动态规划算法入门

演讲人：日期：动态规划算法入门延时符Contents目录引言动态规划的基本原理动态规划算法的设计与实现动态规划算法的优化技巧动态规划算法的应用案例动态规划算法的复杂度分析动态规划算法的扩展与变种延时符01引言动态规划（DynamicProgramming，DP）是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。动态规划的背景可以追溯到20世纪50年代初，由美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人提出，用于解决多阶段决策过程的优化问题。动态规划的核心思想是将复杂问题分解为若干个子问题，子问题和原问题在结构上相同或类似，只不过规模不同。通过解决子问题，再合并子问题的解决方案，从而达到解决原问题的目的。动态规划的定义与背景运筹学是一门研究如何有效组织和管理各种资源的学科，旨在为管理人员提供科学依据，实现有效管理、正确决策和现代化管理。动态规划是运筹学的一个重要分支，是解决优化问题的一种数学方法。它通过对问题的分解和状态的定义，寻找问题的最优解。运筹学中的许多问题，如线性规划、整数规划、网络流等，都可以采用动态规划的思想和方法进行求解。运筹学与动态规划的关系动态规划的应用领域如电路设计、控制系统优化、信号处理等；如生产经营问题、资源分配问题、金融投资问题等；如算法优化、背包问题、字符串匹配等；如生物信息学中的序列比对问题，自然语言处理中的文本生成问题等。工程技术领域经济领域计算机科学领域其他领域延时符02动态规划的基本原理大问题的最优解可以由小问题的最优解推出。大问题化小无后效性最优子结构某阶段状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。大问题的最优解只由各个小问题的最优解组合得到，不需要再考虑子问题之间的关系。030201最优化原理问题的起点或终点，通常作为递推关系的起点。边界描述了子问题之间是如何转化的，即一个问题的解与其子问题的解之间的关系。状态转移方程通过状态转移方程，可以自底向上地推出原问题的解。递推关系边界与状态转移方程自底向上计算从边界条件出发，利用状态转移方程逐步递推求解，直至得到原问题的解。推导状态转移方程根据相邻两阶段各状态之间的关系，确定决策变量和状态转移方程。找出问题的边界条件即问题的起点和终点。划分阶段将原问题划分为若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。确定状态变量描述问题的过程，根据过程确定状态变量。动态规划的基本思想延时符03动态规划算法的设计与实现划分阶段按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。确定状态和状态变量将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。动态规划算法的设计步骤确定决策并写出状态转移方程因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据相邻两段各状态之间的关系来确定决策。寻找边界条件给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的起点，因此，边界条件（即递推起点）是可少的。动态规划算法的设计步骤状态变量的选择状态变量是能够表示问题状态的变量，通常选择对问题求解有影响的因素作为状态变量。在选择状态变量时，要注意满足无后效性，即当前状态只与前一个状态有关，而与之前的状态无关。状态空间的构建状态空间是由所有可能的状态构成的集合。在构建状态空间时，需要确定状态变量的取值范围和约束条件，以便将问题的所有可能状态都包含进来。状态变量的选择与状态空间的构建状态转移方程描述了问题从一个状态转移到另一个状态时的变化规律。在推导状态转移方程时，需要根据问题的实际情况和状态变量的选择来确定。通常可以通过分析相邻两个状态之间的关系来推导出状态转移方程。状态转移方程的推导在得到状态转移方程后，需要对其进行求解以得到问题的最优解。求解方法通常包括迭代法、递归法等。在求解过程中，需要注意边界条件的处理和计算复杂度的优化。状态转移方程的求解状态转移方程的推导与求解延时符04动态规划算法的优化技巧记忆化搜索通过存储已经计算过的子问题的结果，避免在后续计算中重复计算相同的子问题，从而提高算法效率。避免重复计算记忆化搜索通常采用递归的方式实现，将问题的解拆分为更小的子问题的解，并自底向上地逐步求解。递归实现记忆化搜索适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，如斐波那契数列、矩阵链乘法等。适用场景记忆化搜索

