高考数学第一轮复习 第七篇 立体几何细致讲解练 理 新人教A版

第七篇立体几何

第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图

［最新考纲］

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简

单物体的结构.

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别

，述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.

3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形

的不同表示形式.

4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格

要求).

诊断■基础知识由浅入深芬基固本

知识梳理

1.多面体的结构特征

(D棱柱的侧棱都平行且杷笠，上下底面是全等且田的多边形.

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.

2.旋转体的结构特征

(1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到.

(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆

锥底面的平面截圆锥得到.

(3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到.

3.空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平

面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.

4.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，V轴、/轴的夹角为45°(或135°),

z，轴与/轴、/轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于*轴和z轴的线

段在直观图中保持原长度丕变，平行于尸轴的线段长度在直观图中变为原来的•半.

辨析感悟

1.对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的儿何体是棱柱.(X)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(X)

(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(V)

2.对•圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识

(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.(义)

(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.(X)

(6)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面.(J)

3.对直观图和三视图的画法的理解

⑺在用斜二测画法画水平放置的N/I时，若N/1的两边分别平行于*轴和y轴，且/力=90°,

则在直观图中乙4=45°.(X)

(8)(教材习题改编)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三个视图均相同.(X)

［感悟・提升］

1.两点提醒一是从棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手，借助几何模型强

化空间几何体特征.如(1)中例如幺(2)中例如.

二是图形中与淘、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来解，即过端点作坐

标轴的平行线段，再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置.如(7).

2.一个防范二视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样

高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交

线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.如(8)中正方体与球各自的三视

图相同，但圆锥的不同.

学生用书第106页

突破•高频考点以例求法举一反三

考点一空间几何体的结构特征

【例1】给出下列四个命题：

①在圆柱的上、下底面的员1周上各取•点，则这两点的连线是圆柱的母线：

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是().

A.0B.1C.2D.3

解析①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线：②正确；③错误.当以斜边所在直

线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示，它是由两个同

底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延

长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.

答案B

规律方法(D紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何

模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据

题意判定.

(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.

【训练1】给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.

其中错误的命题的序号是_______.

解析认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③

都不准确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个

相对侧面也可能与底面垂百且互相平行，故④也不正确.

答案①②③④

考点二由空间几何体的直观图识别三视图

[例2](•新课标全国I【卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系仆灯z中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投

影面，则得到正视图可以为().

审题路线在空间直角坐标系中画出四面体=以z公平面为投影面=可得正视图.

zB

解析在空间直角坐标系中，先画出四面体力4%的直观图，如图，设0(0,0,0),1),

Ml,1,0),r(0,1,1),将以0,力，B,。为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于勿_L6C,

所以该几何体以/"平面为投影面的正视图为a.

答案A

规律方法空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法

得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底

面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、

面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.

【训练2】(•济宇一模)点MN分别是正方体493/1心G〃的棱4儿44的中点，用过

4M*和仅反G的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1,则该几何体的

正视图，侧视图、俯视图依次为图2中的().

A.①②③B.②③④C.①③④D.②®©

解析由正视图的定义可知；点儿B,笈在后面的投影点分别是点〃，C,G,线段小在后

面的投影面上的投影是以〃为端点且与线段CG平行且相等的线段，即正视图为正方形，另

外线段川/在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段。。要画成虚线，正视图为②；同理

可得侧视图为③，俯视图为④.

答案B

考点三由空间几何体的三视图还原直观图

【例3】(1)(•四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是().

(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是().

解析(1)由于俯视图是两个圆，所以排除A,B,C,故选D.

(2)A,B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.

答案(1)D(2)1)

学生用书第107页

规律方法在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视

图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在

还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.

【训练3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是().

正视图侧视图

S

俯视图

经铝占粤

ABCD

解析所给选项中，A,C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项

B符合.

答案B

I课堂小结I

1.棱柱、棱锥要掌握各剖分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.

2.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.

3.三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；

(2)理解“长对正、宽平齐、高相

等”.

培养•解题能力教你解题提升他力

易错辨析7——三视图识图不准致误

【典例】（•陕西卷）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则

该几何体的侧视图为（）.

［错解］选A或D.

