中考数学-综合与实践-重点考点解析

——中考数学综合与实践注：综合与实践题均为3问，分值为12分．第(1)(2)问为问题探究阶段，一般考查简单尺规作图或计算，第(3)问为问题解决阶段，结合前两问的结论解决问题．类型一面积平分问题(2017、2013、2010.25)【类型解读】面积平分问题近10年涉及3次，题目所给图形：若在第(1)(2)问涉及则结合常见图形，如等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形，若在第(3)问则结合一般四边形．考查点：图形面积二等分和四等分问题．考查形式：过图形上一点或图形内一点作直线平分图形的面积．针对训练【满分技法】链接至P64、P119“微专题”．针对训练1.问题探究(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；(2)如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P处有一个休息站点(占地面积忽略不计)，李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l(路的宽度不计)，使直线l将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A(8，8)、B(6，12)、P(3，6)．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．第1题图2.问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第2题图3.(2019西安莲湖区模拟)问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究(2)如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题(3)如图③，刘老伯有一块筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O(0，0)、A(4，0)、B(0，4)、C(6，6)，是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙(墙的宽度不计)，将这块养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，作一条直线平分四边形ABCD的面积；(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论；问题解决(3)如图③，五边形OBCDE是西安市周边某村李大爷家的一块耕地缩略图(比例尺1∶15，单位米)，将其放在平面直角坐标系中，则点B(8，0)，C(8，4)，D(4，6)，E(0，6)，点P(0，8)处有一水井(占地面积忽略不计)，李大爷打算过点P修一条笔直的水渠(水渠的宽度不计)，并且使这条水渠所在的直线l将五边形OBCDE分成面积相等的两部分便于灌溉．你认为是否存在直线l能满足李大爷的要求，若能，确定出水渠在五边形耕地上的位置；若不能，请说明理由．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)【类型解读】面积最值问题(不涉及辅助圆)近10年考查2次，此类问题多涉及图形变化，考查形式包含：①与图形位似结合求面积最值、面积和最值；②与图形折叠结合求面积最值．【满分技法】1.已知△ABC两边长及其夹角，利用S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；2．已知△ABC两边长a、b，求最大面积，当且仅当这两边垂直(两边夹角为90°)时，S△ABC最大＝eq\f(1,2)ab；3．求四边形面积时转化为求三角形的面积和来求．针对训练针对训练1.问题探究(1)如图①，在△OAB中，∠AOB＝90°，作△OAB关于点O的对称△OCD，连接AD、BC.①作出四边形ABCD，则四边形ABCD的形状为____________；②若AO＋BO＝6，求四边形ABCD的最大面积；(2)如图②，在矩形ABCD中，对角线的长之和为12，求矩形ABCD的最大面积；问题解决(3)如图③，李师傅有一个半径为R的圆形板材⊙O，他准备利用该板材裁一个矩形，是否能裁出面积最大的矩形？若能，求出矩形的最大面积；若不能，请说明理由．第1题图2.问题探究(1)请在图①所示的矩形中裁出一个正方形，画出你的裁剪方法，裁剪线用虚线表示；(2)如图②，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，正方形EFGH的四个顶点至少有3个在矩形ABCD的边上，请通过计算，确定正方形EFGH面积的最大值和最小值；问题解决(3)如图③，有一块三角形铁皮ABC，其中AB＝AC＝10米，BC＝12米，现在需要从这块铁皮上剪下一个正方形PQMN用作一个正方体盒子的盖子，要求正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另外两个顶点分别在△ABC的另两边上．试通过计算确定，如何裁剪，可以使得所得到的正方形面积最大？第2题图3.问题探究(1)如图①，点M、N分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，则四边形BNDM的面积与四边形ABCD的面积关系是____________；(2)如图②，在四边形ABCD中，点M、N分别为AD、BC的中点，MB交AN于点P，MC交DN于点Q.若S四边形MPNQ＝10，则S△ABP＋S△DCQ的值为多少？问题解决(3)如图③，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，点M、N为AB上两点，且满足BN＝2AM＝2MN，连接MC、MD.若点P为CD上任意一点，连接AP、NP，使得AP与DM交于点E，NP与MC交于点F，则四边形MEPF的面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题提出(1)如图①，线段AB的长为4eq\r(2)，请你作出以AB为斜边且面积最大的Rt△ABC；问题探究(2)如图②，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，请你求出四边形ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4.小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合图③中条件的四边形，裁取时要求尽可能节约，你能求出此时四边形ABCD面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第4题图

