2025届新高考数学复习系列模拟试卷新高考I卷专题9含解析

Page26数学试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2024·河南·高三信阳中学校联考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：D2．（2024春·四川成都·高三校联考期末）已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解.【详解】由得，，，所以，故选：A3．（2024春·四川成都·高三校联考期末）已知向量、满意，，且与夹角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面对量数量积的定义可求得，再利用平面对量数量积的运算性质可求得的值.【详解】由平面对量数量积的定义可得，所以，.故选：B.4．（2024·全国·模拟预料）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正四棱锥的底面边长为am，连接AC，BD交于点O，连接PO，易得平面ABCD，，再依据高为4.87m求解.【详解】解：如图所示：设正四棱锥的底面边长为am，连接AC，BD交于点O，连接PO，则平面ABCD，由题可得，故，所以，解得，所以该正四棱锥的体积.故选：D.5．（2024·内蒙古·校联考模拟预料）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求用5种颜色随意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最终依据古典概型求概率即可.【详解】若按要求用5种颜色随意涂色：先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择.则共有种方法.若恰只用其中4种颜色涂色：先在5种颜色中任选4种颜色，有种选择.先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择，为恰好用完4种颜色，则右块只有1种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择.则共有种方法，故恰用4种颜色的概率是.故选：C.6．（2024春·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）已知函数，其图象的两相邻对称中心间的距离为4，若，则（

）A．B．图象的对称轴方程为C．在上单调递减D．不等式的解集为【答案】D【分析】由题，结合三角函数的性质待定系数得，再依次探讨各选项即可得答案.【详解】解：因为函数，其图象的两相邻对称中心间的距离为4，所以的最小正周期，即，解得，所以，由，得，又，所以，即，则A错误；由，得，所以的对称轴方程为，则B错误；令，得，所以的单调递减区间为，不是的子集，则C错误；由，得，所以，解得，所以，不等式的解集为，故D正确．故选：D．7．（2024春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数对函数求导利用导函数的单调性比较值的大小.【详解】设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以，所以，在上恒成立，所以，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在单调递增，所以，所以，在上恒成立，所以，从而有，故选：C.8．（2024·湖北武汉·统考模拟预料）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满意，则点P的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立直角坐标系，依据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案.【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，，则，，设，，则，整理得到，故轨迹是以为圆心，半径的圆，转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依旧满意，故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球，同时在球上，故在两球的交线上，为圆.球心距为，为直角三角形，对应圆的半径为，周长为.故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2024·辽宁·校联考模拟预料）在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】BCD【分析】以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立空间直角坐标系，依据线与面的平行与垂直的向量求法对选项一一验证即可.【详解】以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，，，，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，则平面，故A正确；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不平行，故B错误；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不垂直，故C错误；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不垂直，故D错误；故选：BCD.10．（2024秋·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数，则（

）A．定义域为 B．值域为C．在的切线方程为 D．与只有一个交点【答案】AC【分析】对A、B：依据指数函数的定义域和值域分析推断；对C：依据导数的几何意义分析运算；对D：构建，求导，利用导数推断的零点个数，进而可以推断与的交点个数.【详解】对A：定义域为，A正确；对B：∵，则，即值域为，B错误；对C：∵，则，可得，即切点坐标为，切线斜率为，故切线方程为，C正确；对D：构建，则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，则，且，故在内均存在零点，即与有两个交点，D错误.故选：AC.11．（2024·山东·烟台二中校考模拟预料）已知函数的定义域均为，且满意，，，则（

）A． B．C．的图象关于点对称 D．【答案】ABD【分析】由得出的图象关于点对称，即；由和得出，推断选项A正确；由函数的图象关于点对称，推断选项B正确；由和得出的图象关于点中心对称，C错误；记，则数列和均为等差数列，利用等差数列的求和公式计算可得D正确．【详解】因为，所以的图象关于点对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，A正确；因为定义域为的函数的图象关于点对称，所以，B正确；由，得，即，．因为，所以，又因为，相减得，所以的图象关于点中心对称，C错误；因为函数的定义域为，所以，所以．记，结合A、C分析知：数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列，故，，所以，D正确；故选：ABD．12．（2024·江苏连云港·统考模拟预料）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（

）A．若直线l经过焦点F，且，则B．若，则直线l的倾斜角为C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种状况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，则，所以，解得：，A错误；B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，代入中，得到，即，因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，B正确；C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，则，由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，C正确；D选项，当直线l不经过焦点时，设，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2024秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）的绽开式中的系数为________（用数字作答）．【答案】【分析】依据二项式定理绽开求解即可.【详解】解：依据题意得的绽开式中的系数为，的系数为，所以，的绽开式中的系数为.故答案为：14．（2024·河南·校联考模拟预料）圆与x轴相切于点A．点B在圆C上运动，则AB的中点M的轨迹方程为______（当点B运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线上一点，则的最小值为______．【答案】

