新教材适用2024-2025学年高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念学案新人教A版选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念课程标准1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题．学法解读1．能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问题的实力．(数学抽象)2．驾驭等差数列的通项公式及其推导方法，并能够敏捷地进行运算．(逻辑推理、数学运算)3．驾驭等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列．(数学抽象、逻辑推理)学问点1等差数列的定义一般地，假如一个数列_从第2项__起，每一项与_它前一项__的差都等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，公差通常用字母d表示．想一想：对等差数列的理解，有哪些问题须要留意？提示：1.“从第2项起”因为首项没有“前一项”．2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不肯定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，留意不要漏掉这一条件．3．求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2)来求，也可以用d＝an＋1－an来求．留意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.练一练：已知数列{an}满意an≠0，则a1＋a4＝a2＋a3是{an}为等差数列的(B)A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件[解析]例如a1＝1，a4＝－1，a2＝3，a3＝－3，满意a1＋a4＝a2＋a3，但是a2－a1＝2≠a3－a2＝－6，不符合等差数列的定义，故推不出{an}为等差数列；若{an}为等差数列，设公差为d，所以a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝2a1＋3d，a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d，则a1＋a4＝a2＋a3.所以a1＋a4＝a2＋a3是{an}为等差数列的必要条件但不是充分条件．故选B.学问点2等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．事实上，若a，A，b成等差数列，则A＝eq\f(a＋b,2)，且A是a与b的等差中项；若A＝eq\f(a＋b,2)，即A－a＝b－A，则a，A，b成等差数列．想一想：“数列{an}是等差数列”与“2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)”之间是什么关系？提示：等价关系．练一练：在等差数列{an}中，a3、a5是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a4的值为(A)A．2 B．3C．±2 D．eq\f(3,2)[解析]由韦达定理和等差中项的性质可得a3＋a5＝4＝2a4，因此a4＝2.故选A．学问点3等差数列的通项公式递推公式通项公式_an＋1－an__＝d(n∈N*)an＝_a1＋(n－1)d__(n∈N*)想一想：等差数列的通项公式有怎样的内涵？提示：(1)由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量．(2)等差数列的通项公式中涉及an，a1，d，n四个量，知道其中三个量可以求出第四个量．练一练：已知{an}是等差数列，首项a1＝－1，公差d＝－3，则a8＝_－22__.学问点4等差数列与一次函数的关系由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．想一想：等差数列与一次函数有怎样的联系与区分？提示：等差数列一次函数解析式an＝kn＋b(k≠0，n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同点定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线f(x)＝kx＋b上)定义域为R，图象是一条直线相同点等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点练一练：已知点(1,5)，(2,3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(B)A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．无法确定[解析]等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝eq\f(5－3,1－2)＝－2<0，故数列{an}是递减数列．题型探究题型一等差数列的通项公式典例1已知{an}为等差数列，分别依据下列条件写出它的通项公式．(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为：a,2a－1,3－a.[解析](1)设首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝5，,a7＝a1＋6d＝13，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴通项公式为an＝2n－1.(2)由等差中项的公式，得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝eq\f(5,4).∴首项为a＝eq\f(5,4)，公差为2a－1－a＝a－1＝eq\f(5,4)－1＝eq\f(1,4).∴an＝eq\f(5,4)＋(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(n,4)＋1.∴通项公式为an＝eq\f(n,4)＋1.[规律方法]要想求出等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，那么a1和d就是必需求出的量，我们称之为基本量，在解题中，要时刻把握这两个量，它们经常是我们解题的基础．对点训练❶(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(C)A．8 B．12C．16 D．24(2)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．[解析](1)设公差为d，首项为a1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))∴a9＝a1＋8d＝16.(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.题型二等差中项的应用典例2(1)已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为(A)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),2)(2)等差数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(B)A．0 B．9C．12 D．18(3)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，证明：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．[分析](1)求a，b的等差中项⇒等差中项的定义⇒等式⇒计算．(2)先依据已知求出x的值，再求出数列的第四项．(3)先由条件得到a，b，c的关系，再计算eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)，化简可得等于2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,b))).[解析](1)a，b的等差中项为eq\f(a＋b,2)＝eq\f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq\f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq\r(3).(2)由题意得2(3x＋3)＝x＋(6x＋6)，所以x＝0.所以等差数列的前三项为0,3,6，公差为3，所以等差数列的第四项为9.故选B.(3)证明：因为eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，化简得2ac＝b(a＋c)，又eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ac)＝eq\f(b(a＋c)＋c2＋a2,ac)＝eq\f(2ac＋c2＋a2,ac)＝eq\f((a＋c)2,ac)＝eq\f((a＋c)2,\f(b(a＋c),2))＝2·eq\f(a＋c,b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．[规律方法]1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)；事实上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m<n)．2．等差中项法判定等差数列若数列{an}满意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则可判定数列{an}是等差数列．对点训练❷若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．[解析]由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝3.题型三等差数列的推断与证明典例3(1)推断下列数列是否为等差数列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.(2)已知数列{an}满意a1＝2，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)(n∈N*)，bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．[解析](1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为随意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．(2)方法一：因为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，又因为bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，且b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以数列{bn}是等差数列，首项为eq\f(1,2)，公差为3.方法二：因为bn＝eq\f(1,an)，且an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，所以bn＋1＝eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)＝eq\f(1,an)＋3＝bn＋3，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以数列{bn}是等差数列，首项为eq\f(1,2)，公差为3.[规律方法]证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)利用定义法，即证an＋1－an＝常数．(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．对点训练❸(1)若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列；(2)已知数列{an}满意a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)．求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求{an}的通项公式．[证明](1)因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg2.所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N*)．所以数列{an}为等差数列．(2)由条件，得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋1，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为2，公差为1的等差数列，所以eq\f(an,n)＝n＋1，即an＝n(n＋1)．易错警示求等差数列的公差时因考虑不周致误典例4首项为－24的等差数列从第10项起起先为正数，则公差的取值范围是(D)A．d>eq\f(8,3) B．d<3C．eq\f(8,3)≤d<3 D．eq\f(8,3)<d≤3[错解]a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，解得d>eq\f(8,3).故选A．[误区警示]该等差数列的首项为负数，从第10项起起先为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时简洁忽视第9项的要求．[正解]由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－24＋9d>0，,－24＋8d≤0，))解得eq\f(8,3)<d≤3，故选D.1．(多选题)下列数列是等差数列的是(AC)A．0,0,0,0,0，…B．1,11,111,1111，…C．－5，－3，－1,1,3，…D．1,2,3,5,8，…[解析]依据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，故选AC．2．等差数列－3