高等数学基础 课件全套 重大版 第1-10章 函数、极限与连续-无穷级数

第一节

函数的概念

在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着．１７世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引入函数这个基本概念．以后２００多年，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置．极限、导数、微分、积分都是围绕着函数来进行的，本节将介绍函数的概念、函数关系的结构与函数的特性．

一、绝对值、区间、邻域（一）绝对值

（二）区间

1.有限区间2.无限区间

（三）邻域二、函数的概念（一）函数的定义（二）函数的定义域（三）函数相等（四）函数的表示方法2.表格法3.图像法1.解析法第二节

函数的几种性质

一、函数的有界性二、函数的单调性

三、函数的奇偶性四、函数的周期性五、反函数

（一）反函数的定义第三节

初等函数

一、基本初等函数（一）常数函数（二）反函数的性质（二）幂函数（三）指数函数

１．指数运算公式（四）对数函数

１．对数运算公式

２．指数函数ｙ＝ａｘ在底数ａ＞１及０＜ａ＜１这两种情况下的图像和性质（五）三角函数

１．三角函数公式２．对数函数图像与特征

（六）反三角函数二、复合函数（一）定义２．正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的图像（二）复合函数的分解三、初等函数第四节

数列的极限

极限是微积分学中一个基本概念，微分学与积分学的许多概念都是由极限引入的，并且最终由极限知识来解决．因此它在微积分学中占有非常重要的地位．

我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这就是极限的最朴素思想．

一、数列极限的定义

（一）数列的概念

（二）数列的极限

二、函数的极限

（一）自变量趋于无穷时的极限

１．ｘ→

＋∞时的极限

２．ｘ→

－∞时的极限

３．ｘ→∞时的极限

（二）ｘ→ｘ０时自变量趋于有限值时函数的极限第五节

函数极限的运算

一、函数极限运算法则

二、极限的运算方法举例

１．代入法

２．分解因式，消去零因子法

３．多项式相除法

４．分子（分母）有理化法第六节

无穷大、无穷小及无穷小的比较

一、无穷小

（二）性质

二、无穷大

三、无穷小的比较

四、等价代换第七节

两个重要极限

一、极限Ⅰ

二、极限Ⅱ第八节

函数的连续性

一、连续函数的概念

（一）函数的增量

二、连续函数的运算性质

（二）函数的连续性

三、初等函数的连续性五、闭区间上连续函数的性质四、间断点第一节

导数的概念

一、导数的定义

在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题．

（一）引例：速度问题

２.直线方程的５种形式

（二）导数的定义

二、导数的几何意义三、可导与连续的关系第二节

导数的运算法则及复合函数求导

一、导数的四则运算法则二、应用举例三、复合函数的求导法则第三节

高阶导数第四节

三种特殊的求导方法

一、隐函数的求导二、对数求导法及幂指数函数的导数三、参数方程求导法第五节

函数的微分

一、函数微分的定义（二）微分运算法则二、微分形式不变性三、基本初等函数的微分公式与微分的运算法则

（一）微分公式

四、微分的应用第一节

中值定理及函数的单调性一、拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理二、函数的单调性第二节

函数的极值和最值一、函数的极值

（一）极值的定义

（二）极值的第一判定定理

（三）极值的第二充分条件二、函数的最大值和最小值

（一）闭区间［ａ，ｂ］上的最大值和最小值

（二）应用举例第三节洛必达法则

一、洛必达法则

二、

型未定式（洛必达法则）

四、其他类型不定式极限

三、

型未定式

二、曲线凹凸性的判定第四节

曲线的凹凸和拐点

一、曲线凹凸性的定义

（二）水平渐近线（平行于ｘ轴的渐近线）第五节

函数图形的描绘

一、函数的渐近线

（一）垂直渐近线（垂直于ｘ轴的渐近线）

（三）斜渐近线

二、函数图形描绘的步骤和方法

（一）步骤

（二）作图举例第一节

不定积分的概念

一、不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、直接积分法第三节

不定积分的第二类换元积分法第二节

不定积分的第一类换元积分法（凑微分法）

利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要其他的方法，下面简单介绍第一类换元积分法，也称为凑微分法．第四节不定积分的分部积分法第一节定积分的概念

一、引例

（一）曲边梯形的面积

１．分割

２．近似替代

３．求和

４．求极限

（二）变速直线运动的路程

１．分割二、定积分的概念

２．近似替代

３．求和

４．求极限三、定积分的几何意义四、定积分的性质第二节微积分基本公式

一、积分变上限函数二、牛顿莱布尼兹公式（Ｎｅｗｔｏｎｌｅｉｂｎｉｚ）公式第三节定积分的换元积分法和分部积分法

定积分的换元积分法和分部积分法，就是在以前学习的不定积分的第一类还原积分法（凑微分法）和第二类还原积分法及分部积分法的基础上来求定积分．下面就来讨论定积分的这两种计算方法．一、定积分的第一类换元积分法（凑微分法）二、定积分的换元积分法第四节无穷区间上的广义积分

一、函数

ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）上的广义积分三、定积分的分部积分法二、函数

ｆ（ｘ）在（－∞，ｂ］上的广义积分三、函数

ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上的广义积分第五节

定积分在几何上的应用

一、定积分的元素法（微元法）（一）分割（二）近似替代二、定积分在几何上的应用（一）直角坐标系下平面图形的面积（三）求和（四）求极限（二）旋转体的体积四、应用题第一节微分方程的基本概念及可分离变量的微分方程

