数理统计知识点总结

数理统计知识点归纳：第二章统计量和样本矩及=:£纹为样本均值।S：= — =十免X”X2为样本方差？s厂一一1，(X「X)2为修正样本方差(简称样本方差hsn=C圣-X?为样本标准差：Ak= =1,2,-0为样本k阶原点矩；舔二:"(X一天尸，(A=12…)为样本k阶中心矩早由定义2.2可见,Ai=X,4=S3S；,=£MS-£X=ex,dX=：dx,es上Tdx,esr=dx'经验分布函数总体X的经嗡分布函数可表示为0,.rVh⑴，Fm(h)-5：,=*+， ]*)<工<文(*+口.6=1.2,■tn~1,3工》工⑺一性质⑴0WF<])<h(ii)H,(EB)=0,F<+°0)=k(iii)居(工)非减且右连续.(2)久(工)是随机变量，且质/了)=5(工)〜与(fFQ)),进而理三⑴]二FG),D[F<z)]=eF(H)[-FG)].充分统计量完备统计量例2.3设总体X服从两点分布B(1小)，即F1X=x[=;>x(l-p)ir,,l=QJ,其中0</<1,(Xi,XJ是来自总体X的一个样本，试证又二!£黑是参数户的充分统计量.

…EC的条件概率…EC的条件概率H)为样本值.其中工,或L当已知与p无关.所以火是。的充分统计it，因子分解定理<1)连续型情况：设总体X具有分布椅度人工*),(X】，X2,…是…样本，T(Xi.XwJ-XQ是一个统计量，则丁为吕的充分统计垃聃充要条件是；样本的联合分布密度函数可以分解为L（@）=II/（=儿（*］72,…，工B）屋T（*l士T…，注K）；d），d-1(2-3)其中A是工［，必,…,孙的非负函数且与0元关，国仅通过T依赖于“M?二“M?二i(2)离散型情况:设总体X的分布律为p|x=N""二P(M2,…)，(&,匕,…,工)是一样本，T(X］，£,…，工)是一个统计量，则丁是8的充分统计量的充要条件是:样本的联合分布律可表示为（2⑷pIX]=X]♦x2=….冗=I刍Hp|x=lJt—（2⑷=丸Ci,孙，…】工/晨r（H[,x：2,，1F）；o），其中h是工厂通,…，/的非负函数且与8无关力仅通过T依赖于孙.例题2.3解口X]一J：1,X2=工之，….X找不心若取若取1n设屋1n设屋X）使得T（M 工姓）=｝宁H；*ni*1g（T《±i ,….工,〉二户）=（1-广尸（[F力）则有尸|X1=X|,Xj=,工，…*Xe-H」=&（H],工±」*。7（工1,#史「一）；力），1K由因子分解定理知，丁《Xi，Xn，…，X3=—Xr=XUp的充分统计冷・=■连续型例23设X^Xz，…，尤是来自正态总体NQJ）的个样本，试证样本均值又是产的充分统计量-证明样本（X】，&,…，XQ的联合分布密度为皿,邛,…，%i产）=人1 '/Qg（丁（4,央,…，驾J；/）*由因子分解定理知，T（Xi,X工,….XQ=X是/的充分统计量，完备统计量解题步骤：⑴定分布，知密度函数（2）求E（3）令分布E=0（4）推g（x）=0（5）知g（x）为完备统计量

