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Page24四川省宜宾市2024届高三数学第一次诊断性试题留意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.本试卷满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合的元素个数为()A. B. C. D.2.若复数z满意,则的虚部是()A. B. C. D.3.“”是“”的()A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数,则大致图象是()A. B.C. D.5.如图所示的程序框图中,若输出的函数值在区间内,则输入的实数x的取值范围是()A. B. C. D.6.在中,若,则()A. B. C. D.7.已知角的终边上一点的坐标为,角的终边与角的终边关于轴对称,则()A. B. C. D.8.“四书”“五经”是我国部经典名著《高校》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校支配在读书节活动期间举办“四书”“五经”学问讲座,每部名著支配次讲座,若要求《高校》《论语》相邻,但都不与《周易》相邻,则排法种数为()A. B. C. D.9.已知,当取最大值时,则的值为()A. B. C. D.10.南宋数学家杨辉给出了闻名的三角垛公式:,则数列的前项和为()A. B.C. D.11.已知定义在上奇函数满意,,则()A. B. C. D.12.已知,,,则、、的大小关系为()A B. C. D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若满意约束条件则的最大值为________.14.在的绽开式中,常数项为_________.(用数字作答)15.已知函数,方程在区间有且仅有四个根,则正数的取值范围是_________.16.关于不等式的解集为,则的最大值是_________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必需答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.(一)必做题:共60分.17.年四川持续出现高温天气,导致电力供应惊慌.某市电力局在保证居民生活用电的前提下,尽量合理利用资源,保障企业生产.为了解电力资源安排状况,在8月初,分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计,结果用茎叶图表示如图.不受影响受影响合计A区B区合计(1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数;(2)当供电量与需求量的比值小于时,生产要受到影响,统计茎叶图中的数据,填写2×2列联表,并依据列联表,推断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关?附:18.已知正项数列满意,.(1)计算,,猜想的通项公式并加以证明;(2)若,求数列的前项和.19.的内角所对边分别为,,,已知,.(1)若,求的周长;(2)若边的中点为,求中线的最大值.20.现有甲、乙、丙三个人相互传接球,第一次从甲起先传球,甲随机地把球传给乙、丙中的一人,接球后视为完成第一次传接球;接球者进行其次次传球,随机地传给另外两人中的一人,接球后视为完成其次次传接球;依次类推,假设传接球无失误.(1)设乙接到球的次数为,通过三次传球,求的分布列与期望;(2)设第次传球后,甲接到球的概率为,

(i)试证明数列为等比数列;

