北京市第四中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)数学试卷班级姓名成绩学号考生须知1.本试卷共8页，共28道小题，满分100分。考试时间120分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。3.答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下面四个标志中是中心对称图形的是().2.方程x²A.x=0B.x=2C.x=0或x=2D.x=0或x=-23.若A(-3,y₁),B(-2,y₂),C(3,y₃)为二次函数.y=xA.y₁<y₂<y₃4.二次函数y=(x-5)(x+7)的图象的对称轴是().A.直线x=-1B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=65.如图,AB为⊙O直径,点C、D在⊙O上,如果∠ABC=70°,那么∠D的度数为().A.20°B.30°C.35°D.70°6.2024年北京第一季度GDP约为1.058万亿元,第三季度GDP约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP增长率为x，则可列关于x的方程为().A.1C.1.05817.如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B、D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若切线长PC=2，则表盘的半径长为().A.3B.3C.23第1页(共8页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)8.某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的篱笆(不包括门)总长为12m，现有四种方案(如图)中面积最大的方案为().A方案为一个封闭的矩形B方案为一个等边三角形，并留一处1m宽的门C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m宽的门二、填空题(共16分，每题2分)9.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=3x²10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点,∠A=50°,则∠DCE的度数为.11.抛物线y=x²12.如图,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,点C为AB上一点,过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于M、N两点，若△PMN的周长为10，则切线长PA等于.13.已知2a²-3a+第2页(共8页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)14.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是cm.15.二次函数y=ax²+bx+ca≠016.如图,在直角三角形ABC中,∠A=90°,D是AC上一点,BD=10,AB=CD,则BC的最大值为.三、解答题(共68分,第17题8分,第18、21、25题每题4分,第19、23、24题每题5分,第20、26题6分,第22、27、28题每题7分)17.解下列方程：1318.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-3,1),C(-1,4).将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△(1)请在图中画出△A₁BC₁;(2)线段BC旋转过程中所扫过的面积是(结果保留π).第3页(共8页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)19.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE,连接CD,BE.(1)求证:△AEB≌△ADC;(2)连接DE,若∠ADC=96°,求∠BED的度数.20.已知关于x的一元二次方程2(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k的取值范围.21.已知:如图⊙O及⊙O外一点P.求作:直线PB,使PB与⊙O相切于点B.·P李华同学经过探索，想出了两种作法.具体如下(已知点B是直线OP上方一点)：作法一(如图1)作法二(如图2)①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；②以点A为圆心，以AO的长为半径作⊙A,⊙A交⊙O于点B;③作直线PB，则直线PB是⊙O的切线.①连接OP,交⊙O于点M,过点M作OP的垂线MN;②以点O为圆心,以OP的长为半径作弧，交直线MN于点Q;③连接OQ,交⊙O于点B;④作直线PB,则直线PB是⊙O的切线.证明:如图1,连接OB,∵PO为⊙A直径,∴∠PBO=90°.(___________)∴PB⊥OB.∵OB是⊙O的半径,∴直线PB是⊙O的切线.证明:……请仔细阅读，并完成相应的任务.(1)“作法一”中的“依据”是指；(2)请写出“作法二”的证明过程.第4页(共8页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)22.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x-101一212y-20(3)若一次函数y=mx+n的图象也经过A，B两点，结合图象，直接写出不等式x²+23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;(2)若AD=2,AE=23求EC的长.24.如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y=ax(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙.第5页(共8页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)25.