例2.8设X「X?,…，火舞是来自两点分布后（1”）的样本.由例2.3知又二。是P的充分统计量,下面验证火也是完备统计量.由于忑-王区服从二项分布与（叫「]故火的分布律为=C*^*(L-步尸一人.k=0,1,2,…，崂。(白<1.Eplg(X>]=图2内1-pr~k=0,对一切0<P<1>（17哈喈阈七）0,对一切0＜户＜1=0,对一切0＜户＜L上式是关于（二^）的多项式，对一切0＜立＜1（17哈喈阈七）0,对一切0＜户＜1=0,对一切0＜户＜L上式是关于（二^）的多项式，对一切0＜立＜1要使多项式值为零，只能是它的每项系数为零，即武十=03=0,1,2.…，打）.所以X是完备统计量,指数型分布族的完备统计量的求法定理2T设总体K的分布密度〃工：&）为指数型分布族,即样本的联合分布密度具有如下形式：Ift =c（e）«tp1£＞4。）耳（小，皿，i-（ 产1F1⑵9）其中0=（内，出「、3），日三核如果。中包含有一个楸维矩形，而且3=（&（6）,8式。），・+・，限（。））的值域包含有一个m维开集，则T=（Ti（X],X2r",Xfl）1Tj（X|fXz,…,尤）,…，兀*（X[,X^t….Xj）是参数”4,…，%）的充分完备统计量.例20设总体X服从泊松分布P（A）,右,修,…,％为其样本,样本的联合分布律为IP+Xl= =为…"=工后=fl1厂n^j--eexpn看!与式（2.9）比较有C（A）人工之」一,1*）=-II丁（工1，工之，一.，工内）=X；=受,ni=iA）=nInA,因此，样本均值丁（X「Xa，….&）=又是参数入的充分完备统计量.抽样分布（正态总体样本均值和方差的分布）定理~6设X]，整，…，是来自正态虺体NJ,产）的一个样本，则样本的任一线性函数LJ=ti.Xi+a±X2+■,*+111rxm仍是正态变量，目U〜N（产自行”—&。

「=】 i-i特别地，取4 1,2,…E）得到样本均值X的概率分布为X〜N（R,g）或〜N[O,1）. ⑵⑼定理2.7设3，Xz「，，％是来自正态总体NJ,M）的样本.则警=，"7?又=（融_x）2_/（M-D,（2.11）且X与受（或S丁）相互独立.定理2.8设Xt,X2<sXB是来自正态总体样本.则T- ^〜M安-1）. （2-15）定理N.9设。和匕，定理N.9设。和匕，匕，…「匕】分别来自正杰总体⑵16)其中定理2・1。设羽，&,…，X/和丫1,匕，…，L工是分别来自正态总体N"】,次）和NJ打谒）的样本।且它们相互独立，则尸=-F（网1一1,用工一1）. （2-17）非正态总体的样本均值分布例2/1设总体X〜玳N,力MX，…，4为来自总体的一个样书则由于参数p相等的二项分布具有可加性，故有tlX=S工〜ECtN.r）.■-1于是得到p\x=钊一出-方产—3h=。，1,2,…，虫次序统计量（是充分统计量）

定理2/5设总体X的分布密度为人工）（或分布函数为F<r））tXlt刈，…,X为来自总体X的样本，则第历个次序统计量X㈤的分布密度为-（力-1）!（Ji」人）！-F（h）L*A*）.k=12…，*（2.23）=神口〜/（二兄"一】/（H）,=打LF（H）]"T/（W）-定理2.16设总体X的分布宙度为/《工）（或分布函数为/O1）,Xi.X*,…aX*为来自总体x的样本，则次序统计量（火⑴出⑺，…rXm）的联合分布密度为J也！Ilf（加）, yt<yz< *丁《山，》工，…，N）=1 9]〔依 块他.定理2J?设总体X的分加密度为人工）（或分布酹数为fG）），m，X2.…，*为来自总体X的样本，则（x⑴，&肩）的联合分布密度为加"3川）=｛胪THF⑴产W3，第三章参数估计无偏估计定义3.1设外火用的…因）是参数8的估计量，若E&=8,则称6是6的无偏估计量.如果就W6,那么以-6称为估计量8的偏差.若UmEO=仇则称a是j的渐近无偏估计.”例3.4设总体X的•阶和二阶矩存在，分布是任意的，记EX=",UX=M.则样本均值N是*的无偏估计，样本方差S：是M的渐近无偏估计,修正样本方差是招的无偏估计.证明由定理2.2的推论知EX=p. 日所以，火是〃的无偏估计量.由于limES：=lim邑 以=次\nfmnrefbfl所以.S：是d的渐近无偏估计.又由于ES：'二E（台故£；'是d的无偏估计.均方误差准则定义设方为一个未知参数为为e的一个估计量M的均方误差定义为 ,MSE（a,8）=E（66）2. （3.3）MSE(a,J)=十(Et9-3)2.如果估计量&是无俱估计,则育IVIStCf夕")=£».相合估计京5B3.1设衣是8的一个估计量，若1日】1上也目 …-三鹏则公蛆日的相毋估计.定理3*3如果乩是。的相合估计,以工）在工=e连续,则也是双。）的相合估计.点估计量的求法（1）矩估计法（2）最大似然估计法矩估计法的理论依据样本矩是相应总体矩的相合估计，即样本矩依概率收敛于相应的总体矩Ex=JxdF（x）=Jxf（x）dxEx2=Jx2dF(x)=Jx2f(x)dx例3.8米总体X的均值"和方差”工的矩估计.解设X[,X»…，Xn是X的一个样本，由于Jex-"，Iex2=口X十（EX>2=M+1,故令X=/、=六+1.解之得户与，的矩估计量为石=X^z=^±<Xf-X）2=Si最大似然估计法1*他I燃函戮设总体X是连续型随机变量，其分布密度为，（工/），其中。=（0广久，…，心）是未知参数.若（X],X之，…，乂）是总体X的一个样本，则样本｛小.X"…，Xn）的联合分布密度为][/（看⑻，当取定工1，叫，…后，它只是参数”3,・・・，*）的函数，记易L（。），即匚（抄）-这个函数匕称为似然函数即似熬函尾就是样本的联合分布密度若总体X是离散型随机变量，其分布律为F|X=丈£=白（小。），工=m⑴，工⑵.…，其中5=（名，为「、&1）是未知参数，（X|,才上一・，心）是来自总体》的样本,则祥本CX】，X*,…，工）的联合分布律|JF|X=j；J称为似然函数，记为L"）,即 1L（&）=JJ尸I£=4-}=[[0（三/6）

