2025版新教材高中数学第六章概率1随机事件的条件概率1.2乘法公式与事件的独立性1.3全概率公式课时作业北师大版选择性必修第一册

1．2乘法公式与事务的独立性1．3全概率公式必备学问基础练学问点一事务的相互独立性的推断1.下列事务A，B是相互独立事务的是()A．一枚硬币掷两次，事务A为“第一次为正面”，事务B为“其次次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，事务A为“第一次摸到白球”，事务B为“其次次摸到白球”C．掷一枚骰子，事务A为“出现点数为奇数”，事务B为“出现点数为偶数”D．事务A为“人能活到20岁”，事务B为“人能活到50岁”2．一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，探讨下列A，B事务的相互独立性与互斥性．(1)A：取一个球为红球，B：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A：取出的两球为一个白球一个红球；B：取出的两球中至少有一个白球．学问点二事务相互独立性的应用3.甲、乙同时参与某次法语考试，甲、乙考试合格的概率分别为0.6，0.7，两人考试是否合格相互独立，则甲、乙两人都不合格的概率为()A．0.42B．0.28C．0.18D．0.124．从甲袋内摸出1个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋内摸出1个红球的概率是eq\f(1,2)，现从两袋内各摸出1个球，则eq\f(2,3)表示的是()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．学问点三全概率公式6.甲骑自行车从A地到B地，途中要经过3个十字路口．已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才遇到红灯的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(4,9)C．eq\f(4,27)D．eq\f(1,27)7．甲、乙两人进行“三局两胜”制的乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为()A．0.36B．0.216C．0.432D．0.6488．甲、乙两人组成“星队”参与猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率是eq\f(3,4)，乙每轮猜对的概率是eq\f(2,3)；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参与两轮活动，求“星队”至少猜对3个成语的概率．关键实力综合练一、选择题1．分别抛掷2枚质地匀称的硬币，设“第1枚为正面”为事务A，“第2枚为正面”为事务B，“2枚结果相同”为事务C，有下列三个命题：①事务A与事务B相互独立；②事务B与事务C相互独立；③事务C与事务A相互独立．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．32．甲、乙、丙三人参与一次考试，他们合格的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(2,5)，那么三人中恰有两人合格的概率是()A．eq\f(2,5)B．eq\f(7,15)C．eq\f(11,30)D．eq\f(1,6)3．某射手射击一次命中的概率为0.8，连续两次射击均命中的概率为0.6，已知该射手第一次命中，则他其次次也命中的概率是()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(7,10)4．一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为()A.eq\f(37,216)B．eq\f(37,72)C．eq\f(2,9)D．eq\f(2,27)5．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则始终投直到机会用完为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p＝()A．0.4B．0.6C．0.1D．0.26．[探究题]在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶上)，如图所示，而且按逆时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率的两倍．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9)D．eq\f(8,27)二、填空题7．某家公司用三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，且其产品的不良率分别占其产量的2.0%，1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率是________，若已知此产品为不良品，则其由A1生产的概率是________．8．在一次象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，竞赛依次如下：第一局，甲对乙；其次局，第一局胜者对丙；第三局，其次局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对其次局败者，则乙连胜四局的概率为________．9．[易错题]甲、乙两人进行跳绳竞赛，规定：若甲赢一局，则竞赛结束，甲胜出：若乙赢两局，则竞赛结束，乙胜出．已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，则甲胜出的概率为________．三、解答题10．事务A，B，C相互独立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，求P(B)和P(eq\x\to(A)B).学科素养升级练1．[多选题]设同时抛掷两个质地匀称的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事务A＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事务B＝{其次个四面体向下的一面为奇数}，C＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是()A．P(A)＝P(B)＝P(C)B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C．P(ABC)＝eq\f(1,8)D．P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)2．甲袋中有5个白球，7个红球；乙袋中有4个白球，2个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是________．3．[学科素养——逻辑推理]在一场消遣晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)求3号歌手得到观众甲、乙、丙中两票的概率．1．2乘法公式与事务的独立性1．3全概率公式必备学问基础练1．解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事务是相互独立事务；选项B中是不放回地摸球，明显事务A与事务B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，A，B为对立事务；选项D是条件概率，事务B受事务A的影响．答案：A2．解析：(1)∵取出的红球放回，故事务A与B的发生互不影响，∴A与B相互独立．(2)设2个白球为a，b，两个红球为1，2，则从袋中取2个球的全部取法为{a，b}，{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，则P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(2,3)，∴P(AB)≠P(A)·P(B).∴事务A，B不是相互独立事务，又∵事务A，B能同时发生，∴A，B不是互斥事务．3．解析：由于甲、乙考试合格的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙考试不合格的概率分别为0.4，0.3，由于两人考试是否合格相互独立，所以甲、乙两人都不合格的概率为0.4×0.3＝0.12.答案：D4．