类型三线段最值问题(2018、2016、2015.25)【类型解读】线段最值问题近10年考查3次，考查形式为利用轴对称的性质和两点之间线段最短，求线段的最小值、三角形或四边形周长的最小值．针对训练【满分技法】链接至P63、P120、P123“微专题”．针对训练1.问题探究(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF＝eq\f(1,2)AE，并说明理由；(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，连接CM，求eq\f(1,2)AM＋MC的最小值；问题解决(3)如图③，A、B两地相距600km，AC是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B到AC的最短距离为360km.今计划在铁路线AC上修建一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费最少，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．(结果保留根号)第1题图2.问题探究(1)如图①，点M、N分别是△ABC边AB、AC上任意一点，在BC边上确定一点P，使得PM＋PN的值最小；(2)如图②，点M是边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，N为CD边的中点，求△DMN周长的最小值；问题解决(3)如图③，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB边的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若M为x轴上任意一点，N为y轴上任意一点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N的坐标，并求出周长的最小值．第2题图3.(2019西安交大附中模拟)问题提出(1)如图①，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK＋NK最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P.且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是草根公园的平面图，AB＝30eq\r(3)米，BC＝60米，现需要在公园里修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小，问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值，并判断点E是否在对角线BD上；若不存在，请说明理由．第3题图4.(2019西工大附中模拟)问题提出(1)如图①，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，BC＝2＋2eq\r(3)，求点A到BC的距离；问题探究(2)如图②，已知边长为3的正方形ABCD，点E、F分别在边AD和BC上，且AE＝eq\f(1,3)AD，CF＝eq\f(1,3)BC，连接BE、DF，若点M、N分别为BE、DF上的动点，连接MN，求线段MN长度的最小值；问题解决(3)如图③，已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，CB＝CD＝2，∠ABC＝60°，连接BD，将线段BD沿BA方向平移至ME，点D的对应点为点E，点N为边CD上一点，且DN＝BM，连接MN，MN的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．第4题图．

类型四辅助圆问题(2014～2019.25)【类型解读】利用辅助圆探究满足特殊角的点问题近10年考查6次，考查形式：第(1)(2)问一般考查简单作图或计算，第(3)问一般为利用辅助圆探究满足45°、60°、90°、120°角的点的存在性问题．针对训练【满分技法】链接至P96“微专题辅助圆问题”．针对训练1.(2019陕西副题第25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM.试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)第1题图2.(2018陕西副题25题12分)问题提出(1)如图①，在△ABC中，AB＝4，∠A＝135°，点B关于AC所在直线的对称点为B′，则BB′的长度为________；问题探究(2)如图②，半圆O的直径AB＝10，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，点D在eq\o(BC,\s\up8(︵))上，且eq\o(CD,\s\up8(︵))＝2eq\o(BD,\s\up8(︵))，P是AB上的动点，试求PC＋PD的最小值；问题解决(3)如图③，扇形花坛AOB的半径为20m，∠AOB＝45°.根据工程需要，现想在eq\o(AB,\s\up8(︵))上选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE＋EF＋FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF为等腰三角形．试求PE＋EF＋FP的值最小时的等腰△PEF的面积．(安装损耗忽略不计)第2题图3.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为________；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM＋MN的最小值；(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值？若存在，求这个最小值及此时BF的长度；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆心O到AB的距离为________；(2)如图②，线段BC和动点A构成△ABC，已知BC＝6，∠BAC＝60°，过点A作BC边上的高线AD.若点D在线段BC上，求线段AD长度的最小值；问题解决(3)李老师为了增加数学学习的趣味性，设计了一个“寻宝”游戏：如图③，在平面内，线段AB长为6cm，线段AB外有一动点P，且线段PA长为4cm，又有一点Q，满足PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，当线段AQ的长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离．第4题图5.问题提出(1)如图①，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，则EF＝________；(2)如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l，且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值；问题解决(3)如图③，某园林单位准备将一个四边形花圃ABCD划分为3个区域种植不同的花草．