5.3诱导公式【三大必考点+七大秒杀招+六大题型+分层训练】高一数学题型归类

5.3诱导公式【三大必考点+七大秒杀招+六大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(a)；(2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(b)；(3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(c)．知识点02诱导公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.知识点03诱导公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq\f(π,2)±α中的整数k来讲的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.解题大招解题大招大招01利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．大招02给式(值)求值1、解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来探究两个角(或整体)之间的关系，当寻找到角与角之间的联系后，未知角这一整体的三角函数值可以通过已知角的三角函数值和有关的三角公式求得，这是三角函数解题技巧之一.大招03三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．大招04三角函数式的化简注意:(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;(3)注意“1”的变形应用.大招05由已知角求未知角的三角函数值①观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将会不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角是解决问题的关键;②对于有条件的三角函数求值题，求解的一般方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式完成求值;③当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系.大招06解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．大招07诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．题型分类题型分类题型01三角函数的诱导公式【例1】已知sinα−3π4=A．223 B．−223 【解题思路】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果.【解答过程】易知cosπ故选：D.【变式1-1】与sin(θ−π2A．sin(3πC．cos(2π−θ)【变式1-2】求值：sin300°+tan600°=A．32 B．−32 C．3题型02三角函数的化简、求值——诱导公式【例2】求下列各三角值：(1)sin1320°(2)cos−(3)sin2【解题思路】（1）根据诱导公式即可求解；（2）根据诱导公式即可求解；（3）根据诱导公式即可求解；【解答过程】（1）sin（2）cos（3）sin2150°+sin【变式2-1】化简：(1)cos−α(2)sin1400°+α【变式2-2】计算(1)tan(2)tan(3)cos题型03三角函数恒等式的证明——诱导公式【例3】证明：tan(2【解题思路】利用诱导公式化简即可.【解答过程】左边=−所以tan(2【变式3-1】（1）求证：tan(2π−α)（2）设tan(α+8π7【变式3-2】已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：sin题型04诱导公式的综合应用【例4】已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点1,−2，则sinα+3πA．10−55 B．10+55 C．【解题思路】先根据三角函数的定义，求出角α的三角函数值，再结合诱导公式求值.【解答过程】由题知，sinα=−25，cos所以sin=−1故选：B.【变式4-1】已知α角的始边与x轴非负半轴重合，P−2,3是α角终边上一点，则tan−πA．−4712 B．4712 C．31【变式4-2】已知α角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−4,3).(1)求sinα,(2)求f(α)=cos题型05诱导公式在三角形中的应用【例5】已知A,B,C为△ABC的三个内角，下列各式不成立的是（

）A．sinA=sinB+CC．sinA2=【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为π，逐个去分析即可选出答案．【解答过程】由题意知，在△ABC中，A+B+C=π对A选项，sinC+B对B选项，cosA+C对C选项，cosC+B对D选项，sinA+C故选：D.【变式5-1】已知角A,B,C为△ABC的三个内角，若sinA+B−C2=sinA−B+CA．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形【变式5-2】在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.（1）cos(A+B)=（2）sin(A+B)=（3）sinA+B（4）cosA+B题型06同角基本关系式和诱导公式的综合应用【例6】已知角α∈−π2,0，且tan2A．154 B．14 C．−3【解题思路】切化弦，然后可得cosα【解答过程】因为tan2所以sin2因为α∈−π2所以1cos2α−3因为α∈−π2,0，可得所以得1cosα=4，可得cos所以sinα+2023故选：A．【变式6-1】在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=−3x上，则sin(A．2+3 B．2−3 C．3 【变式6-2】已知函数f(1)化简fα(2)若fα=−15，求(3)若α∈−π6分层分层训练【基础过关】1．若，则（

）A． B．1 C． D．或2．已知，（

）A． B．C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．4．求值：（

）A． B． C． D．5．若是任意实数，则（）A． B． C． D．6．“”是“为第一象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若，则（

）A． B． C． D．8．若，则=（

）A． B． C． D．9．已知，则的值为（

）A． B． C． D．10．已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，则的值为（）A． B． C． D．11．（多选）已知角的终边经过，则（

）A． B．C． D．12．（多选）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（

）A． B．C． D．13．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（

）A．，成立的条件是是锐角B．若，则．C．若，则D．若，则，14．已知.(1)求的值；(2)若，是方程的两个根，求的值.15．已知．(1)化简,并求的值;(2)若,且,求的值．

【能力提升】1．函数的部分图象大致为（

）A． B． C． D．2．已知，则“(k∈Z)，是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．已知函数，若，，则（

）A． B．C． D．4．已知角，且，则等于（

）A． B． C． D．5．若，则（

）A． B． C． D．6．在△ABC中，设甲：，乙：，则以下判断正确的是（

）．A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．已知，，则“”是“存在使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知是第四象限角，终边与单位圆O交于点，若，则（

）A． B． C． D．9．已知，关于等式，以下两个命题：①对任意的，总存在，使得等式成立；②对任意的，总存在，使得等式成立.则下列判断正确的是（

）A．①与②都正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确10．函数的图象大致是（

）A．