新教材适用2025版高考数学一轮总复习练案58第十章计数原理概率随机变量及其分布第一讲排列与组合

练案[58]其次讲排列与组合A组基础巩固一、单选题1．(2024·山东)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆支配1名，乙场馆支配2名，丙场馆支配3名，则不同的支配方法共有(C)A．120种 B．90种C．60种 D．30种[解析]甲场馆支配1名有Ceq\o\al(1,6)种方法，乙场馆支配2名有Ceq\o\al(2,5)种方法，剩余3名去丙场馆，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)＝60种支配方法．2．(2024·黑龙江哈尔滨质检)小张接到5项工作，要在下周一、周二、周三、周四这4天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的支配方式有(A)A．180种 B．480种C．90种 D．120种[解析]由题意可知不同的支配方式有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180种．故选A.3．(2024·广东联考)一生产过程有4道工序，每道工序须要支配一人操作，现从甲、乙、丙等5名工人中支配4人分别操作一道工序，甲无法操作第一道工序，乙只能操作第四道工序，则不同的支配方案共有(B)A．24种 B．36种C．48种 D．72种[解析]第一道工序有Ceq\o\al(1,3)种支配方法，其次、三道工序有3×2＝6种支配方法，第四道工序有2种支配方法，故共有3×6×2＝36种支配方法，选B.4．(2024·湖南永州模拟)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术竞赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成果，回答者对甲说：“很缺憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名状况种数为(C)A．18 B．36C．54 D．64[解析]若甲是最终一名，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种状况；若甲不是最终一名，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝36种状况，所以共有18＋36＝54种可能的排名状况，故选C.5．(2024·广东新课改大联考、江苏百校联考)某班级8位同学分成A，B，C三组参与暑假研学，且这三组分别由3人、3人、2人组成．若甲、乙两位同学肯定要分在同一组，则不同的分组种数为(A)A．140 B．160C．80 D．100[解析]甲、乙两位同学在A组或B组的状况有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(3,5)×2＝120种，甲、乙两位同学在C组的状况有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝20种，共计140种．6．(2024·西南四省名校联考)一个6位数的密码，第1位的数字为8，其余5个位置，每个数字都小于3，并且5个数字之和小于等于3，则满意条件的密码个数为(C)A．49 B．50C．51 D．52[解析]其余5个数在0,1,2三个数中任取一个，要5个数字和小于等于3，则有以下状况：五个0；四个0，一个1或2；三个0，两个1或一个1一个2；两个0，三个1.总数为1＋2Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)＝51.故选C.7．(2024·湖北九师联盟联考)高三(2)班某天支配6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有(C)A．42种 B．96种C．120种 D．144种[解析]将语文、数学绑定，第一步排物理、生物有Ceq\o\al(2,5)＝10种方案，其次步排其余3个元素有Aeq\o\al(3,3)＝6种方案，第三步排语文、数学有Aeq\o\al(2,2)＝2种方案，所以编排方案有10×6×2＝120种，故选C.8．(2024·广西桂林、崇左模拟)支配3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有(B)A．240种 B．150种C．125种 D．120种[解析]把5项工作分成三组，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,2)＝10＋15＝25种方法，再把工作安排给三个志愿者有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法，由分步乘法计数原理得共有25×6＝150种方法．故选B.9．(2024·河南十所名校联考)6名高校生响应国家号召，到西部边远地区A，B，C三个学校支教，每个学校2人，依据学校须要及所学的专业，甲不能到A学校，乙、丙所学专业相同，不能支配到同一学校，则不同的支配方案有(C)A．24种 B．36种C．48种 D．72种[解析]先将6名同学分成三组有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝12种分法，三组高校生分到三所学校有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4种分法，故所求的不同分法有12×4＝48种．选C.10．(2024·黑龙江佳木斯一中模拟)佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名老师组成志愿服务小组，安排到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务．由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少安排1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的安排方法种数为(A)A．240 B．180C．690 D．150[解析]第一种状况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝120种，其次种状况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90种，第三种状况，当中门有4人时，其他两个门分别1人，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(2,2)＝30种，所以不同的安排方法种数是120＋90＋30＝240.故选A.二、多选题11．(原创)中华文化源远流长，博大精深．在2024年春晚中，出现了戏曲、武术、旗袍展示、刺绣、杂技等六种传统文化．下列说法正确的是(ACD)A．若戏曲排第一，则有Aeq\o\al(5,5)种演出依次B．若戏曲不排第一，旗袍展示不排最终，则有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)种演出依次C．若武术与杂技不连排，则有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)种演出依次D．