［错因］致错原因是根据提示观测位置确定二视图时其实质是正投影，将几何体中的可见轮

廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选A或D都是没有抓住看到的轮廓线在面

上的投影位置，从而导致失误.

［正解］还原正方体后，将4,D,4三点分别向正方体右侧面作垂线，。力的射影为U8

且为实线，4c被遮挡应为虚线.故选B.

［答案］B

［防范措施］空间几何体为三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得

到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图问题时，就要抓住正投影，结合具体

问题和空间几何体的结构特征进行解答.

【自主体验】

（•东北三校模拟）如图，多面体被切一板的底面力?切为正方形，FC=GI）=2EA,其俯视图

如下，则其正视图和侧视图正确的是（）.

AB俯视图

解析注意BE,选在平面微节上的投影为实线，旦由已知长度关系确定投影位置，排除A,

C选项，观察B,D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则8C,跖的投影

为虚线，故选D.

答案I）

课时•题组训练阶梯训练练出高分

对应学生用书P307

基础巩固题组

（建议用时：40分钟）

一、选择题

1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.

A.底面是正方形，有两个侧面是矩形

B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C.底面是菱形，具有•个顶点处的三条棱两两垂直

D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱

解析A,B两选项中侧棱与底面不一定垂直，I）选项中底面四边形不一定为正方形，故选

C.

答案c

2.（•福州模拟）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视

图为（）.

CD

解析给几何体的各顶点标上字母，如图1.4〃在侧投影面上的投影重合，C,。在侧投影

面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正

确选项为B（而不是A）.

161圉2

答案B

3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.

□△◎A

①正方体②圆锥③三棱台④正四极锥

A.①②B.①③C.①④D.②④

解析正方体的三视图都是正方形，不合题竟：圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯

视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的

正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确.

答案D

4.（•汕头二模）如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且其体积

为宁，则该几何体的俯视图可以是（）.

□□

正视图侧视图

解析若该几何体的俯视是选项A,则其体积为1,不满足题意；由正视图、侧视图可知俯

视图不可能是B项；若该几何体的俯视图是选项C,则其体积为不符合题意：若该几何

体的俯视图是选项D,则其体积为:，满足题意.

答案D

5.

俯视图斜视图

已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角

边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）.

解析空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2,正视图和俯视

图“长对正”，故正视图的底面边长为2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面

的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图

可能是C.

答案C

二、填空题

6.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是（写出所有正确的序号）.

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是立行四边形；③正方形的直观图是正

方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形.

解析①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的

线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定

相等，故错误.

答案①②④

7.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入

所有可能的几何体前的编号）.

①三棱锥；②四棱锥；③三楂柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.

解析

显然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形；三楂柱的王视图也可以是三角形（把三楂柱放

倒，使一侧面贴在地面上：并让其底面面对我们，如图所示）；只要形状合适、摆放适当（如

一个侧面正对着观察者的正四棱锥），四棱锥的正视图也可以是三角形（当然，不是任意摆放

的四棱锥的正视图都是三角形），即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥：不论四

棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形(可以验证，随意摆放的任意四棱柱的正视

图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形).综L所述，应填①②©⑤.

答案①②③⑤

8.如图，用斜二测画法得到四边形力懒是下底角为45°的等腰梯形，/

其下底长为5,一腰长为成，则原四边形的面积是_______..42一

解析作"'_L/18于'CF1AB于F,则力£=8Q/Wbos45。=1,・••⑦=跖=3.将原图复原

(如图)，则原四边形应为直角梯形，ZJ=90a,/俗=5,缓=3,AD=2y[2,AS四边形皿=1

X(5+3)义2镜=8，1

答案8^2

三、解答题

9.如图所示的是•个零件•的直观图，试画出这个几何体的三视图.

解这个几何体的三视图如图.

10.如图是一个几何体的正视图和俯视图.

(1)试判断该几何体是什么几何体；

⑵画出其侧视图，并求该平面图形的面积;

（3）求出该几何体的体积.

解（1）正六棱锥.

