2025版新教材高中数学同步练习28指数函数的概念新人教A版必修第一册

同步练习28指数函数的概念必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．下列函数是指数函数的是()A．y＝x4B．y＝3·2xC．y＝πxD．y＝(－4)x2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A．a>0且a≠1B．a≥0且a≠1C．a>eq\f(1,2)且a≠1D．a≥eq\f(1,2)3．[2024·河南周口期中]若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m＝()A．－1或2B．－1C．2D．eq\f(1,2)4．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x2，则f(2)＋f(－1)＝()A．11B．5C．－8D．－55．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0，,2－x，x<0))(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．26．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A．600元B．50%C．eq\r(3,2)－1D．eq\r(3,2)＋17．[2024·重庆沙坪坝高一期末]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7－x，x≤0,ax，x>0))(a>0，且a≠1)，若f(2)＝f(－2)，则实数a＝()A．2B．3C．eq\r(5)D．48．[2024·山西晋城高一期中]若函数f(5x－1)＝4x－2，则f(24)＝()A．20B．16C．14D．29．(多选)若函数f(x)＝(eq\f(1,2)a－3)·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是()A．a＝8B．f(0)＝－3C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eq\r(2)D．a＝4二、填空题(每小题5分，共15分)10．[2024·湖南永州高一期末]已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则a＝________．11．已知指数函数f(x)的图象经过点(eq\f(1,2)，2)，则f(2)＝________________．12．[2024·四川绵阳高一期末]设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，（x≥0），,－2x，（x<0），))则f(f(－1))＝________．三、解答题(共20分)13．(10分)已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．(1)求f(x)的表达式；(2)推断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．14．(10分)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x.(1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式；(2)假如存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．关键实力提升练15．(5分)[2024·广西桂林高一期中](多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则下列等式中正确的是()A．f(x＋y)＝f(x)f(y)B．f(x－y)＝eq\f(f（x）,f（y）)C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋)[答题区]题号12345678915答案16.(5分)[2024·北京石景山高一期末]设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x，x≤a,2x，x>a))，若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为________．(只需写出满意题意的一个数值即可)17．(10分)已知函数f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1)(a＞0，且a≠1).(1)若f(2)＝eq\f(3,5)，求f(x)解析式；(2)探讨f(x)奇偶性．同步练习28指数函数的概念必备学问基础练1．答案：C解析：对于A，y＝x4是幂函数，对于B，y＝3×2x系数不为1，不是指数函数，对于C，y＝πx是底数为π的指数函数，对于D，y＝(－4)x底数不满意大于0且不为1，故不是指数函数．故选C.2．答案：C解析：由于函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，解得a>eq\f(1,2)且a≠1.故选C.3．答案：C解析：由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1,m>0,m≠1))，解得m＝2.故选C.4．答案：B解析：奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x＋x2，所以f(2)＋f(－1)＝f(2)－f(1)＝22＋22－(21＋12)＝5.故选B.5．答案：A解析：由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝4a＝1，解得a＝eq\f(1,4).故选A.6．答案：C解析：设6年间平均增长率为x，则有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝eq\r(3,2)－1.故选C.7．答案：B解析：因为f(2)＝a2，f(－2)＝9，所以a2＝9，因为a>0，所以a＝3.故选B.8．答案：C解析：令5x－1＝24，得x＝2，∴f(24)＝f(52－1)＝42－2＝14.故选C.9．答案：AC解析：因为函数f(x)是指数函数，所以eq\f(1,2)a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝8eq\f(1,2)＝2eq\r(2)，故B，D错误，A，C正确．故选AC.10．答案：2解析：因为函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，f(2)＝4，所以a2＝4，解得a＝2.11．答案：16解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，得aeq\f(1,2)＝2，解得a＝4，所以f(x)＝4x，所以f(2)＝42＝16.12．答案：4解析：∵f(－1)＝(－1)(－2)＝2，则f(f(－1))＝f(2)＝22＝4.13．解析：(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.(2)F(x)为奇函数，证明如下：F(x)＝2x－2－x，∴F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)，且定义域为R，∴F(x)是奇函数．14．解析：(1)依据题意可得y＝a(1＋r)x.(2)由(1)可知，当x＝5时，y＝1000(1＋2.25%)5＝1000×1.02255≈1117.68，∴5期后的本利和约为1117.68元．关键实力提升练15．答案：ABC解析：f(x＋y)＝ax＋y，f(x)＝ax，f(y)＝ay，因为ax·ay＝ax＋y，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)，A正确；f(x－y)＝ax－y，且ay>0恒成立，故ax÷ay＝ax－y，故f(x－y)＝eq\f(f（x）,f（y）)，B正确；f(nx)＝anx，(n∈Q)，[f(x)]n＝(ax)n＝anx，(n∈Q)，故f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)，C正确；[f(xy)]n＝(axy)n＝axyn(n∈N＋)，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝axn·ayn＝axn＋yn(n∈N＋)，故[f(xy)]n≠[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋)，D错误．故选ABC.16．答案：0(答案不唯一，满意a∈(－∞，1)即可)解析：若a<0，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若0≤a<1，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若a≥1，则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).17