已知在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，点E、F分别为边AB、AD上的点．若要保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，请说明理由．第5题图6.(2019西安交大附中模拟)问题发现(1)如图①，AB为⊙O直径，请在⊙O上找一点P，使∠ABP＝45°；(不必写作法)问题探究(2)如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3eq\r(2)，D是AB上一点，AD＝2eq\r(2)，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米，球门EF＝8米，且EB＝FA.点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处时才能使射门角度(∠EMF)最大？求出此时PM的长．第6题图7.(2019陕师大附中模拟)问题探究(1)如图①，已知等腰△ABC的顶角∠A＝30°，其外接圆半径为2，则底边上的中线AD长为________；(2)如图②，已知△ABC，∠BAC＝60°，BC＝2，点D、E分别为边AC、BC的中点，求DE长的最大值；问题解决(3)如图③，点A、B为两个物资生产站点，且站点A、B相距1km，现需规划两个物资买卖站点C、D及道路AC、AD.根据实际需要，站点B在站点C、D所连的线段上，且到站点C、D的距离相等，站点A对站点C、D的张角为45°，即∠CAD＝45°，若要使得站点A、C的距离与站点A、D的距离和最长，试求AC＋AD的最大值．(结果用根号表示)第7题图8.(1)如图①，等边△ABC的边长为2，点D为BC边上一点，连接AD，则AD长的最小值是________；(2)如图②，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8eq\r(3)，E为AB中点，若P为对角线BD上一动点，Q为边AD上一动点，计算EP＋PQ的最小值；(3)如图③，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4eq\r(2)，E为CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在AF上截取FP＝FD，连接BP、CP.试问在四边形ABCD内是否存在点P，使得△PBC的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△PBC的最小面积；若不存在，请说明理由．第8题图参考答案类型一面积平分问题针对训练1.解：(1)如解图①，取BC的中点D，作直线AD，则直线AD平分△ABC的面积；第1题解图①(2)如解图②，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，则直线OP平分▱ABCD的面积．第1题解图②∵AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，∴点A到BC的距离为6×sin45°＝3eq\r(2)，∴S▱ABCD＝12×3eq\r(2)＝36eq\r(2)；(3)存在．如解图③，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于点E，连接OB、AP，则E(6，6)，直线l交AB于点F，交BD于点G.第1题解图③∵B(6，12)，P(3，6)，∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P是平行四边形OEBC的对称中心，∴任意一条过点P的直线平分平行四边形OEBC.∴过点P的直线l只要平分△ABE的面积即可．设直线l的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则有3k＋b＝6，即b＝6－3k，∴直线l的表达式为y＝kx＋6－3k.设直线AB的表达式为y＝mx＋n(m≠0)，将点B(6，12)、A(8，8)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝12,8m＋n＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2,n＝24))，∴直线AB的表达式为y＝－2x＋24.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋6－3k,y＝－2x＋24))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18＋3k,k＋2),y＝\f(12＋18k,k＋2)))，∴F(eq\f(18＋3k,k＋2)，eq\f(12＋18k,k＋2))．把x＝6代入y＝kx＋6－3k，得y＝3k＋6，∴G(6，3k＋6)．设直线AP的表达式为y＝ax＋c(a≠0)，将A(8，8)、P(3，6)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8a＋c＝8,3a＋c＝6))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,5),c＝\f(24,5)))，∴直线AP的表达式为y＝eq\f(2,5)x＋eq\f(24,5)，当x＝6时，y＝eq\f(36,5)，∵eq\f(36,5)<yG<yB，∴eq\f(36,5)＜3k＋6＜12，解得eq\f(2,5)＜k＜2.∵S△BFG＝eq\f(1,2)BG·(xF－6)＝eq\f(1,2)(12－3k－6)(eq\f(18＋3k,k＋2)－6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(8－6)×(12－6)＝3，解得k＝eq\f(2,3)或k＝4(舍去)，∴b＝6－3k＝4，∴直线l的表达式为y＝eq\f(2,3)x＋4.2.解：(1)作直线如解图①所示；第2题解图①(2)如解图②所示，直线AP、AQ即为所求．理由如下：如解图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12.设过点A的直线分别交BC、CD于点P、Q，使直线AP、AQ把矩形ABCD的面积三等分，则S△ABP＝S△ADQ＝4，即eq\f(1,2)×3BP＝eq\f(1,2)×4DQ＝4，∴BP＝eq\f(8,3)，DQ＝2，∴当BP＝eq\f(8,3)，DQ＝2时，直线AP、AQ把矩形ABCD的面积三等分；第2题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB＝AC＝100米，BC＝120米，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝60米，∴在Rt△ABE中，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝80米，∴S▱ABCD＝BC·AE＝120×80＝9600(平方米)，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，∵CD＝AB＝100米，CD·AF＝BC·AE，∴AF＝eq\f(BC·AE,CD)＝eq\f(120×80,100)＝96(米)．