一、建立微分方程的数学模型

二、基本概念

三、可分离变量的微分方程第二节一阶线性微分方程二、非齐次线性微分方程的解法第三节

二阶常系数齐次线性微分方程

一、齐次线性微分方程的解法

一、二阶常系数线性齐次方程解的结构二、二阶常系数齐次线性方程的解法第四节

二阶常系数非齐次线性微分方程

一、二阶常系数非齐次线性方程解的结构二、二阶常系数非齐次线性方程的解法第一节空间直角坐标系与向量的概念一、空间直角坐标系１．投影点２．对称点二、空间两点间的距离公式三、向量的基本概念四、向量的线性运算

１．向量的和

２．向量的减法

３．数与向量的乘法运算

４．单位向量：模为１的向量称为单位向量．第二节向量的坐标表示及其线性运算

一、向量的坐标表示

１．向径的坐标表示

２．向量的坐标表示二、坐标表示下的向量的线性运算三、向量的模、方向余弦及坐标表示

１．向量的模

２．向量的方向余弦第三节数量积与向量积

一、向量的数量积（点积）

（一）数量积的定义（二）用向量的坐标来表示数量积（三）向量ａ与ｂ的夹角余弦二、向量的向量积（叉积）

１．定义

２．向量积的坐标表示第四节平面方程一、点的轨迹方程的概念二、平面及其方程

１．平面的点法式方程２．平面的一般式方程４．几种特殊位置平面的方程３．平面的截距式方程第五节直一、直线的一般式方程５．两个平面的位置关系二、直线的标准式方程三、直线的参数方程四、两条直线的位置关系第六节曲面和曲线

一、球面方程

二、柱面方程三、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面四、几种特殊的二次曲面１．椭球面方程为２．抛物面３．双曲面第一节二元函数的极限和连续

一、二元函数

１．二元函数的定义

２．二元函数值记号

３．二元函数定义域二、二元函数的极限及其连续性

１．二函数的极限

２．二元函数的连续性

３．有界闭区域上连续函数的性质第二节偏导数一、偏导数的概念１．偏导数的定义

２．偏导数的求法二、高阶偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此．下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式．我们先以二元函数为例，如下所述．一、全导数二、多元复合函数的求导公式第五节隐函数求导公式一、二元函数的情形二、三元函数的情形第六节多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题．多元函数也有类似的问题，这里只学习二元函数的极值问题．一、二元函数极值的定义

二、二元函数极值判定的方法

三、二元函数的最大、最小值问题四、条件极值拉格朗日乘数法第一节二重积分的概念及性质前面我们已经知道，定积分与曲边梯形的面积有关．下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念．一、二重积分的概念

（一）分割（二）近似替代

（三）求和

（四）取极限二、二重积分的定义三、二重积分的几何意义四、二重积分的性质第二节直角坐标系下二重积分的计算第三节极坐标下二重积分的计算一、极坐标下二重积分变换公式二、极坐标下的二重积分计算法（一）积分区域Ｄ可表示成下述形式（二）积分区域Ｄ为下述形式三、使用极坐标变换计算二重积分的原则第四节三重积分及其计算法二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是一平面区域．如果考虑三元函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在一空间区域（Ｖ）上的积分，就可得到三重积分的概念．一、三重积分概念

二、直角坐标系中三重积分的计算方法三、柱面坐标系中三重积分的计算法第一节数项级数及其敛散性一、常数项级数的概念

二、两个特殊的级数１．等比级数（或称几何级数）三、级数的基本性质第二节正项级数及其敛散性第三节任意项级数及其审敛法正项级数只是级数中的一种情形，级数还有其他各种形式，即所谓任意项级数．一、交错级数二、绝对收敛与条件收敛第四节幂级数及其展开式一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算性质１．幂级数的加、减及乘法运算２．幂级数和函数的性质第五节函数展开成幂级数上节我们讨论了幂级数的收敛性，以及在其收敛区间内幂级数收敛于一个和函数．本节研究另一个问题即对于任意一个函数ｆ（ｘ）而言，能否将其展开成幂级数．一、泰勒级数（Ｔａｙｌｏｒ）二、函数展开成幂级数

１．直接展开法第一节ＭＡＴＬＡＢ简介一、ＭＡＴＬＡＢ概述

１．ＭＡＴＬＡＢ的运行环境２．启动ＭＡＴＬＡＢ系统常见方法：３．在ＭＡＴＬＡＢ软件中，向学生介绍启动ＭＡＴＬＡＢ系统的退出二、ＭＡＴＬＡＢ６．５集成环境及功能菜单１．Ｎｅｗ用于建立新的ＭＡＴＬＡＢ文件、图形文件、模型、图形用户界面２．Ｅｄｉｔ菜单３．Ｓｔｅｐ：单步调试４．Ｄｅｓｋｔｏｐ菜单三、ＭＡＴＬＡＢ基本知识

１．基本算术运算２．点运算３．利用冒号表达式建立一个向量４．一些常用符号在ＭＡＴＬＡＢ运算中的表示四、ＭＡＴＬＡＢ绘图１．绘制函