2024-2025学年新教材高考数学第1课时分层演练综合提升2含解析选择性必修第一册

PAGEPAGE5综合提升A级基础巩固1.双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是(A.m>12B.mC.m>1D.m>2解析:由题意,知a=1,b=m,则c=1+m因为e=ca=1+m>2,所以m答案:C2.若双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于()A.14B.C.2D.4解析:双曲线x2-my2=1的实轴长为2,虚轴长为21m.由题意,可得2=41m,解得m答案:D3.若双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为 ()A.x225-y225=1B.C.y216-x216=1D.解析:由题意,知所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,所以双曲线方程为x2-y2=16,即x216-y答案:D4.若0<k<a2,则双曲线x2a2-k-y2bA.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点解析:对于双曲线x2a2-k-y2b2+k=1有c2=a2-k+b2+k=a2+b2,对于双曲线x2a2-y答案:D5.(全国卷Ⅲ)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2解析:由双曲线C的方程可得其渐近线的方程为y=±bax,由题意可得ba=2,所以离心率e=ca=1+6.焦点为(0,6),且与双曲线x22-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是y212解析:由待求双曲线与x22-y2=1有相同的渐近线,且焦点在y轴上,可设所求双曲线方程为x22-y2=λ(λ<0),即x22λ-y2λ=1(λ<0).所以-λ-2λ=36,所以7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|解:因为点P在双曲线的右支上,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.因为|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=23a.依据点P在双曲线的右支上,可得|PF2|=23a≥c-a,所以53a≥c,即e≤53,所以双曲线的离心率B级拓展提高8.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为A.2B.2C.322解析:由题意,得e=ca=2.又因为c2=a2+b2,所以a2=b2.因为a>0,b>0,所以a=b,所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为42=2答案:D9.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆xA.x28-y210=1B.C.x25-y24=1D.解析:双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax.由题意,知椭圆的焦点为(3,0),(-3,0),即双曲线C的焦点为(3,0),(-3,0),据此可得ba=5答案:B10.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为双曲线C的右焦点,过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(A.32B.3C.23解析:由已知,得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以点F的坐标为(2,0),双曲线C的渐近线方程为y=±33x.如图,设两条渐近线的夹角为2α,则有tanα=33,所以α=30°,所以∠MON=2α=60°.又因为△OMN为直角三角形,双曲线具有对称性,不妨设MN在Rt△ONF中,|OF|=2,则|ON|=3.在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan2α=3×tan60°=3.答案:B11.(全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C的右顶点,B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴.若解析:因为F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点(c,0),B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴,所以Bc,由AB的斜率为3,可得b2a把b2=c2-a2代入上式化简可得c2=3ac-2a2,结合e=ca,可得e2-3e+2=0,且e解得e=2.12.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.(1)求双曲线的离心率;(2)若P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,求双曲线的方程.解:(1)设经过第一、三象限的双曲线的渐近线的方程为y=kx,则5kk2+1=4,且k>0,解得若双曲线的焦点在x轴上,则ba=43,e=若双曲线的焦点在y轴上,则ab=43,e=故所求双曲线的离心率为e=53或e=5(2)由题意,设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由PF1⊥PF2,得F1P·F所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5.由(1),知ba=43,又因为a2+b2=c所以a=3,b=4,所以双曲线的方程为x29-y13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥解:由题意,知直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab因为a>1,所以点(1,0)到直线l的距离d1=b(点(-1,0)到直线l的距离d2=b(所以s=d1+d2=2aba2由s≥45c,得2abc≥即5ac2-a2≥2c2,于是有5e即4e4-25e2+25≤0,解得54≤e2≤5因为e>1,所以离心率e的取值范围是52≤e≤5C级挑战创新14.多选题若F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量PF1·PFA.双曲线C的渐近线方程为y=±xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D.△PF1F2的面积为1解析:A项,由题意,得双曲线C的渐近线方程为y=±x,正确.B项,由题意,得F1(-2,0),F2(2,0),则以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=2,错误.C项,F1(-2,0)到渐近线y=±x的距离为1,正确.D项,由题意,得F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),依据点P在双曲线上,及PF1·P解得x0=±62,y0=±22,所以△PF答案:ACD15.多选题若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上的点M(-1,3)关于另一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F,P是双曲线上的动点,则|A.4B.43C.2D.23解析:由双曲线方程得渐近线方程为y=±ba因为点M(-1,3)在渐近线上,所以渐近线方程为y=±3x.设坐标原点为O,则|OM|=|OF|,所以c=1+3=2.当P,M,F三点共线且P在双曲线的右支上时,|PM|+|PF|最小,所以(|PM|+|PF|)min=|MF|=(2+1)2又因为P为双曲线上的动点,所以|PM|+|PF|无最大值.因为A,B,D选项中的值均不小于23,C选项中的值小于23,所以A,B,D选项中的值均有可能取得.答