如图1,线段AB及一定点C,P是线段AB上一动点,作直线CP,过点A作AQ⊥CP于点Q,已知AB=7c小明根据学习函数的经验，分别对函数.y₁、下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁x/cm00.30.50.811.5234567y₁/cm00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.78y₂/cm00.080.090.0600.290.731.823.034.205.336.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y₁),(x,y₂),并画出函数y₁、y₂的图象.解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中(图2)补全函数y₂的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为cm.第6页(共8页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y(1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知Mx₁y₁和Nx₂y27.已知,如图,在△ABC中，∠ACB=90°(1)求证:∠(2)用等式表示CG,DG和AE的数量关系,并证明.第7页(共8页)

2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验(数学学科)28.对于平面直角坐标系xOy内的直线l和点P，若点A关于l作轴对称变换得到点A₁,点A₁关于点P作中心对称变换得到点.A₂,，我们则称点已知B(-1,0),C(2,0),(1)写出B关于y轴和点C的“正对称点”的坐标；(2)已知点C12m0≤m≤12,存在过原点O的直线(3)已知点H是直线.x=1上的一点,且点H的纵坐标小于0,C(3,0),E点在以C为圆心1为半径的圆上，对于直线.x=第8页(共8页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验数学学科参考答案数学参考答案一、选择题1.D2.C3.B4.A5.A6.C7.B8.C二、填空题9.y=313.814.1815.③④⑤16.5补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。三、解答题17.解下列方程：解：1x2x-x-xx1补充说明：使用公式法判别式正确得1分，代入公式正确得2分，解正确得4分。(2)2x(x-3)=(x-3),---2分(x-3)(2x-1)=0,∴x118.(1)如图-2分213第1页(共6页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验数学学科参考答案19.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,---1分由旋转得AE=AD,∠EAD=60°,∴∠BAE=∠CAD=60°-∠BAD,------2分在△AEB和△ADC中,A∴△AEB≌△ADC(SAS).-3分(2)解:∵AE=AD,∠EAD=60°,∴△AED是等边三角形，∴∠AED=60°,∵△AEB≌△ADC,∴∠AEB=∠ADC=96°,4分∴∠BED=∠AEB--∠AED=96°-60°=36°,----5分∴∠BED的度数是36°.20.解:(1△因为(k+所以，原方程有两个实数根.-3分(2)解方程得:x1∵4>3,∴-k₂<3,∴k>-6.-6分21.(1)直径所对的圆周角是直角.-----1分(2)证明：由作法可得，MN⊥OP,OP=OQ,∴∠OMQ=90°.∵OB=OM,∠BOP=∠MOQ,∴△OBP≌△OMQ(SAS).---2分∴∠OBP=∠OMQ=90°.∴OB⊥PB.3分∵OB是⊙O的半径,∴直线PB是⊙O的切线.4分22.解:(1)∵二次函数.y=∴c第2页(共6页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验数学学科参考答案解得b∴二次函数的解析式为y=(2)x***-101-212y0-2—9-204分(没有0.5分)---5分(3)由图象可知，不等式.x²+23.(1)证明:取BD中点O,连接OE,∵∠DEB=90°,∴BD为直径,∴BD的中点O为外接圆的圆心.-----1分∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠EBO,∵OE=OB,∴∠OEB=∠EBO,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∵BC⊥AC,∴OE⊥AC,------2分∵OE为半径,∴AC是△BDE的外接圆的切线；-----3分(2)解:设⊙O半径为r,则在Rt△AOE中，由勾股定理得：O即r解得:r=2,-----4分∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°,第3页(共6页)

2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验数学学科参考答案∴∠CBE=∠OBE=30°∴E24.解：(1)设石块运行的函数关系式为y=把(0,0)代入解析式得:400a+10=0,-----2分解得：a∴解析式为：y=-140(2)石块能飞越防御墙AB，理由如下：把x=30代入y=-140x2+∵7.5>6,∴石块能飞越防御墙.-----5分25.解：(1)利用描点法画出函数图象如图所示：-----2分(出头扣一分)(2)5.5或2.5.-----4分26.(1)当a=1时,y∴∴抛物线的顶点坐标(2，-4)；-----2分(2)①当a>0时,如图,此时5a>2a，∴点M在对称轴右侧的抛物线上，∵当x>2a时,y随x的增大而增大,且y₁<y₂,0<5≤x₂≤6,∴x₁<x₂,即5a<5,∴a<1,----4分又∵a>0,∴0<a<1;第4页(共6页)2024-2025学年度第一学期初三年级期中测验数学学科参考答案②当a<0时,如图,此时5a<2a，∴点M在对称轴左侧的抛物线上，设点M关于对称轴的对称点为M’,所以M’(-a,y₁),∵0∵当x>2a时,y随x的增大而减小,且y₁<y₂,∴x₁>x₂,即-a>6,解得a<-6,又∵a<0,∴a<-6;