（2）其侧视图如图：其中，仍=月4AD1BC,且8C的长是俯视图中的正六边形对边的距离,

即比=小/，的长是正六棱锥的高，即4?=小a,

，该平面图形的面积5=7小a-小a=

(3)/=；X6X平才X小

能力提升题组

（建议用时：25分钟）

一、选择题

1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）.

A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱

解析球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同、大小相等；三棱锥的止视图、侧

视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图可以为形状相同、大

小相等的正方形；圆柱的正视图、侧视图均为矩形，俯视图为圆.

答案D

2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面

积等于（）.

A.B.2,^2C.才D.

解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的

直观图的面积S'之间的关系是S'本题中直观图的面枳为才，所以原平面四边形

的面积等于=2//

4

答案B

二、填空题

3.

4

日7

A

如图所示，E,6分别为正方体/收N—48C〃的面力如M、面8s8的中心，则四边形③叨£

在该正方体的面上的正投影可能是(填序号).

解析由正投影的定义，四边形身切£在面力与面国GC上的正投影是图③；其在面

月防M与面以Z4上的正投影是图②；其在面力筋与面4644上的正投影也是②，故①④

错误.

答案②③

三、解答题

4.已知正三棱锥，一力比’的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图;

(2)求出侧视图的面积.

解(1)直观图如图所示：

(2)根据三视图间的关系可得BC=2季,

・••侧视图中

Sz蜕=3X2yX2^3=6.

学生用书第108页

第2讲空间几何体的表面积与体积

［最新考纲］

1.了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式.

2.了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公

式.

诊断•基础知识由浅入深夯基固本

知识梳理

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积体积

圆柱S则=2nrhV=Sh=n

11

V=-Sh=-nfh

JJ

圆锥Jirl

o

/=：（Si.+S下+dSi：S卜）Z?=1n（才+成+八心）h

圆台S值=n（n+n）1

Jo

直楂柱S^\=ChV=Sh

S例=；汨

正棱锥V=\sh

J

【/=5(S上+S卜+75毋)。

正楂台）h'

*5

v=\nR

球S球诩=4——

<5

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积

与底面面积之和.

辨析感悟

1.柱体、锥体、台体与球的面积

(1)圆柱的一个底面积为，侧面展开图是•个正方形,那么这个圆柱的侧面积是21Ts(X)

(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

3.(X)

2.柱体、锥体、台体的体积

(3)(教材练习改编)若一个球的体积为4小n,则它的表面积为12n.(V)

(4)(•浙江卷改编)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于24

cm\(V)

H-4TH-3-H

俯视图

(5)在△力比中，AB=2fBC=3,ZABC=\20°,使△45C绕直线旗旋转一周所形成的几何

体的体积为9n.(X)

3.柱体、锥体、台体的展开与折叠

(6)将圆心角为铝，面积为3”的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4兀.(J)

(7)(•青州模拟改编)将边长为a的正方形力应刀沿对角线力。折起，使劭=&,则三楂锥〃

一/1回的体积为点/(x)

1乙

［感悟・提升］

两点注意•是求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将

其转化为规则的几何体求解.

二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.

学生用书第109页

突破•高频考点以例求法举一反三

考点一空间几何体的表面积

【例11(•日照・模)如图是■个几何体的正视图和侧视图，具俯视图

是面积为8镜的矩形.则该几何体的表面积是().

A.8B.20+8\伤

C.16D.24+8\历

解析由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形

宽为2镜，由面积队得长为4,则该儿何体的表面积为S=2X+2X2+2镜X4+2X2X4

=20+8*.

答案B

规律方法(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的

分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而

表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

【训练1】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.

解析如图所示：

该几何体为长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱后

剩卜的部分.

，S表=(4X1+3X4+3X1)X2+2JiX1X1-2JTXl2=38.

答案38

考点二空间几何体的体枳

[例2](1)(•新课标全国I卷)某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为().

A.16+8nB.8+8n

C.16+16“D.8+16n

（2）（•福州模拟）如图所示，己知三棱柱ABC—ABQ的所有棱长均为1,且底面ABC,

则三棱锥片一/1施；的体积为（）.

碑

D芈

解析（1）由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分

别为4,2,2,圆柱的底面半径为2、而为4.所以P=2X2X4+1X22XJTX4=16+8”.故选

A.