设过点A的直线分别交BC、CD于点P、Q，使直线AP、AQ把平行四边形ABCD的面积三等分，则S△ABP＝S△ADQ＝eq\f(1,3)×9600＝3200(平方米)，即eq\f(1,2)BP·AE＝eq\f(1,2)DQ·AF＝3200，∴BP＝80米，DQ＝eq\f(200,3)米，∴当BP＝80米，DQ＝eq\f(200,3)米时，直线AP、AQ把平行四边形ABCD的面积三等分．第2题解图③3.解：(1)如解图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝5，又∵点D为BC边的中点，∴AD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)；第3题解图①(2)S△AOM＝S△BON.理由：S△AOM＝S△AMN－S△OMN，S△BON＝S△BMN－S△OMN，∵△AMN与△BMN同底等高，∴S△BMN＝S△AMN，∴S△AOM＝S△BON；(3)存在．如解图②，连接AB，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，第3题解图②∵C(6，6)，∴CE＝OD＝6，OE＝CD＝6，∴四边形ODCE为正方形，S四边形ODCE＝6×6＝36.∵A(4，0)，B(0，4)，∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×4×4＝8，∵AD＝6－4＝2，BE＝6－4＝2，∴SRt△BCE＝eq\f(1,2)×2×6＝6，SRt△CAD＝eq\f(1,2)×2×6＝6，∴S四边形OACB＝S四边形ODCE－SRt△BCE－SRt△CAD＝36－6－6＝24.∵直线BP平分四边形OACB的面积，且点P在AC上，∴S△BPC＝S四边形OAPB＝eq\f(1,2)×24＝12.又∵S△ABP＝S四边形OAPB－SRt△OAB＝12－8＝4，∴S△ABP＝eq\f(1,4)S△ABC，∴AP＝eq\f(1,4)AC.∵点A(4，0)，C(6，6)，∴P(eq\f(9,2)，eq\f(3,2))．设直线BP的表达式为y＝ax＋b(a≠0)，将B(0，4)，P(eq\f(9,2)，eq\f(3,2))代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4,\f(9,2)a＋b＝\f(3,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,9),b＝4)).∴直线BP的表达式为y＝－eq\f(5,9)x＋4.4.解：(1)如解图①，直线l是AD或BC的垂直平分线，则直线l平分四边形ABCD的面积；第4题解图①(2)AD∥EF∥BC，EF＝eq\f(AD＋BC,2).证明：如解图②，连接AF并延长与BC的延长线交于点G，∵AD∥BC，∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，∵DF＝FC，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AD＝CG，∴BG＝BC＋CG＝BC＋AD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴在△ABG中，EF＝eq\f(1,2)BG，EF∥BG，∴AD∥EF∥BC，EF＝eq\f(AD＋BC,2)；第4题解图②(3)能．如解图③，过点C作CF⊥y轴于点F，则四边形OBCF是矩形，DE∥CF∥OB，第4题解图③连接OC、BF交于点M，G、H分别是EF、DC的中点，连接GH，取GH的中点N，则直线MN平分五边形OBCDE的面积．设直线MN分别与DE、CF、OB交于点L、R、K，∵G、H分别是EF、DC的中点，∴DE∥GH∥CF，∴点N是LR的中点，由(2)可得GN＝eq\f(EL＋FR,2)，NH＝eq\f(LD＋RC,2)，∵GN＝NH，∴eq\f(EL＋FR,2)＝eq\f(LD＋RC,2)，∴S四边形EFRL＝S四边形CDLR，∵S四边形OKRF＝S四边形BCRK，∴S四边形EFRL＋S四边形OKRF＝S四边形CDLR＋S四边形BCRK，∴直线MN平分五边形OBCDE的面积，设线段LK的中点是Q，连接PQ，直线PQ分别与DE、OB交于点A1、A2，∵△A1QL≌△A2QK，∴直线PQ平分五边形OBCDE的面积，∵M(4，2)，N(3，5)，∴直线MN的表达式为y＝－3x＋14，∴L(eq\f(8,3)，6)，K(eq\f(14,3)，0)∵线段LK的中点是Q，∴点Q的纵坐标是3，点Q在直线MN上，∴点Q(eq\f(11,3)，3)，∵点P(0，8)，∴直线PQ表达式为y＝－eq\f(15,11)x＋8，∴A1(eq\f(22,15)，6)，A2(eq\f(88,15)，0)，∵耕地图比例尺1∶15，∴eq\f(22,15)×15＝22(米)，eq\f(88,15)×15＝88(米)，∴水渠在五边形耕地开挖的位置是：一端位于DE边上距E点22米，另一端位于OB边上距O点88米．类型二面积最值问题针对训练1.解：(1)①菱形；②如解图①，∵AO＝CO，BO＝DO，AO＋BO＝6，∴AC＋BD＝2(AO＋BO)＝12，设AC＝x，则BD＝12－x，∵由①得四边形ABCD为菱形，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)x(12－x)＝－eq\f(1,2)x2＋6x＝－eq\f(1,2)(x－6)2＋18，∴当x＝6时，S菱形ABCD最大＝18，即四边形ABCD的最大面积为18；第1题解图①(2)如解图②，连接AC、BD，在矩形ABCD中，AC＝BD，设AC与BD交于点O，∵AC＋BD＝12，∴AC＝BD＝6，OD＝eq\f(1,2)BD＝3，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，在Rt△DOE中，DE＝DO·sin∠DOE，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AC·DE＝eq\f(1,2)AC·DO·sin∠DOE，又∵S△ABC＝S△ACD，∴S矩形ABCD＝2S△ACD＝AC·DO·sin∠DOE＝6×3sin∠DOE＝18sin∠DOE≤18，∴S矩形ABCD最大＝18；第1题解图②(3)能裁出面积最大的矩形．如解图③，连接AC，BD，在矩形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AC，BD均为⊙O的直径，即AC＝BD＝2R，由(2)知，S矩形ABCD＝2S△ACD＝AC·DO·sin∠DOA＝2R·R·sin∠DOA＝2R2sin∠DOA≤2R2，∴S矩形ABCD最大＝2R2.第1题解图③2.