黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2025届高三上学期10月考试数学试题

哈工大附中2024-2025学年度第一学期10月考试（高三数学）试题时间：120分钟分值：150分命题人：王大力校对人：王大力一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知数集满足：，，若，则一定有：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集、并集的概念及运算结合元素与集合的关系判定选项即可.【详解】因为，，且，所以必有，可能且，也可能且，故A正确，B、C、D错误.故选：A.2.已知等差数列的前项和为，若，且，则（）A.60 B.72 C.120 D.144【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.【详解】在等差数列中，，解得，所以.故选：B3.下列说法正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.“”是“”的充分不必要条件C.若不等式的解集为，则必有D.命题“，使得.”的否定为“，使得.”【答案】C【解析】【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D.【详解】对于选项A：例如，则，即，满足题意，但不成立，即充分性不成立；例如，则，即，满足题意，但不成立，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确；对于选项B：若，满足，但不满足，故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确.故选：C.4.已知函数为上的奇函数，则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质，解得，并代入检验即可.【详解】因为函数为上的奇函数，则，解得，若，则，且定义域为，则，所以函数为上的奇函数，综上所述：.故选：A.5.已知向量，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值.【详解】由题设，而.故选：B6.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（）（参考数据：）A.0.2 B.0.18 C.0.1 D.0.14【答案】B【解析】【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得.【详解】依题意得，，化成对数式，，解得，.故选：B.7.如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象可确定周期，即可求解，根据最低点得，即可代入求解，从而根据解析式代入即可得解.【详解】由题图可得，则，当时，y取得最小值，为，得，∵函数的图象过点，∴，即，又，∴，∴.当时，.故选：A.8.设，，，则大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，x∈0,1，求导利用函数的单调性比较的大小，构造函数，，求导利用函数的单调性比较的大小，从而确定的大小关系.详解】令，x∈0,1，由，∴fx在所以，即，x∈0,1，，所以；令，x∈0,1由，令，x∈0,1，，令，则，所以在x∈0,1又，，所以存在唯一，使得，即当x∈0,x0时，h'即hx在上单调递增，在上单调递减，所以hx的最小值为，中一个，而，，所以，即，所以在0,1上单调递增，所以，即，x∈0,1，所以，即.所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造函数结合导数比较大小问题，解决本题的关键是构造函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，例如比较，的大小时，转换，，可构造差函数，，求导数f'x结合导函数的性质即可确定在的单调性，从而可得函数值大小，即可判断大小关系.二．多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分正确得部分，有错的得0分）9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则向量与向量的夹角的余弦值为D.若，则向量在向量上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角的余弦判断C；求出投影向量判断D.【详解】对于A，由，得，解得，A正确；对于B，由，得，解得，B错误；对于C，若，则，又，则，C正确；对于D，若，则，又，于是，则向量在向量上投影向量为，D错误.故选：AC10.已知复数z满足，则下列说法正确的是（）A.z的虚部为iB.C.若复数，满足，且，则D.若复数满足，则在复平面内对应的点构成图形的面积为2π【答案】BD【解析】【分析】由复数的计算先化简出复数的值，判断A选项；利用模长公式计算出对应复数的模长，判断BC选项；复数模长的几何意义点到点的距离，从而得出表示一个圆，计算出圆的面积判断D选项.【详解】，虚部为1，选项A不正确；，，∴选项B正确；，则，设，则，∴，∴选项C错误；∵，∴在复平面内对应的点是以在复平面内对应的点为圆心，半径的圆，∴在复平面内对应的点构成图形的面积为2π，选项D正确.故选：BD11.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为πB.直线是函数的图象的一条对称轴C.若时，恒成立，则实数m的取值范围为D.将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为．【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，再求最小正周期可判断A，代入检验法可判断B，利用三角函数的性质可判断C，利用三角函数的图象变换和性质可判断D.【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确；又由，故B错误；当时，可得，当，即时，取得最小值，因为，恒成立，所以，即实数的取值范围为，故C正确；由题意得函数，因为，所以，又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，所以实数的取值范围是，故D正确.故选：ACD.三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，，，求的值________.【答案】【解析】【分析】注意到，从而直接代入求解即可.【详解】.故答案为：.13化简：____.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用辅助角公式、平方关系及正弦和余弦倍角公式，即可求出结果.【详解】原式，故答案为：.14.某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废，但若每年花费1万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至20年，每经过一年其价值就会减少万元，超过20年，它的价值将低于所有花费的，设备将报废，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据已知设等差数列及公差，基本量运算得出通项公式，再应用列不等式组计算即可【详解】设该设备使用年后，设备的价值为万元，则可得数列an，由已知可得，即公差为，因为购进价格为220万元，所以，所以，由题可知即解得．故答案为：．四．解答题（共5小题，共77分）15.在中，若．（1）求角B的大小；（2）若不是钝角三角形，且，求a、c的值．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即得.（2）根据给定条件，利用（1）的结论及余弦定理求解即得.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，而，解得，又，所以或.【小问2详解】由（1）及不是钝角三角形，得，由余弦定理，得，即，而，则，又，所以.16.已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】.由，解得即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为；【小问2详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以.若，则，.由，得，又，所以，则，故.故的值为.17.一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．（1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．【答案】（1）；（2）详见解析；元.【解析】【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域.（2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用.【小问1详解】在Rt中，，，所以，在Rt中，，即，又，所以，所以的周长，即;当点在点时，角最小，此时;当点在点时，角最大，此时;故此函数的定义域是【小问2详解】由题意可知，只需求出的周长的最小值即可设，则，则原函数可化简为，因为，所以，，则，则从而则当时，即时，；即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.18.设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．（1）若，（ⅰ）求的通项公式；（ⅱ）若数列的前项和为，求．（2）若为等差数列，且，求．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及的定义即可求解；（2）由等差数列前n项和基本量的计算结合分类讨论即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由，得，解得，则，又，有，即，解得或（舍去），所以.（ⅱ），则，则.【小问2详解】若bn为等差数列，则有，即，得，即，解得或，由，则，又，，由等差数列性质知，，即，得，即，解得或（舍去），当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.时，，，符合题意，所以等差数列an的公差.19.设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．（1）若为上的“凸函数”，求a的取值范围；（2）证明：当时，有且仅有两个零点．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由“凸函数”定义可得f'x在区间D上单调递减，令，则问题转化为在恒成立，分离参数后转化为求函数最值可得；（2）令，结合的单调性与三角函数的有界性，分区间讨论的单调性与函数值的符号变化即可.【小问1详解】由，则.由题意可知，为上的“凸函数”，则f'x在区间上单调递减，设，则，所以在恒成立，则在恒成立，又当时，函数取最小值，且最小值为，所以有，解得，即a的取值范围为.【小问2详解】当时，由得.令，其中，则，其中.①当时，则，，所以，则在单调递增，则恒成立，即在无零点；②当时，令，其中，由在单调递增，又，故存在，使得，故当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；由，故存在，使，即，故当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；又，故当时，，即无零点；③当时，由，则，故故在单调递增，，且，故由