⑵三棱锥R—ABC的体积等于三棱锥的体积，三楂锥A-B.BG的高为坐，底面积

为I，故其体积为:X：x^=噌.

乙J乙乙1乙

答案（DA（2）A

规律方法（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形

状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的

体积不能直接利用公式得出，则常用等枳法、分割法、外形法等方法进行求解.

【训练2】如图所示，已知反，.分别是棱长为a的正方体力自笫一44G〃的棱CG的

中点，求四棱锥G一笈切尸的体积.

解法一连接4G，4〃交于点4,连接打〃，/:五,

过。作RH【B\D于H.

•••臣〃4G,且4GQ平面区瓦方

E/a平面BMF.

・・・4G〃平面笈垃应

・・・C到平面劣及*的距离就是4G到平面〃/步’的距离.

•・・平面笈〃〃_L平面8及泥，且平面吕。〃CI平面8\EDF=B\D,

平面笈切E

即〃〃为棱锥的高.

,:丛B\RH^丛B\DD\,

.八,，乖

•,"”一民D-6®

「1，-、1

「・Vc「B]EDF=三-S四边形为EOF*°1"=与—・EF・B7・

•g•/a•y(3a・^a=^a.

法二连接EF,HJ）.

设笈到平面O的距离为力】，〃到平面G环的距离为/力，则力+力尸笈&

由题意得，TC[B]EDF=I'D—C]EF=马•S4Q印•（加十九）

考点三球与空间几何体的接、切问题

【例3】（1）（•福建卷）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正

视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积

是______________

（2）（•辽宁卷）已知直三棱柱4?。一/出G的6个顶点都在球。的球面上，若48=3,AC=\,

ABLAC,力4=12,则球〃的半径为

B.2y/10

C竽D.3-^76

审题路线（1）正方体内接于球=正方体的体对角线长等于球的直径=求得球的半径=代入

球的表面积公式（注意只算球的表面积）.

⑵比为过底面4比’的截面圆的直径=取比'中点〃，则球心在a'的垂直平分线上，再由对

称性求解.

解析（1）由三视图知，梭长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2小，即为

球的直径.

所以球的表面积为S=4n•图）=]2口.

（2）因为在直三棱柱中[6=3,AC=4,力4=12,ABLAC,所以公5,且比为过底面力8C

的截面圆的直径，取比'中点D,则勿J_底面则。在侧面BCC8内,矩形6s5的对

.______12

角线长即为球的直径，所以2r=N12-'+5'=13,即「=?.

答案（l）12n（2）C

学生用书第110页

规律方法解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的

关系和数最关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种

元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的.

【训练3】(•新课标全国I卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8

cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如

果不计容器的厚度，则球的体积为

500n

A.~--cm

2048Ji

I).-------------cm

解析作出该球的轴截面，如图所示，依题意BE=2cir,AE=CE=\cm,设DE=x,故AD

=24-x,因为+於，解得x=3(cm),故该球的半径AD=5cm,所以J/=^nt='°：」

oJ

答案A

考点四几何体的展开与折售问题

【例4】⑴如图所示，在边长为4的正方形纸片力伙为中，然与做相交于，剪去△/!如,

将剩余部分沿3,勿折叠，使。1，OB重合,则以4B,C,〃，。为顶点的四面体的体积为

(2)如图所示，在直三棱柱力比一力心G中，△/1比为直角三角形，N[3=90°,1C=4,BC

=笫=3.〃是〃。上一动点，则CP+/H的最小值为(其中表示只4两点沿棱

柱的表面距离).

解析(1)折叠后的四面体如图所示.

OA,0C,5两两相互垂直，且OA=0C=00=2*\/2»体积K=~5A(O•O/1=~X~X(2*\^2)3="

J3乙J

(2)由题总知，把面669。沿做展开与面/勿山。在一个平面上，如图所示，连接4。即可.

则4、P、C三点共线时，"十处|最小,

•••/力⑦=90°,月C=4,BC=GC=3,

.\/1I^I=^=^/42+32=5,・・・4G=5+3=8,

••・4。=亚百=/.故CP+PA,的最小值为班.

