人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 5 2 圆与圆的位置关系

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12．5.2圆与圆的位置关系学习目标1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含思考根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？〖答案〗不能.已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)4．若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(√)一、两圆位置关系的判断例1当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝eq\r(50－k)(k＜50)．从而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.当1＋eq\r(50－k)＝5，k＝34时，两圆外切．当|eq\r(50－k)－1|＝5，eq\r(50－k)＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋eq\r(50－k)＜5或|eq\r(50－k)－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在〖解析〗几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．跟踪训练1(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切 B．相交C．外切 D．相离〖答案〗B〖解析〗两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为eq\r(－2－22＋0－12)＝eq\r(17)，则R－r<eq\r(17)<R＋r，所以两圆相交，选B.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．〖答案〗4〖解析〗到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝eq\r(3＋12＋－1－22)＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．二、两圆的公共弦问题例2已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5eq\r(2)，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝eq\r(10).∴|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，|r1－r2|＝|5eq\r(2)－eq\r(10)|，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.(3)方法一由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq\r(5)，∴公共弦长为l＝2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).方法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))∴|AB|＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5).即公共弦长为2eq\r(5).反思感悟两圆的公共弦问题(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练2(1)两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为()A．5B．5eq\r(2)C．10eq\r(2)D．10〖答案〗D(2)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)所截得的弦长为________．〖答案〗eq\r(23)〖解析〗由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝eq\f(25,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(23,4)，所以弦长为2×eq\f(\r(23),2)＝eq\r(23).圆系方程的应用典例(1)求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq\f(4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，所以圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).又圆心在直线x－y－4＝0上，所以eq\f(2,1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，即λ＝－eq\f(1,3).所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3.))所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为eq\r(3－32＋[3－－1]2)＝4.所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.(2)求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程．解设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y2＋4x－2y－4＋λx＋y＋4＝0，))得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.〖素养提升〗(1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离 B．相交C．外切 D．内切〖答案〗B〖解析〗化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝eq\r(1－02＋0－22)＝eq\r(5)<r1＋r2，又r2－r1<eq\r(5)，所以两圆相交．2．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为()A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定〖答案〗C〖解析〗圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有eq\r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0〖答案〗C〖解析〗AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________．〖答案〗(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36〖解析〗设圆C的半径为r，圆心距为d＝eq\r(4－02＋－3－02)＝5，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆的方程为