«-*1 4=3i求最大似然估计量的一般步辣：K写册似然函数L（&）].求出EL及似然方程.解似然方程得到最大似然佶计,叼・）（f=12…，m），.最后得到最大假然估计量良（占，£「、幻）（£=1,2,…，m）.例3.13设总体X服从正态分布NJ©。，试求未知参数户和7的最大似然估计量.解设（小,无，…，XJ为X的一个样本，其值为（孙.M.…记。=（人『八则InL(B)一则似然方程为InL(B)一则似然方程为L(e)=n-7=解得估计为所求的最大似然估计量为 0=X,=51用次序统计量估计参数的方法样本极差R来估计总体标准差中位数来估计均值最小方差无偏估计求法步骤：（1）由分布写出联合分布密度函数L（X；。）（2）因式分解，证明是充分完备统计量（3）如果不是，利用最大似然函数来求出再证明其完备统计性（4）进行无偏运算得出无偏性E（0）=。定理33设总体X的分布函数为尸（斗。）,86机（X]，心.…，XJ为其样本，若t=T（X],X”[X；）是0的充分完备统it量5为6的一个无偏估计，则y=E（61T） （3.18）为e的惟一的最小方差无偏估计.

定理3.8设总体X的分布函数为F（工评）,HG@是未知参数JX-乂之，…，XQ是来自总悻X的•个样本,如果T=丁（X“Xw，…，XQ是6的充分统计-鼠/是8的任一无偏估计.记外=E（3|T）,即行(3,16)(3.17)用*="时一切8(3,16)(3.17)口9工V1通，对一切fG®,即1是3的最小方差无偏估计.043.21设[黑口又工，…，X.）是来自总体X服从区间（0,在）上均匀公布的一个样本.求8的最小方差无偏估计一解样本的联合分布为L(e)-TT/(%)=0<H1，M士,…■工R<3其他.0.其他.0.其他.其中#门）、工⑺为最小、最大次序统计量的取值，小⑷心）为示性函数，即TsmS）=: 由因子分解定理2.3知，X（Q是"的充分就计量,其分布密度为易验证该分布族是完备的，因而Xg是"的充分完备统计量,又因.芭（安3X3）=9.即红二咏⑺是0的一个无偏估计，故由定理3.8,茸L：1""Xg）=红亍1Xg是8的最小方差无偏估计.有效估计信息不等式1（。）=万（迎吗导回了称为费希尔（FAher）信息量D[T（X）]>£溜卜 （3.24）称为信息不等式，或称为罗-克拉美不等I⑻一E仔吗昔⑻}d[t（x”》流"g（8）=8时例3.Z3设（X「X2,…，工）是来自总体X~ZH）的一个样本，试求N和产的无偏估泞的方差下界解总体X的分布密度为=-y=-e-(J：2^，V2tt(7lny(h;月，#">=—ln/27T1Ina2—T73(才一"尸，j Z(7所以/(ju)=e(2£^_££)2=pE(X-产产==%于是出的无偏估计的方差下界是哥Q=5，而D（元）=《.这说明样本均值X的方差达到了罗-克拉美下界，所以X是制的最小方差无偏估计.由于券=一方+（工£.上，…,#）=彳-1.根据式（3.27）,〃2、口「/।〃£. 4〕E（X一任产」 1“"）=一 口八X；*，/）［= -2a4-2a4,因此一的无偏估计量的方差下界是装址=亨有效估计定义3.8若8（或g（8））的一个无偏估计量仪或7（X））的方差达到罗-克拉美下界，即）=奇（或D「『（X）］=%'［解）， （3.30）则称外或T（X））为外或。（廿））的有效估计（量L定义3.9设。是日的任一无偏估计，称后⑹=77玩（3.31）为3的效率.由罗-克拉美不等式知，对于任意一个无偏估计心贷效率满足。（£2）Ml.如果“外=1,则4是，的有效估计.定义3.10若0的无储估计量0的效率满足lime（^）=1, （3.32）则称8是㊁的渐近有效估计（量5™例3.24设总体X服从二项分布夙N/）,（Xi,达,…，XQ是来自总体X的样本，试证，二之弥是参数p的有效估计量.证明X的分布律为户|'=了|=<上一 即/（1；#>=,*（1- H=0.1.…，N,lnf（s：力）=In（2^+工In2+（N—工）ln（1-p）,