⑵/

规律方法(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间

图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.

(2)研究儿何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两

点间的最短距离问题.

【训练4】如图为一几何体的展开图，其中/以力是边长为6的正方形，SD-PD-GCR-

SC,AQ=AP,点S,D,月，0共线，点、P,D,C,〃共线，沿图中虚线将它们折置起来，使巴

0,R,S四点重合，则需要个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.

Q

解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥〃一/仍⑦（如图所示），

其中"L平面因此该四棱锥的体积P=；X6X6X6=72,而棱长为6的正方体的体

V

积『=6X6X6=216,故需要等=3个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体.

答案3

I课堂小结I

1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们

的结构特点与平面几何知识来解决.

2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三楂锥的三条侧棱两两

垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.

3.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点

和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切

点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均

在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

培养•解题能力

方法优化5一一特殊点在求解几何体的体积中的应用

【典例】（•山东卷）如图，正方体/山⑺一力归G〃的棱长为1,E,厂分别为线段4八BxC

上的点，则三棱锥〃一板的体积为

［一般解法］三棱锥〃一的体积即为三棱锥少一〃4少的体积.因为分别为力人4。

1

上的点，所以在正方体力比7＞一力心6〃中△拉族的面积为定值万，〃到平面力44〃的距离为定

T7j_[I

值1,所以'P-JJU£=3X2X1=6.

1

［优美解法］£点移到1点，尸点移到。点，则TD］-EDF=D^—\DC=3X2

X1X1X1=g.

［答案］1

［反思感悟］(1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥

〃一以田的体积转化为三棱锥少一〃〃少的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点

的解法易理解、也简单易求.

(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、害ij补法.

【自主体验】

如图，在三棱柱力4c一力归G中，侧棱44与侧面灰的距离为2,侧面灰的面积为4,

此三楂柱ABC—ABG的体枳为

解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示.

记4到平面BCCB的距离为d,则d=2.

11Q

则四边形8“巧=，X4X2=4.

Dy

G

答案4

课时•题组训练阶梯训练练出高分

对应学生用书P309

基础巩固题组

（建议用时：40分钟）

一、选择题

1.（•广东卷）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）.

便视图

俯视图

A.4B."C."D.6

oJ

解析由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是边长为2

的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积r=-（l2+V^>^+22）X2=，

JTJ

故选B.

答案B

2.（•湖南卷）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正

视图的面积不可能等于（）.

A.1B.mC.咛1D.毕

解析由俯视图的面积为1可知,该正方体的放置如图所示,当正视图的方向与正方体的侧

面垂直时，正视图的面积最小，其值为1,当正视图的方向与正方体的对角面〃〃或

垂宜时，正视图的面积最大，其值为出,由于正视图的方向不同，因此正视图的面积S£[l,

p.故选C.

答案C

3.（•许昌模拟）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯

视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为1）.

正视图侧视图

俯视图

3

A.4JTB.-JiC.3nD.2n

乙

解析由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S衣=2X五x（g）+JIX1X1=^

答案B

4.

如图，在多面体力比被中，已知是边长为1的正方形，且△/1%；均为正三角

形，/:尸〃4〃，/:尸=2,则该多面体的体积为（）.

A.平B.乎C.|D.|

JJJ4

解析如图，分别过点4/，作融的垂线，垂足分别为G,//,连接%，CH,容易求得用=

AG=GD=BH=和=乎，/.加.=义哗XI=平，:.V=匕-候•+/-做+加）■畋

乙乙乙乙士

=2必所眦=五义"^~乂wX.2义1=^^~.故选A.

j4/qj

答案A

5.（•新课标全国卷）平面a截球。的球面所得圆的半径为】，球心。到平面a的距离为小,

则此球的体积为（）.

A.乖RB.4^/3JTC.4季nD.673n

解析

如图，设截面圆的圆心为0',1V为截面圆上任一点，贝IJ0（/=&O'M=l,；.0汹=

y/y[22+1=A/3,即球的半径为小，・・・1/=[兀（谯尸=4铺八.

答案B

二、填空题

6.（•辽宁卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.

l-kt*-2-+.k<

解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个三四棱柱，圆柱底面圆半径为2,高

为4,故体积为16n；正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,所以儿何体的体积为

16”—16.

