重庆育才中学2025届高三12月月考数学+答案

重庆市育才中学校高2025届2024-2025学年(上)12月月考数学试题本试卷为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前,请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本试卷及草稿纸上无效;3.考试结束后,将答题卡交回。第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。1.设集合M=xA.{0,1}B.{−1,0,2.已知随机变量ξ服从正态分布N2,A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43.已知直线l//平面α,点P∈α,那么过点PA.有且只有1条,且在平面α内B.有且只有1条,不在平面α内C.有无数条,不都在平面α内D.有无数条,都在平面α内4.函数fxA.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)5.若正实数a,b满足a=A.1B.6C.8D.96.从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛,则选出的3人中既有男生又有女生的概率为A.110B.310C.357.已知sinα+A.14B.13C.128.若正实数x,y满足A.x−y<−1B.x−y>−1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知点A0,2A.若A、BB.若AB⊥ACC.若AB=ACD.当y=210.已知正方体ABCD−A1B1A.E、B.直线AD与D1EC.二面角A−FD.三棱锥B111.若数列Fn满足F1=A.aB.aC.aD.若数列an的前n项和为30,则n=第II卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。第14题第一空2分,第二空3分。12.已知复数z=11+213.若函数fx=13x14.若正四面体A−BCD的棱切球(球与正四面体的棱均相切)半径为1,则正四面体A−四、解答题:本题共5题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)已知非零数列an满足:a(1)求证:1a(2)求数列an⋅an+16.(本小题满分15分)若△ABC中的内角A、B、C(1)求角B;(2)若b=23,请从下列两个条件:①a=2c注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答给分。17.(本小题满分15分)如第(17)题图,在四棱锥S−ABCD中,底面ABCD为菱形,点E为棱SA的中点,(1)求证:SC//平面BED(2)求证:平面SAC⊥平面ABCD(3)若SC⊥AC,且AB=SC=2,

第(17)题图18.(本小题满分17分)育才中学为普及法治理论知识,举办了一次法治理论知识闯关比赛。比赛规定:三人组队参赛,按顺序依次闯关,无论成败,每位队员只闯关一次。如果某位队员闯关失败,则由该队下一队员继续闯关,如果该队员闯关成功,则视作该队获胜,余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功,则视为该队比赛失败。比赛结束后,根据积分获取排名,每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下:Y=40−(1)已知p1(i)若按甲、乙、丙的顺序依次参赛,求该队比赛结束后所获积分Y的期望;(ii)若第一次闯关从三人中随机抽取,求该队比赛结束后所获积分Y=(2)若甲只能安排在第二位次参赛,且0<p119.(本小题满分17分)已知函数fx (1)求曲线y=(2)设an=nn+1n∈N∗,曲线y=fx(3)设函数gx=aexx−x+数学参考答案题号1234567891011选项BCABCDBAABDABDBC【部分题解析】8.∵正实数x,y满足x+y>e(*),构造函数fx=x∴f′x=lny11.由题知,数列Fn为斐波拉契数列,即1选项A错误;又Fn⋅Fn+1呈现“奇偶偶奇偶偶奇偶偶-“-”的规律,∴数列an各项依次为-1,1,1,−1,1,1,⋯⋯,∴an最小正周期为3,满足an题号121314答案108∵正四面体A-BCD的内接于一正方体中,∴其棱切球为该正方体的内切球,∴该正方体的棱长为正四面体A-BCD棱切球的直径2,∴正四面体A-BCD的棱长为该正方体面对角线长22;又棱切球的球面与正四面体A-BCD的表面相交所得到的曲线为四个圆(例如圆I内切于△ABC),其半径为63,∴四个圆周长为415.(13分)解(1)1an为等差数列,公差为2,首项(2)Sn16.(15分)解:(1)∵在△ABC中bsinA=3由正弦定理asinA=又sinA≠0又∵0<B<π(2)若选①a=2由余弦定理b2=a解得c=2∴△ABC的面积S△17.(15分)解:(1)证明:连接AC交BD于O,连接OE,∵ABCD为菱形,∴O为AC的中点,又E为SA的中点,∴在△ASC中,OE//SC,又EOC平面BED,SC⊄平面BED,∴SC//平面BED;(2)证明:∵在菱形ABCD中,BD⊥AC,又BD⊥SC,AC∩SC=C,AC,SC⊂平面SAC,∴BD⊥平面SAC,又BDC平面ABCD,∴平面SAC⊥平面ABCD;(3)由(2)可知,平面SAC⊥平面ABCD,且平面SAC∩平面ABCD=AC,又由题知SC⊥AC,SC⊂平面SAC,∴SC⊥平面ABCD,由(1)知OE//SC,∴OE⊥平面ABCD,且在菱形ABCD中,BD⊥AC,∴以O为坐标原点,OA,OB,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意,在菱形ABCD中,AB=2∴在△ABC中由余弦定理可求得,AC=2∴OA=OC=3,OB=OD=1,设平面SAD的法向量为n由n⊥ADn⊥AS令x=1得y=−3,z=3,∴∴sinθ∴直线AB与平面SAD所成角的正弦值为21718.(17分)解:(1)(i)EY(ii)P(2)若依次派出乙、甲、丙进行闯关,该队比赛结束后所获积分Y130,20,10,0,EY=若依次派出丙、甲、乙进行闯关,该队比赛结束后所获积分Y20,EY∴E∵0<p∴要使该队比赛结束后所获积分Y的期望最大,应最先派出丙,最后派出乙.19.(17分)解:(1)y=(2)由(1)知,曲线y=fx在点an,f令x=0得yn=fan又∵a∴Sc∴(3)∵gx∵函数gx∴g′x又∵g′1∴hx在0∵h①当a∈②当a∈0,+∞时,∵函数ℎ′x在0(i)若a∈[1,+∞),∴lna≤0,此时h∴hx在0,+∞上单调递增,hx(ii)若a∈0,1,−