2025版新教材高中数学课时作业26球的表面积和体积新人教A版必修第二册

课时作业26球的表面积和体积基础强化1.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的()A．8倍B．4倍C．2eq\r(2)倍D．2倍2．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(32π,3)D．4π3．假如三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A．eq\f(5,9)B．eq\f(9,5)C．2倍D．3倍4．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶35．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为()A．6πB．12πC．8eq\r(6)πD．24π6．(多选)正四棱锥P­ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P­ABCD的体积为()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．2eq\r(2)D．eq\r(2)7．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球的体积是________cm3.9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．10．若一个底面边长为eq\f(\r(6),2)，侧棱长为eq\r(6)的正六棱柱的全部顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．实力提升11.已知正三棱柱ABC­A1B1C1全部棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为()A．48πB．64πC．84πD．144π12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)13．假如一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A．4∶3B．3∶1C．3∶2D．9∶414．(多选)长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，b，c(3>b>c)，体积为6，外接球的表面积为14π，则下列说法正确的是()A．长方体的长、宽、高分别为3，2，1B．沿长方体的表面从A到C1的最短路径长度为2eq\r(5)C．与这个长方体表面积相等的正方体的棱长为2D．设与这个长方体体积相等的正四面体的棱长为m，则m3＝36eq\r(2)[答题区]题号12345611121314答案15.在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．16．已知一个球的外切圆台的上、下底面半径分别为r、R，求出该球的表面积．课时作业26球的表面积和体积1．解析：若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的eq\r(2)倍，则球体积扩大为原来的2eq\r(2)倍．故选C.答案：C2．解析：依据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,3).故选B.答案：B3．解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).故选B.答案：B4．解析：设球的半径为r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积＝2πr·2r＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1，故选A.答案：A5．解析：设正四棱柱的外接球半径为R，因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以(2R)2＝22＋22＋42＝24，得R2＝6，所以该正四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝24π，故选D.答案：D6．解析：因为正四棱锥P­ABCD的底面积为3，所以底面边长为eq\r(3)，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝eq\r(2).连接AC，BD交于点O(图略).①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)＋eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以正四棱锥P­ABCD的体积为eq\f(1,3)×3×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)－eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以正四棱锥P­ABCD的体积为eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).答案：AB7．解析：设此球的半径为R，则4πR2＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.答案：38．解析：设球的半径为rcm，则(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5.所以球的体积为eq\f(4,3)π×r3＝eq\f(4,3)π×125＝eq\f(500π,3)(cm3).答案：eq\f(500π,3)9．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．解析：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1，则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝eq\r(6)，在Rt△BEE1中，BE1＝eq\r(BE2＋E1E2)＝2eq\r(3)，所以2R＝2eq\r(3)，则R＝eq\r(3)，所以球的体积V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.11．解析：如图，D为棱BC的中点，G为正△ABC的中心，O为外接球的球心，依据直棱柱外接球的性质可知OG∥AA1，OG＝eq\f(1,2)AA1＝3，外接球半径R＝OC，∵正△ABC的边长为6，则CG＝2eq\r(3)，∴R2＝OC2＝OG2＋CG2＝21，外接球的表面积S＝4πR2＝84π，故选C.答案：C12．解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).∴圆柱的体积为V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故选B.答案：B13．解析：作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝eq\r(3)R，则l＝eq\r(h2＋r2)＝2eq\r(3)R，所以eq\f(S圆锥侧,S球)＝eq\f(πrl,4πR2)＝eq\f(π×\r(3)R·2\r(3)R,4πR2)＝eq\f(3,2).故选C.答案：C14．解析：对于A，因为长方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的表面积为14π，设长方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的半径为R，则4πR2＝14π，所以R＝eq\f(\r(14),2)，所以32＋b2＋c2＝(2R)2＝14①，因为长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为6，所以3bc＝6②，又3>b>c，由①②解得b＝2，c＝1，故A正确；对于B，沿长方体的表面从A到C1，可将长方体的两个相邻的面绽开成矩形，最短路径是这个矩形的对角线，这样的矩形共有3种，对角线长度为eq\r(（2＋3）2＋12)＝eq\r(26)或eq\r(（1＋3）2＋22)＝2eq\r(5)或eq\r(（1＋2）2＋32)＝3eq\r(2)，因为3eq\r(2)＝eq\r(18)<2eq\r(5)＝eq\r(20)<eq\r(26)，故沿长方体的表面从A到C1的最短路径长度为3eq\r(2)，故B错误；对于C，长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，设与其表面积相等的正方体的棱长为k，则6k2＝22，解得k＝eq\f(\r(33),3)，故C错误；对于D，棱长为m的正四面体的高为eq\r(m2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)m,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6)m,3)，则正四面体的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×m×eq\f(\r(3)m,2)×eq\f(\r(6)m,3)＝6，则m3＝36eq\r(2)，故D正确．故选AD.答案：AD15．解析：当球的半径最大时，球的体积最大．当球和三个侧面都相切时，在直三棱柱内，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，直径为4大于侧棱长．所以球的最大直径为3