解：(1)作图如解图①所示：第2题解图①(2)设AE＝x，则BE＝4－x，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE(AAS)，∴BF＝AE＝x.在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2＝BE2＋BF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，即S正方形EFGH＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8.∵0≤x≤4，∴当x＝0或4时，正方形EFGH面积最大为16；当x＝2时，正方形EFGH面积最小为8；(3)分类讨论：i)当MN在BC上时，如解图②，过点A作AD⊥BC于点D，第2题解图②∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝8.∵四边形PQMN是正方形，∴AD垂直平分MN.设AD交PQ于点K，ND＝x，则PK＝ND＝x，KD＝2x，∵∠AKP＝∠ADC＝90°，∠PAK＝∠CAD，∴△APK∽△ACD，∴eq\f(AK,AD)＝eq\f(PK,CD)，即eq\f(8－2x,8)＝eq\f(x,6)，解得x＝eq\f(12,5)，则此时正方形PQMN的边长为eq\f(24,5)；ii)当MN在AB上时，如解图③，过点C作CH⊥AB于点H，交PQ于点G，过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝8.第2题解图③∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)AB·CH＝48，∴CH＝eq\f(48,5).设正方形PQMN的边长为y，则CG＝CH－GH＝eq\f(48,5)－y，∵PQ∥AB，∴CG⊥PQ，∠CPQ＝∠CAB，又∵∠PCQ＝∠ACB，∴△CPQ∽△CAB，∴eq\f(PQ,AB)＝eq\f(CG,CH)，即eq\f(y,10)＝eq\f(\f(48,5)－y,\f(48,5))，解得y＝eq\f(240,49)，则此时正方形PQMN的边长为eq\f(240,49).∵eq\f(24,5)＜eq\f(240,49)，∴以△ABC的一腰为边，另两点在另一腰和底边上时，裁得的正方形面积最大．3.解：(1)S四边形BNDM＝eq\f(1,2)S四边形ABCD；(2)如解图①，连接BD，∵M、N是AD、BC的中点，∴S△ABM＝S△BDM，S△BDN＝S△CDN，(等底同高的两个三角形面积相等)由(1)可知，S四边形BMDN＝eq\f(1,2)S四边形ABCD，同理，S四边形ANCM＝eq\f(1,2)S四边形ABCD，∴S四边形ANCM＋S四边形BMDN＝S四边形ABCD，∴S四边形MPNQ＝S△ABP＋S△CDQ＝10；第3题解图①(3)存在最大值．如解图②，连接PM，设DP＝x，则PC＝4－x，∵AM∥DP，∴eq\f(PE,EA)＝eq\f(PD,AM)，∴eq\f(PE,PA)＝eq\f(PD,PD＋AM)，即eq\f(PE,PA)＝eq\f(x,x＋1)，∵eq\f(S△MEP,S△APM)＝eq\f(PE,PA)，且S△APM＝eq\f(1,2)AM·AD＝1，∴S△MPE＝eq\f(x,x＋1)，同理可得S△MPF＝eq\f(4－x,5－x)，∴S四边形MEPF＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(4－x,5－x)＝2－eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,5－x)＝2－eq\f(6,－x2＋4x＋5)＝2＋eq\f(6,（x－2）2－9)≤2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，当x＝2时，上式等号成立，∴S四边形MEPF的最大值为eq\f(4,3).第3题解图②4.解：(1)如解图①，作线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，在垂直平分线上截取OC＝OA，连接AC、BC，则Rt△ABC即为所求；第4题解图①(2)如解图②，连接AC，过点A作CB的垂线交CB的延长线于点E，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°.∴AE＝AB·sin60°＝eq\r(3)，BE＝AB·cos60°＝1，∴CE＝2，∴AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝eq\r(7).∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝eq\r(7)，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\r(7)×eq\r(7)×sin60°＝eq\f(9\r(3),4)；第4题解图②(3)能．如解图③，将△BCD绕点D顺时针旋转60°，得到△B′AD，连接BB′，第4题解图③由旋转的性质可知，BD＝B′D，∠B′AD＝∠C，∠B′DA＝∠BDC，∴∠BDB′＝60°，∴△BDB′为等边三角形，∴BB′＝BD＝4，∵∠ABC＋∠ADC＝135°，∴∠BAD＋∠C＝360°－135°＝225°，∴∠BAB′＝360°－∠BAD－∠DAB′＝135°.∵S四边形ABCD＝S△BDB′－S△ABB′，S△BDB′＝eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝4eq\r(3)，∴当△ABB′的面积最大时，四边形ABCD的面积最小．由(1)可知，当AB＝AB′时，△ABB′的面积最大，过点A作AM⊥BB′于点M，在BM上截取MN，使MN＝AM，连接AN，易知∠BAM＝67.5°，∠MAN＝45°，∴∠BAN＝∠NBA＝22.5°，∴AN＝BN.∵BB′＝4，AM⊥BB′，∴BM＝2，设AM＝MN＝x，则BN＝AN＝2－x，在Rt△AMN中，由勾股定理得AM2＋MN2＝AN2，即x2＋x2＝(2－x)2，解得x＝2eq\r(2)－2或x＝－2eq\r(2)－2(不符合题意，舍去)，∴S△ABB′最大＝eq\f(1,2)×4×(2eq\r(2)－2)＝4eq\r(2)－4，∴四边形ABCD面积的最小值为4eq\r(3)－(4eq\r(2)－4)＝4eq\r(3)－4eq\r(2)＋4.类型三线段最值问题针对训练1.解：(1)如解图①，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E是正△ABC的高AD上的一点，∴∠BAD＝30°.∵EF⊥AB，∴在Rt△AEF中，EF＝eq\f(1,2)AE；(2)如解图②，过点M作MN⊥AB，垂足为点N，第1题解图②∵△ABC是正三角形，AD为高，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°，∵MN⊥AB，∴在Rt△AMN中，MN＝eq\f(1,2)AM，当C、M、N三点共线时，eq\f(1,2)AM＋MC＝MN＋MC＝CN.