《电路与电子技术》课件第4章

第4章正弦交流电的基本概念4.1引言4.2正弦交流电的三要素4.3正弦量的相量表示法4.4正弦交流电路中的元件习题4

电路中的电量有周期性变化和非周期性变化两类。我们把波形的大小和方向随时间作正弦周期性变化的电量称为正弦交流电，如图4.1所示。

正弦交流电的数学表达式为

i＝Imsin(ωt＋

) (4.1)

式中，i表示正弦交流电的瞬时值；ω表示正弦交流电变化的快慢，称为角速度；Im表示正弦交流电的最大值，称为幅值；

表示正弦交流电的起始位置，称为初相位。4.1引言

图4.1正弦交流电

正弦交流电比恒定直流电更容易产生、传输和分配，使用正弦交流电的电机、电器等用电设备可获得较好的性能，并且正弦交流电的信号经过各种数学运算(如四则运算、微积分)后仍是正弦函数，这些特性使得正弦交流电成为最基本、最重要的电量形式，其应用非常广泛。正弦交流电也可简称交流电。

本章将讨论正弦交流电的基本概念、表示方法和组成交流电路的基本元件(电阻、电感和电容)。

正弦交流电的特性可用变化的快慢、相位和大小来表示。这三个量是确定正弦交流电的三要素。

4.2.1变化的快慢

正弦交流电变化的快慢可用三种方式表示。

1.周期T

交流电量往复变化一周所需的时间叫一个周期，用字母T表示，单位是秒(s)，如图4.1所示。4.2正弦交流电的三要素

2.频率f

每秒内波形重复变化的次数称为频率，用字母f表示，单位是赫兹(Hz)。频率和周期互为倒数，即

(4.2)

我国电网所供给的交流电频率是50Hz，周期为0.02s。

3.角频率ω

交流电量角度的变化率称为角频率，用字母ω表示，单位是弧度/秒(rad／s)，即

(4.3)

上式表明，周期T、频率ｆ和角频率ω三者之间可以互相换算。它们都从不同角度表示了正弦交流电的同一物理实质，即变化的快慢。

4.2.2相位

1.相位和初相位

正弦电量的表达式中，ωt＋

叫做交流电的相位。t＝0时，ωt＋

＝

称为初相位，它是确定交流电量初始状态的物理量。在波形上，

表示在计时前交流电量由正的最大值到t＝0的计时起点之间所对应的最小电角度，如图4.1所示。不知道

就无法画出交流电量的波形图，也写不出完整的表达式。

2.相位差

相位差是指两个同频率的正弦电量在相位上的差值。由于我们讨论的是同频正弦交流电，因而相位差实际上等于两个正弦电量的初相之差。例如：

u＝Umsin(ωt＋

1)

i＝Imsin(ωt＋

2)

则相位差

Δ

＝(ωt＋

1)－(ωt＋

2)＝

1－

2

(4.4)当

1>

2时，u比i先达到正的最大值或先达到零值，此时它们的相位关系是u超前于i(或i滞后于u)。

当

1<

2时，u滞后于i(或i超前于u)。

当

1＝

2时，u与i同相。

当时，称u与i正交；而Δ

＝±π时，称u与i反相。

以上五种情况分别如图4.2中(a)、(b)、(c)、(d)和(e)所示。

图4.2正弦量的相位关系(a)u超前；(b)u滞后；(c)同相；(d)正交；(e)反相4.2.3交流电的大小

交流电的大小有三种表示方式。

1.瞬时值

瞬时值指任一时刻交流电量值的大小，如i、u和e，用小写字母表示，它们都是时间的函数。

2.最大值

最大值指交流电量在一个周期中最大的瞬时值，它是交流电波形的振幅，如Im、Um和Em，通常用大写字母并加注下标m表示。

3.有效值

引入有效值的概念是为了研究交流电量在一个周期中的平均效果。它的定义是：让正弦交流电和直流电分别通过两个阻值相等的电阻，如果在相同时间T内(T可取为正弦交流电的周期)两个电阻消耗的能量相等，则我们把该直流电称为交流电的有效值，如图4.3所示。

图4.3有效值的概念(a)交流；(b)直流当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电能为

W—＝I2RT (4.5)

当正弦电流i流过电阻R时，在相同时间T内电阻消耗的电能为

(4.6)

根据有效值的定义

W—＝W—

则有

(4.7)

此式叫均方根值，即有效值的定义式。设i＝Imsin(ωt＋

)，并带入上式得到

(4.8)

同理有

(4.9)

(4.10)

即正弦量的最大值等于有效值的倍。有效值是一个非常重要的概念，所有用电设备铭牌上标注的都是有效值。正弦电量不但可以用三角函数表示，也可以用波形图和矢量图表示。在分析电路的正弦稳态响应时，经常需要对正弦电量进行代数运算和微分、积分运算，但如果利用这三种正弦电量表示法，计算就显得十分复杂。现在我们寻找一种表示正弦电量的最简单有效的办法——相量法。

4.3正弦电量的相量表示法由于复数可用来表示矢量，矢量可用来表示正弦量，因而复数也就可以表示正弦量。为了与一般的复数及表示空间矢量的复数相区别，我们把表示正弦时间函数的复数叫做相量，并用在大写字母上方加点表示。