答案16n-16

7.（•陕西卷）某几何体的三视图如图所示，则其体积为

解析该几何体为一个半到锥，故其体枳为JiK12x22=q".

J乙J

答案

TJ

8.（•江苏卷）如图，在三棱柱/出G—月及?中，D,E,k分别是防，AC,力4的中点，设三

楂锥尸-4应的体积为匕三棱柱48£一力缈的体积为心则匕：V2=.

解析设三棱柱45G—肪。的高为力，底面三角形4%的面积为S,则％=Jx；S・力

=』％,即匕：丛=1：24.

答案1：24

三、解答题

9.如图，」知某几何体的三视图如下（单位：cm）：

俯视图

（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积及体积.

解

（1）这个几何体的直观图如图所示.

（2）这个几何体可看成是正方体力G及直三棱柱840—4〃/的组合体.

由刚=9=镜cm,A^=AD=2cm,可得处.故所求几何体的表面积

5=5X22+2X2X^2+2X1X（隹了=22+4啦（end,

体积K=23+1X(^2)2X2=10(cm3).

10.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为T的铁球,

并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.

解如图所示，作出轴械面，因轴横面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的

深度为3八水面半径皮的长为十八则容器内水的体积为

p=〃球=；丸（水■?、）"•3?一

将球取出后，设容器中水的深度为力，

则水面圆的半径为半瓦从而容器内水的体积为

O

V="”力="714，由v=v，,得力=即%，:

能力提升题组

（建议用时:25分钟）

一、选择题

1.已知球的直径SC=4,A,8是该球球面上的两点，/伊=小，4ASC=/BSC=30：则棱

锥S—49。的体枳为（）.

A.B.2镉C./D.1

解析由题意知，如图所示，在棱锥5一力仇?中，△必£△$%都是有一个角为30°的直角

三角形，其中/仍=/，SC=4,所以SA=SB=2小,AC=BC=2,作8〃_LSC于〃点，连接

AD,易证SC_L平面月6Z4因此Vs-.inc-(^3)JX4-^3.

答案C

2.(•临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积

A.3B.7+3也

7

C.-n[).14

解析由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放

置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面

积为2(1X3+1X1+3X1)=14.

答案D

二、填空题

3.如图，已知正三棱柱"。一48£的底面边长为2cm、高为5cm,则一质点自点力出发,

沿着三楂柱的侧面绕行两周到达点4的最短路线的长为________(cm).

解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所

示的实线部分，则可知所求最短路线的长为卡不访=13(cm).

答案13

三、解答题

4.如图1,在直角梯形四⑦中，N4T=90°,CD//AB,48=4,AD=CD=2,将沿

折起，使平面4T_L平面力比；得到几何体〃一如图2所示.

图2

（1）求证：8aL平面力切:

（2）求儿何体/?-/1/'的体积.

⑴证明在图中，可得〃'二优三2小,

从而AC+Bd=AE,

故ACLBC,

又平面力〃C_L平面ABC,

平面ADCC\平面ABC=AC,

BCu平面ABC,

，夕UL平面ACI）.

⑵解由（1）可知，%为三楂锥6一.4。的高，BC=2^i,以心=2,二％,心=<&心•%=J

JJ

X2X2^=芈，由等体积性可知，儿何体6月%的体积为芈.

JJ

学生用书第111页

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

［最新考纲］

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2.了解可以作为推理依据的公理和定理.

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

诊断•基础知识由浅入深夯基固本

知识梳理

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

(2)公理2：过不在•条直线上的三点,有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有二±公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线.

⑷公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条亚交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条亚直线有且只有一个平面.

2.空间中两直线的位置关系

(1)空间两直线的位置关系

「共面直喘I

、异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a'Ha,bl//b,把a'与

所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

②范围：(0,y.

(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于回二条直线的两条直线互相平行.

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.

（2）平面与平面的位置关系有拉、相交两种情况.

辨析感悟

1.对平面基本性质的认识

（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.（X）

（2）两个平面a,8有一个公共点力，就说a,B相交于力点，记作（义）