此时eq\f(1,2)AM＋MC的值最小，最小值即为CN的长．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴CN＝BC·sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，即eq\f(1,2)AM＋MC的最小值为eq\r(3)；(3)如解图③，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN＝30°.第1题解图③过点B作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求．在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(6002－3602)＝480(km)，在Rt△MBD中，∠MBD＝∠MAF＝30°，则MD＝BD·tan30°＝120eq\r(3)km，∴AM＝AD－MD＝(480－120eq\r(3))km.2.解：(1)如解图①，作点M关于BC的对称点M′，连接M′N交BC于点P，则点P就是所求的点；第2题解图①(2)如解图②，连接BD交AC于点O，∵正方形的对角线互相垂直平分，第2题解图②∴点D关于AC的对称点为点B，连接BN，交AC于点M，连接DM，∴DM＋MN＝MB＋MN＝BN，在AC上任取一异于点M的点M′，连接BM′、DM′、M′N，则DM′＋M′N＝BM′＋M′N＞BN，∴当B、M、N三点共线时，BN取得最小值，∴点M就是所求的点，∵线段DN的长为定值，∴当DM＋MN的值最小时△DMN的周长最小，即周长的最小值为BN＋DN的值．∵正方形ABCD的边长为2，N为DC的中点，∴DN＝1，BN＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴△DMN的周长的最小值为eq\r(5)＋1；(3)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，∴点E坐标为(3，1)，又∵△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可知四边形ADFB是正方形，∴BF＝AB＝OC＝2，CF＝BC－BF＝3－2＝1，∴点F的坐标为(1，2)，如解图③，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、ME、EF，在OC上任取一点N′(不与点N重合)，在OA上任取一点M′(不与点M重合)，连接F′N′、N′M′、M′E′、FN′、EM′，则EF＋FN′＋N′M′＋M′E＝EF＋F′N′＋N′M′＋M′E′>EF＋E′F′，则取M、N点时四边形MNFE的周长最小．第2题解图③∴E′(3，－1)，F′(－1，2)，设直线E′F′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点E′、F′的坐标分别代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝－1,－k＋b＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,4),b＝\f(5,4)))，∴直线E′F′的解析式为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4).当y＝0时，x＝eq\f(5,3)，故点M的坐标为(eq\f(5,3)，0)，当x＝0时，y＝eq\f(5,4)，故点N的坐标为(0，eq\f(5,4))．∵点E与E′关于x轴对称，点F与F′关于y轴对称，∴NF＝NF′，ME＝ME′，F′B＝4，E′B＝3.在Rt△BE′F′中，E′F′＝eq\r(BE′2＋BF′2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴FN＋NM＋ME＝F′N＋NM＋ME′＝E′F′＝5，在Rt△BEF中，EF＝eq\r(BE2＋BF2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴FN＋NM＋ME＋EF＝E′F′＋EF＝5＋eq\r(5)，∴四边形MNFE周长的最小值是5＋eq\r(5).3.解：(1)如解图①，连接MN，交l于点K，则点K即为所求点；第3题解图①(2)如解图②，将△APB绕点B顺时针旋转60°得△CP′B，则P′C＝AP＝3，BP′＝BP＝4，∠BP′C＝∠APB，∠PBP′＝60°，∴△PBP′为等边三角形，∴PP′＝BP＝4，∠PP′B＝60°.第3题解图②在△CP′P中，PC＝5，CP′＝3，PP′＝4，∴PC2＝P′C2＋P′P2，∴∠CP′P＝90°，∴∠BP′C＝∠CP′P＋∠BP′P＝90°＋60°＝150°，∴∠APB＝∠BP′C＝150°；(3)存在．连接AC，根据题意，解图取矩形ABCD中Rt△ABC部分，如解图③，将△ACE绕点C顺时针旋转60°得△NCM，则NM＝AE，CM＝CE，∠ECM＝60°.第3题解图③∴△ECM为等边三角形，∴EM＝CE，∴EA＋EB＋EC＝BE＋EM＋MN.由“两点之间，线段最短”可知BE＋EM＋MN≥BN，当且仅当B、E、M、N四点共线时等号成立，∴当EA＋EB＋EC取最小值时E在BN上(如解图④)，最小值为BN的长．第3题解图④连接AN，易证△ACN为等边三角形，同理可知，以AB为边在AB左侧作等边△ABF，当EA＋EB＋EC取最小值时E在CF上(如解图⑤)，最小值为CF的长，∴E为CF、BN的交点．第3题解图⑤如解图⑥，作FG⊥BC，交CB的延长线于点G.由题意可知AB＝30eq\r(3)，BC＝60，∠ABC＝90°，第3题解图⑥∴BF＝30eq\r(3)，∠FBG＝30°，∴FG＝eq\f(1,2)BF＝15eq\r(3)，BG＝eq\f(\r(3),2)BF＝45，CG＝CB＋BG＝105，∴在Rt△CFG中，CF＝eq\r(FG2＋CG2)＝30eq\r(13)，即EA＋EB＋EC最小值为30eq\r(13).综上所述，点E在BN与CF的交点上，如解图⑦，若点E在对角线BD上，则点E为BN和BD的交点，即点E与点B重合，显然不合题意，故点E不在对角线BD上．第3题解图⑦4.解：(1)如解图①，过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°，则BD＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)x，在Rt△ACD中，∠C＝45°，则CD＝AD＝x，∴BC＝BD＋CD＝eq\r(3)x＋x＝2eq\r(3)＋2，解得x＝2，∴点A到BC的距离为2；第4题解图①(2)如解图②，过点E作EG⊥DF，垂足为G，∵AE＝eq\f(1,3)AD，CF＝eq\f(1,3)BC，AD＝BC＝3，∴AE＝CF＝1，∴DE＝BF＝2，BE＝eq\r(10)，∵DE∥BF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴∠AEB＝∠GDE，BE∥DF，∴△BAE∽△EGD，∴eq\f(BE,DE)＝eq\f(AB,EG)，即eq\f(\r(10),2)＝eq\f(3,EG)，解得EG＝eq\f(3\r(10),5)，∴线段MN长度的最小值为BE与DF间的距离，即为EG的长，即为eq\f(3\r(10),5)；第4题解图②(3)存在．