滚动数组优化空间优化滚动数组通过循环使用数组空间，将原本需要二维或更高维度的数组空间压缩至一维或更低维度，从而节省空间复杂度。时间复杂度不变虽然滚动数组优化了空间复杂度，但时间复杂度并未改变，因为算法的计算量并未减少。适用场景滚动数组适用于具有固定转移方程和状态表示的动态规划问题，如01背包、完全背包等。状态压缩技巧通常使用二进制数来表示状态，将原本需要使用大量空间存储的状态信息压缩到一个或几个整数中。二进制表示状态状态压缩后，需要使用位运算操作来实现状态的转移和计算，如按位与、按位或、异或等。位运算操作状态压缩技巧适用于具有大量离散状态且状态之间转移关系简单的动态规划问题，如旅行商问题、状压DP等。适用场景状态压缩技巧延时符05动态规划算法的应用案例问题描述01给定一组物品，每种物品都有一定的重量和价值，背包的总承重有限。问题是如何选择物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。动态规划思路02定义状态数组dp[i][j]，表示前i个物品在总重量不超过j的情况下能达到的最大价值。通过状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])来求解。应用场景03货物装载、投资决策、项目选择等。背包问题问题描述企业在一定时期内，需要安排生产计划，使得在满足市场需求和生产能力的前提下，总成本最小或总利润最大。动态规划思路定义状态数组dp[i][j]，表示前i个时期生产j个单位产品时的最小成本或最大利润。通过状态转移方程dp[i][j]=min/max(dp[i-1][j-k]+cost[i][k])来求解，其中k表示第i个时期的生产量。应用场景生产计划制定、库存管理、资源调度等。生产经营问题问题描述动态规划思路应用场景资金管理问题投资者在一定时期内，需要将资金分配给不同的投资项目，以使得总收益最大或总风险最小。定义状态数组dp[i][j]，表示前i个时期投资j个单位资金时的最大收益或最小风险。通过状态转移方程dp[i][j]=max/min(dp[i-1][j-k]+profit[i][k])来求解，其中k表示第i个时期的投资量。投资组合优化、风险控制、资金管理策略制定等。问题描述在多个任务或项目之间分配有限的资源（如人力、物力、资金等），以使得整体效益最大或成本最小。动态规划思路定义状态数组dp[i][j]，表示前i个任务分配j个单位资源时的最大效益或最小成本。通过状态转移方程dp[i][j]=max/min(dp[i-1][j-k]+benefit[i][k])来求解，其中k表示第i个任务的资源分配量。应用场景任务调度、项目管理、资源优化配置等。010203资源分配问题问题描述在图论中，最短路径问题是指寻找图中两个顶点之间的最短路径，使得路径上各边的权值之和最小。动态规划思路定义状态数组dp[i][j]，表示从起点到第i个顶点，且经过的边的权值总和不超过j时的最短路径长度。通过状态转移方程dp[i][j]=min(dp[k][j-weight[k][i]]+1)来求解，其中k表示从起点到第i个顶点的中间顶点。应用场景交通网络规划、通信网络优化、物流路径规划等。最短路径问题延时符06动态规划算法的复杂度分析010203状态转移方程的时间复杂度动态规划算法的时间复杂度主要取决于状态转移方程的计算复杂度。如果每个状态转移都需要常数时间，则时间复杂度为O(n)，其中n为状态数量。如果状态转移涉及到较复杂的计算，则时间复杂度会相应增加。状态数量的影响状态数量的多少也会影响时间复杂度。如果状态数量很大，即使每个状态转移的计算复杂度较低，总体时间复杂度也可能很高。边界和初始条件的影响边界和初始条件的处理也会对时间复杂度产生影响。如果边界和初始条件需要特殊处理，可能会增加额外的时间开销。时间复杂度分析状态存储的空间需求动态规划算法通常需要将每个状态的值存储下来，以便在计算后续状态时使用。因此，空间复杂度至少为O(n)，其中n为状态数量。如果状态空间很大，可能需要使用额外的数据结构来存储状态，进一步增加空间复杂度。状态压缩技术为了减少空间复杂度，可以使用状态压缩技术。例如，如果状态之间存在一定的关系，可以使用滚动数组等技术来减少存储空间的需求。但是，状态压缩技术可能会增加时间复杂度或使代码实现变得复杂。空间复杂度分析优化状态转移方程通过优化状态转移方程的计算过程，可以降低时间复杂度。例如，使用更快的计算方法或避免重复计算等。使用更高效的数据结构选择更高效的数据结构来存储和访问状态值可以降低时间复杂度和空间复杂度。例如，使用哈希表来存储状态值可以加快查找速度，但可能会增加空间复杂度。并行计算如果问题可以并行处理，可以使用并行计算技术来加速动态规划算法的执行速度。但是，并行计算需要额外的硬件和软件支持，并且可能会引入同步和通信开销。减少状态数量如果状态数量很大，可以考虑减少状态数量来降低时间复杂度和空间复杂度。例如，通过合并相似状态或使用更紧凑的状态表示方法。算法优化与复杂度降低的方法延时符07动态规划算法的扩展与变种123包括前序遍历、中序遍历和后序遍历，树形动态规划通常基于其中一种遍历方式进行状态转移。树的遍历方式树形动态规划中的状态通常表示为某个节点为根的子树的最优解，状态转移方程则描述了子树之间是如何转化的。状态表示与转移树形背包问题、二叉树最大独立集问题等。经典问题树形动态规划将原问题划分为若干个小区间，通过求解小区间的最优解来得到原问题的最优解。区间划分区间动态规划中的状态通常表示为某个区间的最优解，状态转移方程则描述了相邻区间或不同大小区间之间是如何转化的。状态表示与转移矩阵连乘问题、石子合并问题等。经典问题区间动态规划状态机模型将问题抽象为一个有限状态机，每个状态表示问题的一个阶段或