2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第10讲　同构函数问题原卷版

第10讲同构函数问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】双变量同构问题 2【考点二】指对同构问题 4【专题精练】 5考情分析：同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大．真题自测真题自测一、填空题1．（2023·湖北武汉·二模）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为．二、解答题2．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）3．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．考点突破考点突破【考点一】双变量同构问题一、单选题1．（2024·山东济南·一模）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（

）A． B．C． D．2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（22-23高三上·广东·阶段练习）已知定义在上的函数的图像连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．在上单调递增C．若，则D．若是在区间内的两个零点，且，则4．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为B．当时，函数在上单调递增C．当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为D．当时，若，则的最小值为三、填空题5．（2023·福建三明·三模）已知不等式恒成立，其中，则的最大值为.6．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为；若，则的最大值为．四、解答题7．（2023·北京通州·三模）已知函数(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)设是函数的两个极值点，证明：．规律方法：含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．【考点二】指对同构问题一、单选题1．（2023·湖北武汉·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·河北·期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三上·河南·期中）已知实数m，n满足，且，则（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知,若,其中是自然对数的底数,则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2023·湖南郴州·三模）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为.6．（2022高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是．四、解答题7．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若，求函数的最小值；(3)若有两个零点，，证明：.8．（2022高三·全国·专题练习），若，求a的取值范围.规律方法：指对同构的常用形式(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnb))(b>1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eq\f(ea,a)≤eq\f(b,lnb)，一般有三种同构方式：①同左构造形式：eq\f(ea,a)≤eq\f(elnb,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(ex,x)；②同右构造形式：eq\f(ea,lnea)≤eq\f(b,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(x,lnx)；③取对构造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(b>1)，构造函数f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有两种同构方式：①同左构造形式：ea±a>elnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；②同右构造形式：ea±lnea>b±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.专题精练专题精练一、单选题1．（21-22高二下·陕西西安·期末）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·广西柳州·模拟预测）函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则＝（

）A． B．－ C． D．4．（2023·全国·模拟预测）若方程在上有实根，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题5．（21-22高三上·福建三明·期末）已知函数有两个极值点，，则（

）A．a的取值范围为（－∞，1） B．C． D．6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，，，，则（

）A． B． C． D．7．（22-23高三下·浙江杭州·开学考试）直线与函数的图像有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．存在使得A点处切线与点处切线垂直8．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数则下列结论正确的有（

）A．当时，是的极值点B．当时，恒成立C．当时，有2个零点D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则三、填空题9．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函数，，若，，则的最大值为．10．（2024·全国·模拟预测）若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是．11．（2023·安徽安庆·二模）已知函数，其中，若不等式对任意恒成立，则的最小值为.12．（23-24高二上·江苏徐州·期末）若实数t是方程的根，则的值为.四、解答题13．（2024·广东湛江·二模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，且，证明：.14．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，，