定理册11设（X>Xj…，4）为总体X〜FQ；8）的一个样本方二伙Xi,不,…，丸）是廿的一个无偏估计Bt，则S是f的有效估计的充分必要条件是；（1）。是&的充分估计量；⑵厢L您组）二c⑻⑷工1g.・・・,4）-即,其中LJ⑹是样本（Xi，X2,…，XQ的联合分布密度（或联合分布律），是仅依赖于8的函数一区间估计一般步骤：⑴设法找到一个包含样本（X1,&,…，儿）和待估参数。的函数以X],X?,…，X,;。），除6外&不含其他未知参数,一的分布可求出且与G无关；<22对于给定的甘信度1-『■由等式尸"VulX—X.-X"、V4I适当地确定两个裁数jH*O求解不等式cv卬Xz,—,x气；ya从而有【一GEFl叫《Xi…;XCV日V/（X—X故《名评工）就是所求的置侑区间【一GE正态总体数学期望的置信区间陆计对象对总体（期样本的^求）所用函数及其分布置信区间均值#正杰总体/已知①喊，哧）均值产正态总体¥未知T=款一«7卜r钓-喀■啥）方差/正态总体六叶^~济”1）/(w-Dsf(h-1)S；2\(6(ld宠小时-1》

均值差—।两个正态总体，方叁已知n均值差—।两个正态总体，方叁已知n-—-一(川-内)7《0,1)均值今两个正香慈体，方捶相等丁二 .—?-｛卬―内)_J脑1-1>5：；+6-1)就；/n］打？(砰］+施、—2)N 汽1十-E(*i+rtl12)方差比显14两个正态总体s力马 、F=-2F(n2-］,好1_1)0口品第四章统计决策和贝叶斯估计1.弹本空间和分布嫉设息休X的分布函数为F(工8是未知套敷打旺日，5称为参数空间，若fX-X；；.….X,)为取自总体X的一个样本,则样本所有可能值组成的集合称为样本空间，记为度，由丁Xi的分布函数为广(".*£),£=1,2,…甘内・则(X].…，XQ的联合分布函数为/力1+万A\«1«3(«!+«2-2)F(jc1,--,x„t=J］户(*造。).0G若记F"={R产(工=")，日W曰|,则称F”为样本(X-…，K,)的概率分布族.简体分布版：定义4.1定义在样本空间史上，取值于决策空间W内的函数dJ)*科为统计决策函数，简称为决策函数.形象地说，决策函数H(h)就是一个“行动方案，当有了样本r后，按即定的方案采取行动(决策)小工).在不致误解的情况下，也称d(X)=d(Xi,…，X“}为决策函数,此时表示当样本值为*三(hi，…”3时采取决睇次靠)=小”1-*,4)，因此,决策函数"(*)本质上是一个统计量.定义4.2设样本空间和分布族分别为身和产，，决策空间为题损失函数为MMd)w(x)为决策函数.则由下式确定的0的函数氏(8,⑷称为决策函数d(X)的风险函数RWd)=E/L*,d(X))]=曰"(凡人上一…(4.7)R《y)表示当真参数为8时，采用决策(行动)”所蒙受的平均损失，其中当表示当参数为0时，对样本的函数L( 求数学期里，显然风险越小,即损失越小决策函数就越好.但是，对于给定的风险函数4(X),风险函数仍例4,4设总体X服从正态分布N(产，1),/£(-8,+8),*=(X|,Xz,…，X.)为取自X的样本，欲估计未知参数产，选取损失函数为L(〃")=(d—p)2»则对fi的任一估计d(*),风险函数为K(…H)=K，=EjSd—若进一步要求H(K)是无偏估计，即EjH(K)]="，则风险函数看RS=玛〈4一Ed}2= (d(X)),即风险函数为估计量d(X)的方差.贝叶斯估计方法后验分布设总体x的分布密度为的先验分布为武g.由于8为随机变量并假定已知8的先蛾分布，所以总体X的分布密度做工,8)应看作给定e时x的条件分布密度，于是总体x的分布密度P(工，需改用p(工\d)来表示.设/=.…，X。)为取自总体x的一个样本，当给定样本值x=(匕1,…0G时，样本x=(&,…，<)的联合密度为M.守Gin…，工"I&)=HP<JTI1§),