如解图③，连接AC、DE，AC交BD于点F，作∠ABC的平分线交AC于点O，连接OD、OM、ON，过点O作OP⊥AB于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，同理可证OB＝OD，∠OBC＝∠ODC，∴∠MBO＝∠OBC＝∠ODN＝30°，∵BM＝DN，∴△BOM≌△DON，∴OM＝ON，∠BOM＝∠DON，∴∠MON＝∠BOD，∴△MON∽△BOD，∴eq\f(MN,BD)＝eq\f(MO,BO)≥eq\f(OP,BO)＝eq\f(1,2)，∴MN≥eq\f(1,2)BD，∵AQ＝AB·sin60°＝eq\f(3\r(3),2)，BQ＝AB·cos60°＝eq\f(3,2)，∴CQ＝eq\f(1,2)，∴AC＝eq\r(AQ2＋CQ2)＝eq\r(7)，∵CB·AQ＝AC·BF，即2×eq\f(3\r(3),2)＝eq\r(7)BF，解得BF＝eq\f(3\r(21),7)，∴BD＝2BF＝eq\f(6\r(21),7)，∴MN的最小值为eq\f(3\r(21),7).第4题解图③类型四辅助圆问题针对训练解：（1）如解图①所示,Rt△ABC即为所求.（只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可）(2分)第1题解图①如解图②，∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM=CM，第1题解图②∴S△BOM=282＜282.∴点N不可能在BM上，由对称性，可知点N也不可能在MC上.显然,点N不在AD边上.(4分)∴设点N在AB边上,连接ON.由题意,得(BN+14)14=282，解之,得BN=2.由对称性知,当点N在CD边上时,可得CN=2.∴MN=.（6分）（3）如解图③所示,过点A作AH⊥BD于点H，第1题解图③在Rt△ABD中，AB=30，AD=40，∴BD=50，AH=24.易得S△AEF=S△CEF.∴S四边形AECF=2S△AEF=2EF·AH=24EF.由题意可知，只有S四边形AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低.要使S四边形AECF最小，就需EF最短.（8分）∵AH⊥EF，tan∠HAD=tan∠ABD=＜，tan∠ADB=＜，∴∠HAD＜60°，∠BAH＜60°.又∵∠EAF=60°，∴E、F两点分布在AH异侧.∴△AEF为锐角三角形.（9分）作其中任一锐角△AEF的外接圆O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF=2GF，∠GOF=∠EAF=60°.在Rt△OGF中，OF=2OG，GF=OG，∴EF=2OG，又∵OA+OG≥AH，OA=OF=2OG，∴2OG+OG≥24，得OG≥8.∴EF=2OG≥16.当圆心O在AH上，即AE=AF时，EF=16.∴EH=8＜18=BH，FH=8＜32=HD.当AE=AF时，点E、F在BD上.∴S四边形AECF的最小值为2416=384.（11分）∴384210+（3040-384）180=216000+11520≈235584（元）.∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元.（12分）2.解：(1)4eq\r(2)；(2分)(2)如解图①，补全⊙O，连接CO并延长，与⊙O交于点C′，连接C′D与AB相交于点P′，连接CD，CP′.第2题解图①由题意得∠CC′D＝30°，∠D＝90°，∴C′D＝CC′·cos30°＝5eq\r(3).由对称知，P′C′＝P′C，∴P′C＋P′D＝C′D＝5eq\r(3).对于AB上任一点P，均有PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D＝5eq\r(3).即PC＋PD的最小值为5eq\r(3)；(6分)(3)如解图②，设P′为eq\o(AB,\s\up8(︵))上任意一点，分别作点P′关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别与OA、OB交于点E′、F′，连接P′E′，P′F′.第2题解图②由对称可知，△P′E′F′的周长＝P1E′＋E′F′＋P2F′＝P1P2.对于点P′及分别在OA、OB上的任意点E、F，有△P′EF的周长＝P1E＋EF＋P2F≥P1P2.即△P′EF的周长的最小值为P1P2的长．(8分)连接OP1、OP′、OP2，由对称可知，∠P1OA＝∠P′OA，∠P2OB＝∠P′OB，OP1＝OP′＝OP2＝20，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝90°，∴P1P2＝eq\r(2)OP′＝20eq\r(2).∵对于eq\o(AB,\s\up8(︵))上任一点P，均有OP＝OP′，∴PE＋EF＋FP的最小值为20eq\r(2).(10分)由对称可知，∠E′P′O＝∠OP1P2＝45°，∠F′P′O＝∠OP2P1＝45°，∴∠E′P′F′＝90°.同理，当PE＋EF＋FP最短时，∠EPF＝90°.当PE＋EF＋FP最短，且△PEF为等腰三角形时，则PE＝PF，∴2PE＋eq\r(2)PE＝20eq\r(2)，∴PE＝20eq\r(2)－20，∴S△PEF＝eq\f(1,2)PE2＝600－400eq\r(2)(m2)．(12分)3.解：(1)eq\f(12,5)；【解法提示】如解图①，过点C作CD⊥AB于点D，根据点到直线的距离垂线段最小可知此时CD最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得AB＝5，∵eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12,5).第3题解图①(2)如解图②，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于点N，交BD于点M，连接CM，此时CM＋MN＝EN最小．第3题解图②∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，∵BC＝4，∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD＝5，∵CE⊥BD，∴eq\f(1,2)BD·CF＝eq\f(1,2)BC·CD，∴CF＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(12,5)，由对称性质得CE＝2CF＝eq\f(24,5)，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝eq\f(CF,BC)＝eq\f(3,5)，∴sin∠BCF＝eq\f(4,5)，在Rt△CEN中，EN＝CE·sin∠BCF＝eq\f(24,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(96,25)，即CM＋MN的最小值为eq\f(96,25)；(3)存在．