2025届湖南长沙县三中高考数学一模试卷含解析

2025届湖南长沙县三中高考数学一模试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．“若，则”的逆命题为真命题C．，使成立D．“若，则”是真命题2．已知集合，，则为()A． B． C． D．3．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（）A．4 B．8 C．9 D．274．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A． B． C． D．5．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（）A．9 B．7 C． D．6．已知函数，则下列判断错误的是（）A．的最小正周期为 B．的值域为C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称7．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C．4 D．29．数列满足：，，，为其前n项和，则（）A．0 B．1 C．3 D．410．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A． B． C． D．11．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．12．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数满足，当时，，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为___________.14．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________．15．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.16．已知函数恰好有3个不同的零点，则实数的取值范围为____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的最大值为2.（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间；（Ⅱ）中,,角所对的边分别是，且，求的面积．18．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.19．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？男生女生总计喜欢阅读中国古典文学不喜欢阅读中国古典文学总计（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望附表及公式：.20．（12分）已知函数．（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；（2）为的导函数，当，时，求证：．21．（12分）某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.（1）求抽取的这家店铺，元旦当天销售额的平均值；（2）估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家；（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.22．（10分）设函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．选项C，由题意知对，都有，故C不正确．选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．选D．2、C【解析】

分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【详解】因为集合，，所以故选：C【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.3、D【解析】

设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.【详解】设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，则，，，设内切球的半径为，内切球的球心为，则，解得：；设外接球的半径为，外接球的球心为，则或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故选：D【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.4、D【解析】

根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).5、C【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设，，则.因为平面，平面，所以.又，，所以平面，则.易知，.在中，，即，化简得.在中，，.所以.因为，当且仅当，时等号成立，所以.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.6、D【解析】

先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】可得对于A，的最小正周期为,故A正确；对于B，由，可得，故B正确；对于C，正弦函数对称轴可得：解得：，当，，故C正确；对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：解得：若图象关于点对称，则解得：，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7、A【解析】

求出函数的解析式，由函数为偶函数得出的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，若函数为偶函数，则，解得，当时，.因此，“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.8、D【解析】

设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．9、D【解析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【点睛】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.10、A【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，，，高为.∴该几何体的体积为故选：A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.11、C【解析】

化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由得可判断④.【详解】由题意，，所以，故①正确；为偶函数，故②错误；当时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.12、D【解析】

取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时，最小，由，故，即可求解.【详解】取中点，过作面，如图：则，故，而对固定的点，当时，最小．此时由面，可知为等腰直角三角形，，故.故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由已知，在上有3个根，分，，，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时；若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根，只需，解得；若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14、【解析】

先令可得其展开式各项系数的和，又由题意得，解得，进而可得其展开式的通项，即可得答案.【详解】令，则有，解得，则二项式的展开式的通项为，令，则其展开式中的第4项的系数为，故答案为：【点睛】此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题.15、【解析】

对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.【详解】由题：函数在区间内有且仅有两个零点，，等价于函数恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.16、【解析】

恰好有3个不同的零点恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.【详解】解：恰好有3个不同的零点恰有三个根，令，，在递增；，递减，递增，时，在有一个零点，在有2个零点；故答案为：.【点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

(1)由题意，f(x)的最大值为所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得化简得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）把代入，可得，令，求出其在上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得在上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，此时函数的定义域为.因为函数的最小值为.最大值为，故函数在上的值域为；（Ⅱ）因为函数在上单调递减，故在上单调递增，则解得，综上所述，实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.19、（1）见解析，没有（2）见解析，【解析】

（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（1）男生女生总计喜欢阅读中国古典文学423072不喜欢阅读中国古典文学301848总计7248120所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且；；.所以的分布列为则.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.20、（1）极大值，极小值；（2）详见解析.【解析】

首先确定函数的定义域和；（1）当时，根据的正负可确定单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令，利用导数可证得，进而得到结论.【详解】由题意得：定义域为，，（1）当时，，当和时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为.（2）要证：，即证：，即证：，化简可得：．，，即证：，设，令，则，在上单调递增，，则由，从而有：.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.21、（1）元；（2）32家；（3）分布列见解析；【解析】

（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；（2）求出的频率即可；（3）中的个数的所有可能取值为，，，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.【详解】（1）频率分布直方图销售额的平均值为千元，所以销售额的平均值为元；（2）不低于元的有家（3）销售额在的店铺有家，销售额在的店铺有家.选取两家，设销售额在的有家.则的所有可能取值为，，.，，所以的分布列为数学期望【点睛】本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.22、（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；（