2024-2025学年湖南省长沙市长沙铁路一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙铁路一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知实数x，y，则“x>y”是“(x−y)(x+y)2>0”的A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是(

)A.￢p是q的必要不充分条件 B.￢q是p的必要不充分条件

C.￢p是￢q的必要不充分条件 D.￢q是￢p的必要不充分条件3.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是(

)A.2枝玫瑰的价格高 B.3枝康乃馨的价格高

C.价格相同 D.不确定4.已知集合A={x|3x2−2x<5}，B={y|y>0}，则A∩B=A.(−1,0) B.(0 , 53) C.(−5.下列命题中：

①∀x∈R，x2−x+14≥0；

②∃x∈R，x2+2x+2<0；

③函数A.0 B.1 C.2 D.36.已知集合A={−1,1,2,3,5}，B={x∈N|1<x<log220}，则A∩B=A.{3} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{−1,1,5}7.函数f(x)=11−x(1−x)的最大值是(

)A.45 B.54 C.348.下列集合中，结果是空集的是(

)A.{x∈R|x2−1=0} B.{x|x>6或x<1}

C.{(x,y)|x2二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>1，b>0，且1a−1+4bA.a>2 B.ab−b的最小值为16

C.a+b的最小值为9 D.1a−2+10.已知条件p：x2+x−6=0；条件q：ax+1=0(a≠0).若p是q的必要条件，则实数a的值可以是(

)A.12 B.13 C.−111.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，且f(1)=−1，则(

)A.f(0)=1 B.f(x)为奇函数

C.f(1)+f(2)+…+f(2024)=0 D.[f(x)12.已知函数f(x)是偶函数，在区间[1,6]上单调，若f(−3)<f(−5)，则有(

)A.f(1)<f(3) B.f(−2)>f(4) C.f(−4)<f(3) D.f(−1)<f(2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3−3x+1，则f(3)=14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=______．

①f(−x)=f(x)；

②当x∈(0,+∞)时，f(x)>0；

③f(x115.已知集合A={1,3,5}，B=(2,+∞)，则A∩B=______．四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

设f(x)是定义在[a,b]上的函数，用分点T：a=x0<x1<…<xi−1<xi<…xn=b将区间[a,b]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M>0，使得和i=1n|f(xi)−f(xi−1)|≤M(i=1,2,…,n)恒成立，则称f(x)为[a,b]上的有界变差函数．

(1)函数f(x)=x2在[0,1]上是否为有界变差函数？请说明理由；

(2)设函数f(x)是[a,b]17.(本小题12分)

已知f(x)=x2−(a+1)x+a，a∈R，x∈R．

(1)当a=−2时，解关于x的不等式f(x)<0；

(2)若存在x∈[3,+∞)，使得f(x)=−1成立，求实数a18.(本小题12分)

已知函数f(x)=|x−1|+|x+2|．

(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2−ax+1的解集包含[−1,1]，求实数a19.(本小题12分)

设函数f(x)=2x2−xa1．

(1)当a=−4时，解不等式f(x)<5；

(2)若函数f(x)20.(本小题12分)

对于函数f(x)(x∈D)，若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不减函数”．

(1)求证：对任意正常数T，f(x)=x2都不是“T同比不减函数”；

(2)若函数f(x)=kx+sinx是“π2同比不减函数”，求k的取值范围；

(3)是否存在正常数T，使得函数f(x)=x+|x−1|−|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求21.(本小题12分)

已知a>0，b>0，a+b=1．

(1)若4a+1b≥|x+1|−|x−10|恒成立，求实数x的取值范围；

(2)参考答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B

7.D

8.D

9.AB

10.BC

11.ACD

12.AD

13.44

14.x2(答案不唯一15.{3,5}

16.解：(1)∵f(x)=x2在[0,1]上单调递增，

∴对任意划分T：0=x0<x1<…<xi−1<xi<…xn=1，f(xn)>f(xn−1)

i=1n|f(xi)−f(xi−1)|=f(x1)−f(x0)+…+f(xn)−f(xn−1)=f(xn)−f(x0)=f(1)−f(0)=1

取常数M≥1，则和式i=1n|f(xi)−f(xi−1)|≤M(i=1,2,3…n)恒成立

所以函数f(x)在[0,1]17.解：(1)当a=−2时，由f(x)=(x+2)(x−1)<0，解得−2<x<1，

所以不等式的解集为(−2,1)；

(2)f(x)=x2−(a+1)x+a=(x−a)(x−1)，

当a=1时，f(x)=(x−1)2≥0，不存在实数x∈[3,+∞)，使得f(x)=−1成立；

当a<1时，函数f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增，显然在x∈[3,+∞)上也单调递增，而f(1)=0，

所以当x∈[3,+∞)时，f(x)>0，故不存在x∈[3,+∞)，使得f(x)=−1成立；

当1<a≤3时，因为函数在x∈[a,+∞)上单调递增，所以在x∈[3,+∞)时也单调递增，

f(a)=0，所以此时f(x)=−1不成立；

当3≤a+12时，即a≥5时，要想f(x)=−1在x∈[3,+∞)有解，

只需f(a+12)≤−1，即(a+12)2−(a+1)22+a≤−1，解得a≥3或a≤−1，而a≥5，

因此a≥5，

当a+12<3<a时，即18.解：(Ⅰ)函数f(x)=|x−1|+|x+2|=−2x−1,x≤−24,−2<x<12x+1,x≥1；

当x≤−2时，不等式f(x)≤5为−2x−1≤5，解得x≥−3，即−3≤x≤−2；

当−2<x<1时，不等式f(x)≤5为4≤5恒成立，即−2<x<1；

当x>1时，不等式f(x)≤5为2x+1≤5，解得x≤2，即1≤x≤2；

综上知，不等式f(x)≤5的解集为{x|−3≤x≤2}；

(Ⅱ)不等式f(x)≥x2−ax+1的解集包含[−1,1]，

即x∈[−1,1]时，不等式4≥x2−ax+1恒成立；

即x∈[−1,1]时，不等式x2−ax−3≤0恒成立；

设g(x)=x2−ax−3，x∈[−1,1]，

则g(−1)≤019.解：(1)依题意得：f(x)=2x−a⋅2−x，当a=−4时，不等式化简为2x+42x<5，令2x=t，

整理得t2−5t+4<0，解得1<t<4，故0<x<2．

所以x∈(0,2)．

(2)由于函数f(x)=2x−a2x在区间[2,+∞)上是增函数，令2x=t∈[4,+∞)，由y=t知函数为单调递增函数，

所以y=t−20.解：(1)∵f(x)=x2，

∴f(x+T)−f(x)=(x+T)2−x2=2xT+T2=T(2x+T)，

由于2x+T与0的小无法比较，

∴f(x+T)≥f(x)不一定成立，

∴对任意正常数T，f(x)=x2都不是“T同比不减函数，

(2)∵函数f(x)=kx+sinx是“π2同比不减函数，

∴f(x+π2)−f(x)=k(x+π2)+sin(x+π221.(1)解：因为a>0，b>0，a+b=1．

所以4a+1b=(4a+1b)(a+b)=4+1+4ba+ab≥5+24ba⋅ab=9，

当且仅当4ba=ab时取等号，由a+b=14ba=aba>0,b>0，解得a=23，b=13．

因为4a+1b≥|x+1