【分析】将点M的轨迹转化为以AC为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解.【详解】依题意得，，因为M为AB中点，所以，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又AC中点为，，所以点M的轨迹方程为，圆心，设关于直线的对称点为，则有，解得，所以，所以由对称性可知的最小值为．故答案为：，15．（2024春·安徽亳州·高三蒙城第一中学统考开学考试）若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为__________．【答案】【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解，求导后列出方程求解即可.【详解】由，则，设切点为，切线斜率为，所以，切线为，即，由，则，设切点为，切线斜率为，所以，切线为，即，依据题设，若它们切线为公切线，则有，即，又，即且，即，由上关系式并消去并整理得在上有解，令，则，当，则，即，此时递增；当，则或，即或，此时递减；又，，所以，即.故答案为：.【点睛】关键点点睛：设切点并写出两曲线对应的切线方程，依据公切线列方程组，留意切点横坐标及参数a范围，进而转化为方程在某区内有解问题.16．（2024秋·山东潍坊·高三统考期末）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与的两条渐近线分别交于点，.若线段的中点为，，则的离心率______.【答案】【分析】依据题意可得出直线方程，与渐近线方程联立解得交点，的坐标，再依据中点坐标公式求出，由直线斜率为2以及利用余弦定理解得，再利用两点间距离公式可得关于的方程，解得即可求得离心率.【详解】由题意可知，双曲线的两条渐近线方程为过点且斜率为2的直线方程为，不妨设直线与渐近线交于点，与渐近线交于点，如下图所示：联立可得，同理得，所以的中点为设过点且斜率为2的直线的倾斜角为，即，可得所以，由余弦定理可得即，整理可得，即，解得或（舍）所以双曲线离心率为.故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题离心率问题时，关键是联立直线与渐近线方程解得交点，的坐标得出中点的坐标，再利用斜率以及由余弦定理找出等量关系，建立关于的方程，即可求得离心率.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2024·四川·校联考一模）已知等差数列与正项等比数列满意．(1)求数列和的通项公式；(2)记数列的前20项的和为，数列的前n项和为，求满意的n的最小值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依据等差数列与等比数列的基本计算得对应的公差与公比分别为，再求通项公式即可；（2）结合等差数列与等比数列求和公式得，再解不等式即可得答案.【详解】（1）解：设等差数列与正项等比数列公差，公比分别为，因为，所以，解得，所以，数列的通项公式为数列的通项公式为.（2）解：由（1）得，，所以，即为，即为，因为单调递增，所以，满意的正整数最小值为18．（2024·河南平顶山·校联考模拟预料）如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．(1)当时，求OP的长；(2)当面积最大时，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.【详解】（1）由题意，在中，，，，∴为等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，取的中点，连接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：（2）由题意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，当且仅当时，等号成立，又，∴当且仅当时，的面积最大，此时，∴．19．（2024·山东日照·统考一模）如图，已知圆锥，AB是底面圆О的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，.设二面角与二面角的大小分别为与.(1)求的值；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出，从而求得的值.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值．【详解】（1）连结．因为点为圆锥的顶点，所以平面．分别取，的中点，，连接，，，，则在圆中，．由平面，得．又，故平面，所以．所以．同理，．于是．（2）因为，即所以即．在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．则，，．又因为平面，所以轴，从而．则，，．设平面的法向量为，则，即，不妨取，则，，此时．设平面的法向量为，则，即不妨取，则，，此时．所以．又二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．【点睛】方法点睛：几何法求解二面角，要依据二面角的定义来求解；向量法求解二面角，关键是求得二面角的两个半平面的法向量，并且要留意二面角是锐角还是钝角.20．（2024·全国·模拟预料）某省级综合医院共有1000名医护员工参与防疫学问和技能竞赛，其中男性450人，为了解该医院医护员工在防疫学问和技能竞赛中的状况，现按性别采纳分层抽样的方法从中抽取100名医护员工的成果（单位：分）作为样本进行统计，成果均分布在400~700分之间，依据统计结果绘制的医护员工成果的频率分布直方图如图所示，将成果不低于600分的医护员工称为优秀防疫员工(1)求a的值，并估计该医院医护员工成果的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若样本中优秀防疫员工有女性10人，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为该医院医护员工的性别与是否为优秀防疫员工有关联？优秀防疫员工非优秀防疫员工合计男女合计(3)采纳分层抽样的方法从样本中成果在，的医护员工中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名医护员工中优秀防疫员工的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)，，550(2)列联表见解析，认为性别与是否为优秀防疫员工无关联(3)分布列见解析，【分析】（1）首先依据频率和为1求出值，再求出成果平均数，再依据中位数概念求出中位数即可；（2）进行零假设，补全2×2列联表，计算计算的值并与临界值比较即可得到结论；（3）求出分层抽样的各层人数，计算概率得到分布列，则得到其期望.【详解】（1）第一步：依据频率之和为1求a的值由题意知，解得.其次步：依据平均数与中位数的定义求解，估计该医院医护员工成果的平均数，.因为，所以估计中位数为550.（2）第一步：写出零假设零假设为：性别与是否为优秀防疫员工独立，即性别与是否为优秀防疫员工无关联.其次步：补全2×2列联表由题可知，样本中男性有人，女性有人，优秀防疫员工有（人），其中女性10人，得出以下2×2列联表：优秀防疫员工非优秀防疫员工合计男153045女104555合计2575100第三步：计算的值并与临界值比较依据列联表中的数据，得到，第四步：得出结论所以依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，故认为性别与是否为优秀防疫员工无关联.（3）第一步：利用分层抽样的学问求抽取的8人中成果在与中的人数由题意及频率分布直方图可得，从成果在的医护员工中抽取3人，从成果在的医护员工中抽取5人，其次步：写出随机变量X的全部可能取值所以X的全部可能取值为0，1，2，3.第三步：分别求出X取每个值的概率，得分布列，，，，所以随机变量X的分布列为P0123X第四步：计算数学期望.21．（2024春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的标准方程.(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由两点距离公式列方程，化简整理可得标准方程；（2）分别探讨直线l的斜率k存在与否.其中斜率存在时，设出直线方程，由，则可由韦达定理表示并化简得方程，最终结合弦长公式化简结合基本不等式即得.【详解】（1）由题意得，，两边平方化简得，即可整理得曲线C的标准方