解析：至少有1个红球的概率是eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：C5．解析：依据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事务A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝P(C)＝0.8.A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.2×0.2＝0.96.则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.答案：0.8646．解析：由题意知甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才遇到红灯的概率P＝(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).故选C.答案：C7．解析：甲胜乙包含甲胜前两局或甲胜第一、三局或甲胜其次、三局三种状况，所以甲获胜的概率P＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6＝0.648，故选D.答案：D8．解析：记事务A：“甲第一轮猜对”，事务B：“乙第一轮猜对”，事务C：“甲其次轮猜对”，事务D：“乙其次轮猜对”，事务E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意知，E＝(ABCD)∪(eq\x\to(A)BCD)∪(Aeq\x\to(B)CD)∪(ABeq\x\to(C)D)∪(ABCeq\x\to(D)).由事务的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(eq\x\to(A)BCD)＋P(Aeq\x\to(B)CD)＋P(ABeq\x\to(C)D)＋P(ABCeq\x\to(D))＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋2×(eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3))＝eq\f(2,3).所以“星队”至少猜对3个成语的概率为eq\f(2,3).关键实力综合练1．解析：P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝eq\f(1,4)，因为P(AB)＝eq\f(1,4)＝P(A)P(B)，所以A，B相互独立；因为P(AC)＝eq\f(1,4)＝P(A)P(C)，所以A，C相互独立；因为P(BC)＝eq\f(1,4)＝P(B)P(C)，所以B，C相互独立．故选D.答案：D2．解析：三人中恰有两人合格包括三种状况，这三种状况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率P＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,15)，故选B.答案：B3．解析：设该射手第一次命中，其次次也命中的概率为P，∵该射手射击一次命中的概率为0.8，连续两次均命中的概率是0.6，∴0.8P＝0.6，解得P＝eq\f(3,4).故选A.答案：A4．解析：要满意题意，共有三种取法：(白黑黑白)，(黑白黑白)(黑黑白白)，其中(白黑黑白)的概率为eq\f(2,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,27)，(黑黑白白)的概率为eq\f(2,4)×eq\f(2,4)×eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,24)，(黑白黑白)的概率为eq\f(2,4)×eq\f(2,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)，综上，所求概率P＝eq\f(2,27)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,18)＝eq\f(37,216)，故选A.答案：A5．解析：由题意可得p＋p(1－p)＋p(1－p)2＝0.784，即p(2－p＋1－2p＋p2)＝p(p2－3p＋3)＝0.784，解得p＝0.4，故选A.答案：A6．解析：若按顺时针方向跳的概率为P，则按逆时针方向跳的概率为2P，可得P＋2P＝3P＝1，解得P＝eq\f(1,3)，即按顺时针方向跳的概率为eq\f(1,3)，按逆时针方向跳的概率为eq\f(2,3)，若青蛙在A叶上，跳3次之后停在A叶上，则需满意3次逆时针或者3次顺时针．①若按逆时针方向，则对应的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；②若按顺时针方向，则对应的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，则所求概率为eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3)，故选A.答案：A7．解析：由题意知，事务“任取此公司的一件产品为不良品”的概率P1＝eq\f(1,2)×2.0%＋eq\f(1,3)×1.2%＋eq\f(1,6)×1.0%＝eq\f(47,3000)，事务“已知此产品为不良品，则其由A1生产”的概率P2＝eq\f(\f(1,2)×2.0%,\f(47,3000))＝eq\f(30,47).答案：eq\f(47,3000)eq\f(30,47)8．解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最终再胜丙，所以所求概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.答案：0.099．解析：甲胜出的状况有2种，一种是甲第一局获胜，另外一种是甲第一局输了，其次局获胜．设事务Ai为“甲在第i局获胜”(i＝1，2)，事务B为“甲胜出”，则P(B)＝P(A1)＋P(A1A2).依题意可得P(A1)＝P(A2)＝eq\f(2,5)，因为两场竞赛相互独立，所以P(A1A2)＝P(A1)×P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25)，从而P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(6,25)＝eq\f(16,25).答案：eq\f(16,25)10．解析：由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）P（B）＝\f(1,6)，,P（\x\to(B)）P（C）＝\f(1,8)，,P（A）P（B）P（\x\to(C)）＝\f(1,8)，))又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（\x\to(B)）＋P（B）＝1，,P（\x\to(C)）＋P（C）＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B）＝\f(1,2)，,P（C）＝\f(1,4)，))所以P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).学科素养升级练1．解析：依题意P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,2)，故AD正确；P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(AC)＝eq\f(1,4)，P(BC)＝eq\f(1,4)，故B正确；事务A，B，C不行能同时发生，所以P(ABC)＝0，故C错误．故选ABD.答案：ABD2．解析：设事务A为“取出甲袋”，事务B为“取出白球”，分两种状况进行探讨．若取出的是甲袋，则P1＝P(A)·P(B|A)，依题意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(B|A)＝eq\f(5,12)，所以P1＝eq\f(1,2)×eq\f(5,12)＝eq\f(5,24)；若取出的是乙袋，则P2＝P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))，依题意可得P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).综上所述，取到白球的概率P＝P1＋P2＝eq\f(13,24).答案：eq\f(13,24)3．解析：(1)设A表示事务“观众甲选中3号歌手”，