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文档简介
天津市南开区2025届高考考前模拟数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()A. B. C. D.2.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.3.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是().A.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加B.与2016年相比,2019年一本达线人数减少C.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍D.2016年与2019年艺体达线人数相同4.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()A.2 B. C. D.5.已知正项等比数列的前项和为,则的最小值为()A. B. C. D.6.函数,,则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为()A. B. C. D.8.设复数满足,在复平面内对应的点为,则()A. B. C. D.9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.23310.已知定义在上的偶函数,当时,,设,则()A. B. C. D.11.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B.4 C. D.12.各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为()A. B.C. D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量满足,且,则_________.14.若变量,满足约束条件则的最大值为________.15.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________.16.在的展开式中,的系数为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若的最小值为1,求的最小值.18.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.19.(12分)已知椭圆,点,点满足(其中为坐标原点),点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为,若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.20.(12分)2019年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.方案一:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得60元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案二:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;(2)若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;②为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?21.(12分)如图(1)五边形中,,将沿折到的位置,得到四棱锥,如图(2),点为线段的中点,且平面.(1)求证:平面平面;(2)若直线与所成角的正切值为,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)设椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.(1)求椭圆的标准方程.(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.【详解】因为是整数,所以所有满足条件的点是位于圆(含边界)内的整数点,满足条件的整数点有共37个,满足的整数点有7个,则所求概率为.故选:.【点睛】本题考查了古典概率的计算,意在考查学生的应用能力.2、B【解析】
设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.3、A【解析】
设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,2016年高考不上线人数为,2019年不上线人数为,故A正确;2016年高考一本人数,2019年高考一本人数,故B错误;2019年二本达线人数,2016年二本达线人数,增加了倍,故C错误;2016年艺体达线人数,2019年艺体达线人数,故D错误.故选:A.【点睛】本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目.4、D【解析】
选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意是的重心,,∴,,∴,故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.5、D【解析】
由,可求出等比数列的通项公式,进而可知当时,;当时,,从而可知的最小值为,求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,由题意得,,得,解得,得.当时,;当时,,则的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质,考查学生的计算求解能力,属于中档题.6、B【解析】
根据函数奇偶性的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设,若函数是上的奇函数,则,所以,函数的图象关于轴对称.所以,“是奇函数”“的图象关于轴对称”;若函数是上的偶函数,则,所以,函数的图象关于轴对称.所以,“的图象关于轴对称”“是奇函数”.因此,“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键,考查推理能力,属于中等题.7、A【解析】
根据直线:过双曲线的一个焦点,得,又和其中一条渐近线平行,得到,再求双曲线方程.【详解】因为直线:过双曲线的一个焦点,所以,所以,又和其中一条渐近线平行,所以,所以,,所以双曲线方程为.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8、B【解析】
设,根据复数的几何意义得到、的关系式,即可得解;【详解】解:设∵,∴,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,属于基础题.9、C【解析】
计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10、B【解析】
根据偶函数性质,可判断关系;由时,,求得导函数,并构造函数,由进而判断函数在时的单调性,即可比较大小.【详解】为定义在上的偶函数,所以所以;当时,,则,令则,当时,,则在时单调递增,因为,所以,即,则在时单调递增,而,所以,综上可知,即,故选:B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用,由导函数性质判断函数单调性的应用,根据单调性比较大小,属于中档题.11、A【解析】
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的的值,当,,退出循环,输出结果.【详解】程序运行过程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循环,输出结果为,故选:A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题,涉及到的知识点有判断程序框图输出结果,属于基础题目.12、C【解析】分析:解决该题的关键是求得等比数列的公比,利用题中所给的条件,建立项之间的关系,从而得到公比所满足的等量关系式,解方程即可得结果.详解:根据题意有,即,因为数列各项都是正数,所以,而,故选C.点睛:该题应用题的条件可以求得等比数列的公比,而待求量就是,代入即可得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由数量积的运算律求得,再由数量积的定义可得结论.【详解】由题意,∴,即,∴.故答案为:.【点睛】本题考查求向量的夹角,掌握数量积的定义与运算律是解题关键.14、7【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合,即可容易求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,有最大值,.故答案为:.【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划,主要考查推理论证能力以及数形结合思想,属基础题.15、18【解析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【详解】解:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18,故答案为:18【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.16、【解析】
根据二项展开式定理,求出含的系数和含的系数,相乘即可.【详解】的展开式中,所求项为:,的系数为.
故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)当时,令,作出的图像,结合图像即可求解;(Ⅱ)结合绝对值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼凑为,结合基本不等式即可求解;【详解】(Ⅰ)令,作出它们的大致图像如下:由或(舍),得点横坐标为2,由对称性知,点横坐标为﹣2,因此不等式的解集为.(Ⅱ)..取等号的条件为,即,联立得因此的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式、基本不等式,属于中档题18、(1);(2)【解析】
(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用(1)的结论,进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【详解】解:(1)直线的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为,转换为直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为(为参数),转换为标准式为(为参数),代入圆的直角坐标方程整理得,所以,..【点睛】本题属于基础本题考查的知识要点:主要考查极坐标,参数方程与普通方程互化,及求三角形面积.需要熟记极坐标系与参数方程的公式,及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路.19、(1)(2)是,【解析】
(1)设,根据条件可求出的坐标,再利用在椭圆上,代入椭圆方程求出即可;(2)设运用勾股定理和点满足椭圆方程,求出,,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值.【详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;(2)由(1)得,作出示意图,设切点为,则,同理即,所以,又,则的周长,所以周长为定值.【点睛】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.20、(1)(2)①②第一种抽奖方案.【解析】
(1)方案一中每一次摸到红球的概率为,每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为,根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率(2)①分别计算方案一,方案二顾客获返金卷的期望,方案一列出分布列计算即可,方案二根据二项分布计算期望即可②根据①得出结论.【详解】(1)选择方案一,则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A,则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率(2)①若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率为,每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元,则可能的取值为60,100,140,180.则;;;.所以选择抽奖方案一,该顾客获得返金劵金额的数学期望为(元)若选择抽奖方案二,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为,最终获得返金劵的金额为元,则,故所以选择抽奖方案二,该顾客获得返金劵金额的数学期望为(元).②即,所以该超市应选择第一种抽奖方案【点睛】本题主要考查了古典概型,相互独立事件的概率,二项分布,期望,及概率知识在实际问题中的应用,属于中档题.21、(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1)根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立;(2)通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.试题解析:(1)证明:取的中点,连
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