＝eq\f(3,25)＋eq\f(4,25)i，所以eq\f(1,z)＝eq\f(1,z1)＋eq\f(1,z2)＝eq\f(8,25)－eq\f(6,25)i，所以z＝2＋eq\f(3,2)i.10．解析：(1)设z1＝a＋bi，(a，b∈R)则1＋a＋bi＝(－1＋2i)(1－a－bi)＝－1＋a＋2b＋(2－2a＋b)i所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a＝－1＋a＋2b,b＝2－2a＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))，所以z1＝1＋i.(2)解法一：由eq\f(z2,z1)∈R可设eq\f(z2,z1)＝t(t∈R)，则z2＝tz1＝t＋ti.因为|z2|＝1，所以eq\r(t2＋t2)＝1，解得t＝±eq\f(\r(2),2)，所以z2＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i或－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i.解法二：设z2＝x＋yi，(x，y∈R)，则eq\f(z2,z1)＝eq\f(x＋yi,1＋i)＝eq\f(x＋y,2)＋eq\f(y－x,2)i，因为|z2|＝1且eq\f(z2,z1)∈R，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1,\f(y－x,2)＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2),y＝\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2),y＝－\f(\r(2),2)))，所以z2＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i或－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i.核心素养升级练1．答案：C解析：依据复数的运算法则，可得eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）)＝－i，所以f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(n)＝in＋(－i)n，则f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，所以集合中只有3个元素．2．答案：i解析：z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2022,1＋i)＝eq\f(\f(i－i2023,1－i),1＋i)＝eq\f(i－i2023,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(i－i2023,2).因为i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，(n∈Z)，而2023＝4×505＋3，所以i2023＝－i，所以z＝eq\f(i－i2023,2)＝eq\f(i－（－i）,2)＝i.3．解析：(