如解图③，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，∴在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴BE＝1，且点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD＋S△ACG＝eq\f(1,2)AD·CD＋eq\f(1,2)AC·h＝eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×5h＝eq\f(5,2)h＋6，∴要四边形AGCD的面积最小，即h最小，∵点G在以点E为圆心，BE长为半径的圆上，且在矩形ABCD内部，∴当EG⊥AC时，h最小，由折叠性质知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于点H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(4,5)，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝eq\f(EH,AE)＝eq\f(4,5)，∴EH＝eq\f(4,5)AE＝eq\f(8,5)，∴h＝EH－EG＝eq\f(8,5)－1＝eq\f(3,5)，∴S四边形AGCD最小＝eq\f(5,2)h＋6＝eq\f(5,2)×eq\f(3,5)＋6＝eq\f(15,2)；过点F作FM⊥AC于点M，∵EH⊥FG，EH⊥AC，∴四边形FGHM是矩形，∴FM＝GH＝eq\f(3,5)，∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，∴△CMF∽△CBA，∴eq\f(CF,CA)＝eq\f(FM,AB)，即eq\f(CF,5)＝eq\f(\f(3,5),3)，∴CF＝1，∴BF＝BC－CF＝4－1＝3.第3题解图③4.解：(1)3；【解法提示】如解图①，过点O作OC⊥AB，连接OB，∵OB＝5，BC＝eq\f(1,2)AB＝4，∴在Rt△OBC中，由勾股定理得OC＝eq\r(OB2－BC2)＝3.第4题解图①(2)如解图②，作△ABC的外接圆⊙O，∵BC＝6，∠BAC＝60°，且点D在线段BC上，∴点A在劣弧eq\o(AA′,\s\up8(︵))上，∴当点D与点B或点D与点C重合时，AD长度最小，此时∠ABC＝∠A′CB＝90°，∴AD＝eq\f(BC,tan60°)＝2eq\r(3)，即AD的最小值为2eq\r(3)；第4题解图②(3)如解图③，∵PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，∴将△PAB绕点B逆时针旋转90°，PB与QB重合，得到△QCB，则QC＝PA＝4cm，∴当点P运动时，点Q的运动路径为以C为圆心、半径为4cm的⊙C，QC＝PA＝4cm，连接AC并延长交⊙C于点Q′，当Q与Q′重合时，AQ的长度最大，即为AQ′的长度，点Q′即为藏宝地．∵∠ABC＝∠PBQ＝90°，AB＝BC＝6cm，∴AC＝6eq\r(2)cm，∴AQ′＝AC＋CQ′＝(6eq\r(2)＋4)cm，∴藏宝地到点A的距离为(6eq\r(2)＋4)cm.第4题解图③5.解：(1)eq\r(10)；【解法提示】如解图①，根据题意，作△CBF，连接EF，∵正方形ABCD的边长为2，点E是AD边上的中点，∴∠DAB＝90°，AB＝AD＝2，DE＝AE＝eq\f(1,2)AD＝1，∵△CBF是由△CDE绕点C逆时针旋转90°得到的，∴BF＝DE＝1，且点A、B、F在一条直线上，∴AF＝3，∴在Rt△EAF中，由勾股定理得EF＝eq\r(AE2＋AF2)＝eq\r(10).第5题解图①(2)如解图②，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝eq\f(1,2)BC，第5题解图②∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，设OA＝OB＝OC＝r，则OE＝eq\f(1,2)r，BC＝2BE＝eq\r(3)r，∵AO＋OE≥AD，AD＝3，∴r＋eq\f(1,2)r≥3，解得r≥2，∴BC＝eq\r(3)r≥2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD≥eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3)，∴△ABC面积的最小值为3eq\r(3)；(3)存在．如解图③，分别延长AB、DC交于点M，则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，第5题解图③∵CB＝CD＝6m，∴BM＝6m，CM＝6eq\r(2)m，AD＝DM＝(6＋6eq\r(2))m，∴S四边形ABCD＝S△ADM－S△CBM＝eq\f(1,2)DM2－eq\f(1,2)CB2＝eq\f(1,2)×(6＋6eq\r(2))2－eq\f(1,2)×62＝(36＋36eq\r(2))m2.将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线．∴S四边形AECF＝S四边形ABCD－(S△CBE＋S△CDF)＝S四边形ABCD－S△CE′F，∵S四边形ABCD为定值，∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值．∵∠E′CF＝135°－90°＝45°，∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，设△CE′F的外接圆半径为rm，∴E′F＝eq\r(2)rm，又∵OC＋OD≥CD，∴r＋eq\f(\r(2),2)r≥6，∴r≥12－6eq\r(2)，∴当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F＝eq\r(2)r＝(12eq\r(2)－12)m，∴S△CE′F最小＝eq\f(1,2)×(12eq\r(2)－12)×6＝(36eq\r(2)－36)m2，∴S四边形AECF最大＝S四边形ABCD－S△CE′F最小＝36＋36eq\r(2)－(36eq\r(2)－36)＝72m2.6.解：(1)如解图①，作AB的垂直平分线交⊙O于点P、P′，则点P或P′即为所求；第6题解图①(2)存在．如解图②、③，在△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3eq\r(2)，A