2025届高三数学寒假二轮微专题45讲41.数列中的计数问题原理与应用_第1页
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文档简介

②值域:;下面我们通过例子分析.二.典例分析例1.在等差数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)对随意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.解析:(1)由可得而,则,,于是,即.(2)对随意m∈N﹡,,则,即,而,故,由题意可知,于是,即.例2.已知等差数列的前5项和为105,且.(1)求数列的通项公式;(2)对随意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.解析:(1)由已知得:解得,所以通项公式为.(2)由,得,即.∵,∴是公比为49的等比数列,∴.例3.(2024新高考1卷)已知公比大于的等比数列满意.(1)求的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和.解析:(1)由于数列是公比大于的等比数列,设首项为,公比为,依题意有,解得解得,或(舍),所以,所以数列的通项公式为.(2)由题意,,即,当时,.当时,,则.例4.(2024新高考1卷)已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且(1)证明:;(2)求集合中元素的个数.解析:(1)设等差数列公差为,由,知,故,由,知,故;故,整理得,得证.(2)由(1)知,由知:即,即,因为,故,解得故集合中元素的个数为9个.三.习题演练1.(2024届温州一模)已知数列是等差数列,,且,,成等比数列.给定,记集合的元素个数为.(1)求,的值;(2)求最小自然数n的值,使得.解析:(1)设数列的公差为,由,,成等比数列,得,,解得,所以,时,集合中元素个数为,时,集合中元素个数为;(2)由(1)知,,时,=2001<2024,时,=4039>2024,记,明显数列是递增数列,所以所求的最小值是11.习题2.已知公比大于的等比数列满意.(1)求的通项公式;(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和.解析:(1)由于数列是公比大于的等比数列,设首项为,公比为,依题意有,解得解

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