2025届新高考数学专题复习专题29函数的极值点问题的探究教师版

专题29函数的极值点问题的探究一、题型选讲题型一、函数极值的求解例1、（2024届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，微小值是，则()A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关C．与无关，且与无关 D．与无关，且与有关【答案】C【解析】∵，∴，令，得，或，当改变时，、的改变如下表：递增极大值递减微小值递增∴，，∴，故选：C．变式1、【2024年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的微小值；【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值微小值所以的微小值为．变式2、（2024届山东省济宁市高三上期末）已知函数.(1)求证:当时,对随意恒成立;(2)求函数的极值;【解析】(1),,在上为增函数,所以当时,恒有成立;(2)由当在上为增函数,无极值当在上为减函数,在上为增函数,有微小值,无极大值,综上知:当无极值,当有微小值,无极大值.题型二、极值的个数的证明与推断例1、【2024年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；【解析】（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.变式、（2024届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（）A．为奇函数B．在上单调递增C．恰有4个极大值点D．有且仅有4个极值点【答案】BD【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，，当时，，则在上单调递增.明显，令，得，分别作出，在区间上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.故选：BD.题型三、由极值点求参数的范围例3、【2024年高考北京理数】设函数=[]．若在x=2处取得微小值，求a的取值范围．【解析】由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，则当x∈(，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在x=2处取得微小值．若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的微小值点．综上可知，a的取值范围是（，+∞）．变式1、【2024年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数．若是的极大值点，求．【解析】（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点冲突.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..假如，则当，且时，，故不是的极大值点.假如，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.假如，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.二、达标训练1、（2024届山东师范高校附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.故选：D.2、（2024·山东省淄博试验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，满意条件的有2个，分别是a，c，故满意条件的概率p，故选：B．3、（2024届山东师范高校附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】函数,,∵是函数的极值点，∴，即，,

,,即A选项正确,B选项不正确;

,即C正确,D不正确.

故答案为:AC.4、（2024届山东省日照市高三上期末联考）已知函数，.若函数有唯一的微小值点，求实数的取值范围；【解析】，，，，设，当时，，在时，，即，所以单调递减，在时，，，所以单调递增，所以函数有唯一的微小值点成立；当时，令，得，，在时，，即，所以单调递减，在时，，，所以单调递增，所以函数有唯一的微小值点成立；当时，令，得，，当时不合题意，则，且，即且，设，，在时，，即，所以单调递减，在时，，，所以单调递增，在时，，即，所以单调递减，所以函数有唯一的微小值点成立；综上所述，的取值范围为且.5、（2024届山东试验中学高三上期中）已知函数且a≠0）．若函数f（x）的微小值为，试求a的值．【解析】①当a＜-1时，x改变时改变状况如下表：x1（1，+∞）-0+0-f（x）↘微小值↗极大值↘此时，解得，故不成立．②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．此时f（x）无微小值，故不成立．③当-1＜a＜0时，x改变时改变状况如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）↘微小值↗极大值↘此时