若武术与杂技连排，且武术不排第一，则有(2Ceq\o\al(1,4)＋1)Aeq\o\al(4,4)种演出依次[解析]A明显正确；对于B：若旗袍展示排第一，有Aeq\o\al(5,5)种演出依次；若旗袍展示不排第一，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)种演出依次，所以戏曲不排第一，旗袍展示不排最终，则有Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)(或Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4))种演出依次，B错；对于C：先排其余四种节目有Aeq\o\al(4,4)种排法，再用武术、杂技插空，有Aeq\o\al(2,5)种，故有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)种演出依次，C正确；对于D：杂技排第一有Aeq\o\al(4,4)种演出依次，杂技不排第一有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)种排法，故共有(2Ceq\o\al(1,4)＋1)Aeq\o\al(4,4)种演出依次，D正确．12．(2024·广东新高考适应性测试)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位支配利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(CD)A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最终一周，共有504种排法[解析]6门中选3门共有Ceq\o\al(3,6)＝20种，A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480种排法，B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144种排法，C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最终一周，共有Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504种排法，D正确，故选CD.13．(2024·辽宁模拟)某中学为提升学生劳动意识和社会实践实力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必需参与并不占名额，每个班都必需有人参与，则下列说法正确的是(BD)A．若1班不再安排名额，则共有Ceq\o\al(4,20)种安排方法B．若1班有除劳动模范之外学生参与，则共有Ceq\o\al(5,19)种安排方法C．若每个班至少3人参与，则共有90种安排方法D．若每个班至少3人参与，则共有126种安排方法[解析]对于A，若1班不再安排名额，则20个名额安排到5个班级，每个班级至少1个，依据插空法，有Ceq\o\al(4,19)种安排方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外学生参与，则20个名额安排到6个班级，每个班级至少1个，依据插空法，有Ceq\o\al(5,19)种安排方法，故B正确；对于C、D，若每个班至少3人参与，相当于16个名额被占用，还有4个名额须要分到6个班级，分5类：①4个名额到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有Aeq\o\al(2,6)＝30种；③两个班都是2个名额，有Ceq\o\al(2,6)＝15种；④两个班1个名额，一个班2个名额，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)＝60；⑤四个班都是1个名额，有Ceq\o\al(4,6)＝15种，则共有126种，故C错误，D正确．故选BD.三、填空题14．(2024·河南五市联考)用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必需是奇数的数有_108__个．[解析]第一步支配个位和百位上数字有Aeq\o\al(2,3)＝6种方案，其次步支配万位上数字有Aeq\o\al(1,3)＝3种方案，第三步支配十位，千位上数字有Aeq\o\al(2,3)＝6种方案，所以符合题意的数有6×3×6＝108个．15．(2024·山西长治联考)支配A，B，C，D，E，F共6名义工照看甲，乙，丙三位老人，每两位义工照看一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A担心排照看老人甲，义工B担心排照看老人乙，则支配方法共有_42__种(请用数字作答)．[解析]义工A照看老人乙，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＝24种，义工A不照看老人乙，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＝18种，∴共有24＋18＝42种支配方法．B组实力提升1．(2024·贵州遵义新高考协作体质检)现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必需相邻的站法有(B)A．72种 B．144种C．288种 D．576种[解析]老师排两端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝72种排法，老师不排两端有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝72种排法．故共有72＋72＝144种排法．选B.2．(2024·江西重点中学联考)某校有5名高校生准备前往观看冰球、速滑、花滑三场竞赛，每场竞赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球竞赛的方案种数有(C)A．48 B．54C．60 D．72[解析]将5名高校生分为三组，第一组1个人，其次组2个人，第三组2个人，共有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15种方法；由于甲不去看冰球竞赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组随意选，所以有2Aeq\o\al(2,2)＝4种方法；依据分步乘法计数原理，共有4×15＝60种方法．故选C.3．(2024·安徽卓越县中联盟联考)如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天试验舱和梦天试验舱三个部分．假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展试验，其中天和核心舱支配4人，问天试验舱与梦天试验舱各支配1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的支配方案种数为(B)A．14 B．18C．30 D．36[解析]2名女航天员在问天试验舱与梦天试验舱有Aeq\o\al(2,2)＝2种方案，有1名女航天员在天和核心舱有Ceq\o\al(1,2)Ceq