■-1J1或表示为 y(xI8]= 8)，由此，样本X和8的联合概率分布为=y(jrI8)汗(日).由乘法公式知八*,8)二大(8)书(K1=^(x)h(d1?〉.于是有h(6Ix)= 13\(日F9), (4.8)拂方(。丘)为给定样本x=j时，d的后验分布,它是给定样本后e的条件分布其中耳(*)是(X,d)关于样本x的边缘分布一如果8是连谖型随机变最，m"(Jt)=\qC”I(7)?r<如聚G星网舷型触机娈录,则癣C*)=0J \8》k(8).息.悻分布参政共他先看分布二嗯分布成功横率 一伊分布B1七/泊松分布均值 1r分布「(叫4L指数分布均值的偶数「r分布iXq")正态分布《方雉已知)均值正态分布同—，/)_正蠡分布(均掣已知)___权倒t分布irujj 贝叶斯风险 贝叶斯点估计贝叶斯估计量将参数0视为®上具有先验分布Z。)的随机变量后，风险函数R5t1)可写为R(9,d)=E/L(。，=J/(£,d(x))q(工I6)dx,它是日的函数.仍是随机变量，关于6再求期望，得B〈H)F[区(8,d)]=fR&m\d8. (4.10)H(⑷称为决策函数d在给定先舱分布Z4)下的贝叶斯风险.简称d的贝叶斯风险.当总体X和9都是连续型随机变量时，上式可寻为B(d)=fR((9.d)兀(£)38=J8J乙(8.d(x))q(jcId)tt(8)d工dM=.d《X〉)£(X)典(8Ix)djrd6?=/#0)［，L" (0I当总体X和9都是离散型随机变量时，有13(d)= x)|23L(9,〃〈工)内(£Ix))|.

由上式可见,贝叶斯风险可看作是随机损失函数L（依d（*））求两次期里而得到的，即第一次先对0的后脸分布求期里，第二次关于样本X的边^分布求期望.此时，由于R（d）已不依赖于参数8而仅依赖于决策函数d（X）,因此,以贝叶斯风险的大小作为衡量决策函数优劣的标准是合理的.定理4.2若给定6的先验分布加（6〉和平方损失函数L（8,d）=（8—d）工则0的贝叶斯估计是"（X）=E（&，*=*）=]弗（8|x）dOr其中后（内才）为参数e的后验密度.定理4.3设h的先验分布为六（。），取损失函数为加权平方损失函数L（g,d）=入㈠）（H-。/，则8的贝叶斯估计为/*/\_E[A（。）*8Ih]d- E[4（8）J]-定理4.6设0的先验分布为加（d）,损失函数为绝对值损失=1d—BI,则0的贝叶斯估计为后验分布人（日丘）的中位数.例4.11役总体X服从贝努利分布从1，力3其中参数P未知而/在〔°，1]上服从均匀分布，乂],乂2「，，乂”是来自X的样本,假定损失函数是二次损失函数L",d）=（p_d凡试求参数力的贝叶斯估计及贝叶斯风险.-*■*,*»■.1-irftJ'Jimrt.It..7^.fcT^JJJLJI"，工<■/ 、— ―・ f・-f, —— .解由定理4.2知,当损失函数为二次损失函数时，欲求P的贝叫斯怙计需先求p的后验分布%（3*）=q《*l由）冗（△）/&（上）.由于给定"X的条件概率是q（xIP）三〃乂1一户）一才所以（X],X=…，XQ的条件概率是q（x1户）=宜产《11 =抗W、（l-P）"N'i=1而p的先验概率密度为k"）=L/>£[O,l],所以（Xj右,…，<）与P的用合密度为衣”,身如f（工，方）=中四工*（1,（Xi*Xa,…，居）的边缝分布是衣”,身如g（s）=1：声之多（1—汽 31=^（S^i+11n+1--工二）i-I <-L=（£国）!（刘-VJx,）!/（n+1）Li匚] 曾二]最后两个等号成立是根据8（「，q）=J；/T0I1/-1叱和风处q）=P（P）ru）/T6+q）,r3+i）=履而得.所以p的后验分布为