(ii)说明随着传球次数的增多,甲接到球的概率趋近于一个常数.21.已知函数().(1),求证:;(2)证明:.()(二)选做题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做,则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标中,曲线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的一般方程和极坐标方程;(2)在平面直角坐标中,若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点,求证:成等差数列.选修4-5:不等式选讲23.已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当函数的最小值为时,求的最大值宜宾市2024级高三第一次诊断性试题数学(理工类)留意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.本试卷满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则集合的元素个数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意结合一元二次不等式求集合A,再利用集合的交集运算求解.【详解】∵,∴,即集合的元素个数为3.故选:C.2.若复数z满意,则的虚部是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算可求得,由虚部定义得到结果.【详解】由得:,的虚部为.故选:B.3.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析推断.【详解】∵在上单调递增,∴,又∵在R上单调递增,∴,由可得,但由不能得到,例如,故“”是“”的充分不必要条件.故选:A.4.已知函数,则的大致图象是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先函数的奇偶性解除两个选项,在依据函数的零点位置及范围内的函数值正反,得最符合的函数图象即可.【详解】解:函数,定义域为,所以所以函数为奇函数,故解除B,D选项;当时,令得,所以函数最小正零点为,则,则符合图象特点的是选项A,解除选项C.故选:A.5.如图所示的程序框图中,若输出的函数值在区间内,则输入的实数x的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据程序框图,明确该程序的功能是求分段函数的值,由此依据该函数值域,可求得答案.【详解】由程序框图可知:运行该程序是计算分段函数的值,该函数解析式为:,输出函数值在区间内,必有当时,,当时,,即得.故选∶C.6.在中,若,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据向量减法结合数量积的运算律运算求解.【详解】∵,∴.故选:B.7.已知角的终边上一点的坐标为,角的终边与角的终边关于轴对称,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据三角函数的定义得,再依据和角公式求解即可.【详解】解:因为角的终边上一点的坐标为,角的终边与角的终边关于轴对称,所以,点是角的终边上的点,所以,,所以故选:C8.“四书”“五经”是我国部经典名著《高校》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校支配在读书节活动期间举办“四书”“五经”学问讲座,每部名著支配次讲座,若要求《高校》《论语》相邻,但都不与《周易》相邻,则排法种数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解除去《高校》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座,将《高校》《论语》捆绑和《周易》看作两个元素,采纳插空法排列,依据分步乘法计数原理,可得答案.【详解】先解除去《高校》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座,共有种排法,将《高校》《论语》看作一个元素,二者内部全排列有种排法,排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位,从7个空位中选2个,排《高校》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座,有种排法,故总共有种排法,故选:C.9.已知,当取最大值时,则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据可利用基本不等式推出,结合等号成立条件,即可求得当取最大值时,的值.详解】由题意可得,则,即,当且仅当,即时取等号,此时取得最大值,即取最大值时,,此时,故选:B10.南宋数学家杨辉给出了闻名的三角垛公式:,则数列的前项和为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】因为,依据题意结合分组求和运算求解.【详解】∵,由题意可得:数列的前项和为,又∵,∴数列的前项和.故选:A.11.已知定义在上的奇函数满意,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意分析可得函数是周期为4的周期函数,结合奇偶性与周期性运算求解.【详解】∵为奇函数,则,即,∴,则的周期为4,则,故.故选:C.12.已知,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据分数指数幂与根式的转化,再将根式化为同次根式,比较被开方数大小,可得答案.【详解】由题意可知,,故;又,,因为,故,综合可得,故选:D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若满意约束条件则的最大值为________.【答案】5【解析】【分析】由约束条件做出可行域,将问题转化为在轴的截距,采纳数形结合的方式即可得到结果.【详解】由约束条件可知,可行域如上图所示,令,则,当在轴的截距最小时,最大由,求得,则所以故答案为:14.在的绽开式中,常数项为_________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】先求出的绽开式中的常数项和含的系数,再求的常数项.【详解】由题得的通项为,令,即得常数项为,令,无整数解,即绽开式中不含的项,所以的常数项为.故答案为:15.已知函数,方程在区间有且仅有四个根,则正数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由方程得到,,然后得到的范围,依据原方程在区间有且仅有四个根,列出不等式,求解即可得到结果.【详解】由,可得,所以,又因为当时,,所以的可能取值为因为原方程在区间有且仅有四个根,所以,解得即的取值范围是故答案为:16.关于的不等式的解集为,则的最大值是_________.【答案】##【解析】【分析】设是函数上的随意一点,进而求得点处切线方程,依据切线放缩得,进而将问题转化为在恒成立,再结合一次函数性质得且,进而得且,进而得,,再结合换元法求函数的最大值即可.【详解】解:关于的不等式的解集为,所以,在恒成立,设是函数上随意一点,则,所以,函数在点处的切线方程为,即,令,则,当时,时,,单调递减,时,,单调递增,所以,即;当时,时,,单调递减,时,,单调递增,所以,即;所以,,所以,在恒成立,即在恒成立,所以,且,所以,恒成立,且,所以,且,所以,,令,则,令,则,所以,当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,,所以,的最大值是.故答案为:三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必需答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.(一)必做题:共60分.17.年四川持续出现高温天气,导致电力供应惊慌.某市电力局在保证居民生活用电的前提下,尽量合理利用资源,保障企业生产.为了解电力资源安排状况,在8月初,分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计,结果用茎叶图表示如图.不受影响受影响合计A区B区合计(1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数;(2)当供电量与需求量的比值小于时,生产要受到影响,统计茎叶图中的数据,填写2×2列联表,并依据列联表,推断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关?附:【答案】(1)0.86;(2)2×2列联表见解析,没有95%的把握.【解析】【分析】(1)依据茎叶图中数据及中位数的概念干脆计算得解;(2)由茎叶图判定不受影响、受影响的企业数,据此列出2×2列联表,计算得出结论.【小问1详解】A区供电量与需求量的比值由小到大排列,第5个数,第6个数分别为,所以所求中位数为;【小问2详解】2×2列联表:不受影响受影响合计区7310区4610合计11920没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.18.已知正项数列满意,.(1)计算,,猜想的通项公式并加以证明;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1),,,证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)分别,,即可求得,,由此可猜想,用数学归纳法证明即可;(2)结合(1)的结论可得的表达式,分组求和即可求得答案.【小问1详解】当时,;当时,;猜想.证明如下:当时,成立;假设时,成立;那么时,,即时,,则对随意的,都有成立.【小问2详解】由题意得,.19.的内角所对边分别为,,,已知,.(1)若,求的周长;(2)若边的中点为,求中线的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依据题意利用正弦定理角化边整理可得,结合题意求,即可得周长;(2)依据,结合向量模的运算与余弦定理化简整理得,依据(1)中的结论结合基本不等式运算求解.【小问1详解】∵,由正弦定理可得:,则,若,则,解得,故的周长.【小问2详解】∵,∴,由(1)可得:,即,∵,当且仅当时,等号成立,∴,则,故,则,所以的最大值为.20.现有甲、乙、丙三个人相互传接球,第一次从甲起先传球,甲随机地把球传给乙、丙中的一人,接球后视为完成第一次传接球;接球者进行其次次传球,随机地传给另外两人中的一人,接球后视为完成其次次传接球;依次类推,假设传接球无失误.(1)设乙接到球的次数为,通过三次传球,求的分布列与期望;(2)设第次传球后,甲接到球的概率为,

(i)试证明数列为等比数列;

(ii)说明随着传球次数的增多,甲接到球的概率趋近于一个常数.【答案】(1)分布列见解析,(2)(i)证明见解析;(ii)答案见解析.【解析】【分析】(1)由题意知的取值为,求出X的每个值对应的概率,即可求得分布列,依据期望公式求得期望;(2)(i)求得,依据时,第次传给甲的事务是第次传球后,球不在甲手上并且第次必传给甲的事务,可得,由此变形得可证明结论;(ii)求出,当时,,即可说明随着传球次数的增多,甲接到球的概率趋近于一个常数.【小问1详解】由题意知的取值为,;;;所以X的分布列为012所以;【小问2详解】(i)由题意:第一次传球后,球落在乙或丙手中,则,时,第次传给甲的事务是第次传球后,球不在甲手上并且第次必传给甲的事务,于是有,即,故数列是首项为,公比为的等比数列;(ii),所以,当时,,所以当传球次数足够多时,球落在甲手上的概率趋向于一个常数.21.已知函数().(1),求证:;(2)证明:.()【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先证,令,利用导数推断函数单调性,即可证明;再证,令,利用其导数推断其单调性即可证明;(2)l利用(1)的结论,可得,从而将原不等式转化为,继而转化为证,即证;由此构造函数,利用其导数推断单调性即可证明.【小问1详解】先证,令,此时,故,所以在上单调递增,所以,即.再证,令,,,在上单调递增,故,即,综合以上可得时,;【小问2详解】由(1)可知,,要证,只

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