2024-2025学年新教材高考数学第八章立体几何5考点1线面垂直的判定与性质1练习含解析选修2

PAGE4PAGE3考点1线面垂直的判定与性质（2024·浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【解析】方法一（1）证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝22，所以A1B12＋AB12故AB1⊥A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝5.由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝23.由CC1⊥AC，得AC1＝13，所以AB12＋B1C12故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，因此AB1⊥平面A1B1C1.（2）如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD．由AB1⊥平面A1B1C1，得平面A1B1C1⊥平面ABB1.由C1D⊥A1B1，平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D⊂平面A1B1C1，得C1D⊥平面ABB1.所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角．由B1C1＝5，A1B1＝22，A1C1＝21，得cos∠C1A1B1＝427，sin∠C1A1B1＝7所以C1D＝3，故sin∠C1AD＝C1DAC因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913方法二（1）证明如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A（0，－3，0），B（1,0,0），A1（0，－3，4），B1（1,0,2），C1（0，3，1）．因此AB1＝（1，3，2），A1B1＝（1，3，－2），由AB1·A1B1＝0，得AB1⊥A由AB1·A1C1＝0，得AB1⊥A又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1⊂平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.（2）设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由（1）可知AC1＝（0,23，1），AB＝（1，3，0），BB设平面ABB1的一个法向量为n＝（x，y，z）．由n·AB=可取n＝（－3，1,0）．所以sinθ＝|cos〈AC1，n〉|＝AC1因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913【答案】见解析（2024·全国Ⅱ卷（文））如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．【解析】（1）证明因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.如图，连接OB．因为AB＝BC＝22AC所以△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥AC，OB＝12AC由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H，作CH⊥OM，垂足为H，又由（1）可得OP⊥CH，因为OM∩OP＝P，OM，OP⊂平面POM，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题意可知OC＝12AC＝2，