[(S)!(w-£右)！]/"+1)!i-i 1人〈…）=半界= Ap-ph{p\x)dp」0[(S)!(w-£右)！]/"+1)!i-i 1人〈…）=半界= Ap-ph{p\x)dp」0（£国）！（力~ /J!r-I i—l因此/的贝叶斯估计是无事，下文不另说明）这个估计的贝叶斯风险为5⑸=J-[L（》,4）I口我(/-p)2dp[(S^+1)!][(«-S^)1]-~~(…2)]:H.(其中\:4=而 +11=1—(n+2)/>-E[Y—九力+1-2/肚，其中¥=:苍服f-1R -E[ZX.+1—（双+2）。]=np{\—p}+（1-2p）2tB(p):2“]的B(p):2“]的例*12假设总体X服从正态分布其中参数必是未知的，假定户服从正态分布N（O,1）,并假设X-X?.…，X.是来自该总彼的样本.对于给定的损失函数L（n」）=（〃-4）'苴求M的贝叶斯估计量解给定一JX-Xn，…，招）的条件分布密度为

（X1,X2,…，鹫）与/的联合密度是/（x»P）=（工;:严叫一y[Sr+（b+ —（Xi,Xe,…，XJ的边缘分布密度为g（x）=[ /（某,四）J—TOf0° ]二Las铲"—4"[y^x?+(n+1)/一2finxf0° ]二Las铲"=— exp_a[("+1)/_23曲]>必(2k)2 1 2 /=人―卜4A3-番⑴2]|(告1)2于是M的后验分布密度是K"।*>='^））=（*）&]-审（"-吊）卜所以"的贝叶斯怙计为”=Lm（〃1工）如=^^「jexp卜审（"D1皿E HK_曜1_wr+I一打+1士卬若X服从N5,3）,〃服从N（0,庐），L脑，d）=（刈-d）2,则产的贝叶斯估计为寻求最小最大决策函数的一般步骤为.对D*中每个决策函数dOi，…，右）,求出其风险函数在8上的最大.在所有最大风险值中选取相对最小值,此值对应的狭策函数便是最小最大决策函数.例4J8在例4.11中若取参数p的先验分布为6分桶（0,守），则在平方损失函数F,户的贝叶斯估计p="当立>为p的Minimax估计.2（vn+1）解因力的先验分布为月分布b（守,g）,其密度函数为其余.

其余. - --■■ --4(/n+1/由上式知p的风险函数是与户无关的常数p=2为户的minimax估计.产2(/^+1)第五章假设检验一个以Hq为零假设,H1为备选假设的假设检验问题常记为:H0：t/e包jHi：。wa例S.2某电器零件的平均电阻一直保持在2.64欧姆,改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62欧姆，如电阻值服从正态分布，改变工艺前后电阻的均方差保持在606欧姆，向新工艺对此零件的电阻宥无显著影响？由题设知电阻X〜N",品)，设(即，…*Xg)为其一组样本，现在取假设检验为：—2.64**H(!/£=2.64,由样本均值X的性质得知：EX-fi,D(X)=当H口成立时,米一可卜,引，这里阿=264回=。』6迷=100,因而%/Vn