设正弦电量是i＝Imsin(ωt＋

)，现在讨论复数指数函数Imej(ωt＋

)的展开式：

Imej(ωt＋

)＝Im[cos(ωt＋

)＋jImsin(ωt＋

)]

=Im[cos(ωt＋

)+jImsin(ωt＋

)上式的虚部恰好就是正弦电流的表达式，即

i＝Im[Imej(ωt＋

)]＝Imsin(ωt＋

) (4.11)

因为正弦电量是由振幅、频率和相位这三要素决定的，在频率相同的正弦电量激励下，电路中的各个电量都具有相同的频率，所以确定一个正弦电量就只需振幅和相位两个要素，则

i＝Im[Imej(ωt＋

)]＝Im[Imejjejwt]＝Im[İmejωt] (4.12)

式中

İm＝Imej

(4.13)

İm叫做电流的最大值相量，它由振幅和初相位确定；ej

叫旋转因子，它是模为1、辐角为ωt且随时间不断旋转的单位相量。

相量也可以画在复平面上，用有向线段表示，叫相量图，如图4.4所示。图4.4相量图利用相量图，常可使相量之间的关系更加清楚。

同理，电压相量的最大值表示为

(4.14)

电流和电压的有效值相量表示为

(4.15)

(4.16)

利用相量法计算正弦电量十分方便，三角函数的各种运算变成了相应的复数运算，而复数运算的过程相对简单（有关复数及运算的内容详见附录）。但需说明三点：一是用相量表示正弦电量，并不是说相量就等于正弦电量，两者不能直接相等；二是相量与物理学中的向量是两个不同的概念，相量是用来表示时间域的正弦电量，而向量是表示空间内具有大小和方向的物理量，如力、电场强度等；三是相量法只适用于同频率正弦量，不同频率的正弦量以及非正弦量都不适用。

例4.1

已知i1=5sin(ωt+36.9°）A，i2=10sin(ωt-53.1°)A，求交流电i1和i2之和。

解首先用相量表示正弦量i1和i2:故i=i1+i2=11.18sin(ωt-26.6°)A

【例4.2】

已知

试画出它们的相量图，求出u＝u1＋u2及其有效值。

解

u1和u2的有效值相量为

故

的相量图如图4.5所示。图4.5例4.2相量图

4.4.1电阻元件

对线性电阻，在正弦交流电的激励下，其伏安关系在任一瞬间都服从欧姆定律，故有

(4.17)

其参考正方向如图4.6(a)所示。4.4正弦交流电路中的元件

图4.6电阻元件(a)电路；(b)波形；(c)相量图；(d)模型电路设 i＝Imsin(ωt＋

)

则u＝Ri＝RImsin(ωt＋

)＝Umsin(ωt＋

)

其中

(4.18)

有效值

(4.19)

上式表明电阻的电压和电流是两个同频率、同相位的正弦量，如图4.6(b)所示。

将电流、电压分别用相量式表示：

(4.20)

则 (4.21)

式(4.21)即为欧姆定律的相量式。电阻元件的相量图和电路模型分别如图4.6(c)和(d)所示。

4.4.2电感元件

设一电感元件，其电压、电流和电感电势采用关联参考方向，如图4.7(a)所示。图4.7电感元件(a)电路；(b)XL的频率特性；(c)相位关系；(d)相量关系；(e)电路模型设通过电感的电流为

i＝Imsin(ωt＋

i)

则

(4.22)

式中：ULm＝ωLIm或UL＝ωLI。定义XL＝ωL＝2πfL，称XL为感抗，则

(4.23)感抗XL所呈现的物理意义是：对于一定的电感L，当频率增高时，其所呈现的感抗增大；反之亦然，如图4.7(b)所示。

又有

(4.24)

由式(4.22)可知电感上的电压和电流同频，如图4.7(c)所示。由式(4.24)可知电感上电压的相位超前电流90°，如图4.7(d)所示。

由于

(4.25)

因而

(4.26)式(4.26)为欧姆定律的相量式，它不但表示了电感电压和电流的大小关系，同时也表示了两者之间的相位关系。电感元件的相量图和电路模型分别如图4.7(d)、(e)所示。

4.4.3电容元件

若一电容元件上的电压和电流采用关联参考方向，如图4.8(a)所示。设电容电压为

u(t)＝Umsin(ωt＋

u)则电容电流为

(4.27)

上式中

UmωC＝Im

或

(4.28)

XC称为电容的容抗。它的物理意义是：当电容C一定时，频率越高，电容对交流电流所呈现的阻碍作用越小，即容抗越小。当f＝0时，XC→∞，电容相当于开路。XC的频率特性如图4.8(b)所示。

又有

(4.29)

上式表明电容上的电压、电流同频，但电容上电流相位超前电压相位90°，如图4.8(c)所示。

图4.8电容元件(a)电路；(b)XC的频率特性；(c)相位关系；(d)相量关系；(e)电路模型若电容上的电压和电流用相量表示：

则有

(4.30)

式(4.30)为欧姆定律的相量式，它同时表示了电容上电压和电流的大小及相位关系。电容元件的相量图和电路模型分别如图4.8(d)和(e)所示。

1.电压U＝300sin(100t＋π/4)V，指出其振幅、角频率和初相。计算频率f和周期T，画出