这里记号“y%'（0*1）”表示Ho成立之下，V服从标准正态分布.则对于给定的女（一般常取口=。.05,0.01或U.10）,占附表I可得满足下式的人力.对本例制=1005（5=2-84,最=0.062上式即为P|国包x10>1.96I=0,05,这表明当假设为成立时，事件।X10）是一概率为0.05的小概率U.U0 I事件，平均在20次抽样中大约有一次发生,如果在一次抽样中,小概率事件发生已使人感到不正常，究其原因，可认为原假设=有问题，因此，应该拒绝Hn："二〃n,即不能认为新工艺对零件的电阻无显著影响.为了更简单地表述假设检验，借助于示性函数,引入检验函数鼠工）：8(h)=10,工£8(h)=10,工£W,JT£W,64)由（5.4）可知.若有样本厘使新工）=1,则否定打解若使5（工）=0,则接受给定一个检验，记它的拒绝域为W,检验函数乳工）为;]1,工€忆仪工）工T,GW.当我们用它来检验15.2）时，有可能犯两类错误.第一类错误是:零假设成立时，山于样本落在拒绝域中而错误地拒绝零假设.第类错误又可称为"弃真错误”其概率为E式置X｝）=P£X£W）, 0e，，第二类错误是:零假设不成立时，由于样本落在接受域中而错误地接受零假设.第二类错误又可称为“存伪错误”•，其概率为定义5.2对于检验5（e）,可以定义一个函数做日）二E&ix）=f$（xeVV）,称3（6）为这个检验的效函数（2口5function）,又称为功率函数例5.4设总体X服从N（产，充）分布，/已知,Xi，%,…，（是来自X的样本，试求检验问题= 出n的势函数一对于检臆水平叫该检验问题的拒绝域为则检验的势函数为=Pfi=Pfi|入驻X。+'ni/2^/~fl।+正态总体均值与方差的假设检验%Hi适用范围检验方其蛇计量拒德域逑=菸0户H产©正态触体风产,斓，品巳知K检聆u=、4由-J-/*n1j—>.一4nU4.气 子产〃》小%「〈朗4 #0/-yV此0%ffQ件二产n正态总体N（pfa2）t〃，/未知2检验1一卅01 n5n 1〃《产0产》设土产心31）$R产.产4〈-%（巾i），社4=〃产网两个正态总体川5・*）和N（…布,端》不已知U检验I』&』斗一」21-遮得'网《m〃1>片2:工1二口、_产启网尹1＜兴之产二三工一•人,产】一产工产】声严】网正态总体可（卬.，）和N（料工/O2）t*1,如储.自未知播下4f检蕤T=X-Y《(叫一US'；+3”口5£；1r|合E,《f本国工―2）产】《产工尹1＞产2t>ta{n}+fl2-2)月1《月2&/对1"】(2!十门之2)>/ «i+«2t<-r.(«i+，”-2)</-tfo/Ke点个if态总体N^tra2）.ft,「未知犬检验J=(»-1>S；2M 蝙X史信］?（曾一1）或XC—产T）C工瓦。至彳〜8nT)"abj必］£“3一1）%修适用弛围检躺方法跣计量拒绝域两个正态题体FNF存（比一1,式2-1）簟K*■ ―，*■6一九N（丹，M）和2P^Fi -ltn2-1)sr土&同N"上，房）.F检验T*iF二—is三F)F0(如-1*ni-1)点肝V晶伊i，丹・搭起未知F£F|,(rti-L,h2-1)产"N。"手内i节正态总体大佳*'陪际1it以〃g**《孙。》小u检验（-一出）々s.M〈产0FF个IHJE*H〈一%芦1二户2产羊。0fI-X-Y1u13g〃1W〃)利1>H非正态总体大林率情增M检兼回51tj1L.〜金酎鼻〜内Fi<产2N«1K?U贰-H.

非参数假设检验方法由定理5」知，当«充分大时.可以近似地认为也近似服从/(m-1)分布,对给定的检验水平0《注＜1,由X2分布表求出常数/(机T)，使尸|£》/"~1)|0q一给定一■组样本值(W.=21r…，.f)K对应的(Nl,N*.…，)的值为(71],••…E),由式(5.23)计算出比的观察值-2_小(一1-一声通〕'如果-1).则拒绝假设乩.即认为总体的分布与假设H。中的分布有显著差异;若尤V晨-1),则接受Hq,即认为总体的分布与假设H。中的分布无显著差异.例5.10将一颗般子掷了120次.结果如下：点数点,2,3,4