新高考数学二轮复习对点题型第21讲双曲线（学生版）

第21讲双曲线真题展示2022新高考一卷第21题已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为0．（1）求SKIPIF1<0的斜率；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．知识要点整理知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个.4．焦距：的距离，表示为|F1F2|.知识点二双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1()eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1()焦点a，b，c的关系c2＝知识点三双曲线的性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝(c>a>0，c>b>0)知识点四等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是，离心率为eq\r(2).知识点五直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．知识点六弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).试题亮点圆锥曲线是高中数学中重要且基本的学习内容，同时也是高考考查的重点．试题分步设问，逐步推进，注重对基本概念、基本方法的考查，考查内容由浅入深，层次分明，重点突出，能很好地引导中学数学教学回归教材，试题对考生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养，以及灵活地应用解析几何的基本方法将问题合理转化的能力有一定的要求.因此，试题不仅有利于高校选拔人才，也有利于中学教学创新，对培养学生数学学科核心素养有积极的引导作用.三年真题1．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点SKIPIF1<0在C上，且SKIPIF1<0．过P且斜率为SKIPIF1<0的直线与过Q且斜率为SKIPIF1<0的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在SKIPIF1<0上；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2．如图，SKIPIF1<0为椭圆的两个顶点，SKIPIF1<0为椭圆的两个焦点．(1)写出椭圆的方程及准线方程；(2)过线段SKIPIF1<0上异于O，A的任一点K作SKIPIF1<0的垂线，交椭圆于P，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点M．求证：点M在双曲线SKIPIF1<0上．3．如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面上的两点，动点P满足：SKIPIF1<0．(1)求点P的轨迹方程；(2)若SKIPIF1<0，求点P的坐标．4．设动点P到两定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)如图，过点SKIPIF1<0的直线与双曲线C的右支交于SKIPIF1<0两点．问：是否存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．5．已知中心在原点的双曲线SKIPIF1<0的一个焦点是SKIPIF1<0，一条渐近线的方程是SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若以SKIPIF1<0为斜率的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为SKIPIF1<0，求k的取值范围．6．如图，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0之间的阴影区域（不含边界）记为SKIPIF1<0，其左半部分记为SKIPIF1<0，右半部分记为SKIPIF1<0．(1)分别用不等式组表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若区域SKIPIF1<0中的动点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离之积等于SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(3)设不过原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与（2）中的曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，且与SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0两点．求证SKIPIF1<0的重心与SKIPIF1<0的重心重合．7．如图，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且SKIPIF1<0．(1)求双曲线的方程；(2)设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线SKIPIF1<0交双曲线于另一点E．证明：直线SKIPIF1<0垂直于x轴．8．已知SKIPIF1<0是过点SKIPIF1<0的两条互相垂直的直线，且SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0各有两个交点，分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.9．已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为SKIPIF1<0，C的两个焦点分别为SKIPIF1<0，直线l过SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，l与线段SKIPIF1<0的垂直平分线的交点是P，线段SKIPIF1<0与双曲线C的交点为Q，且SKIPIF1<0，求双曲线C的方程．10．双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，双曲线右焦点且斜率为SKIPIF1<0的直线交双曲线于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求双曲线的方程.11．如图，已知两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都相交，并且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0被截在圆内的两条线段的长度分别是定值SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求圆心SKIPIF1<0的轨迹方程，并说出轨迹的名称．12．设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段SKIPIF1<0的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线SKIPIF1<0的斜率都存在，并记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线SKIPIF1<0写出具有类似特性的性质，并加以证明．三年模拟1．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，求弦长SKIPIF1<0．2．（2022·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0为坐标原点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）的左,右焦点,SKIPIF1<0,若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0点的右支有公共点SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的离心率的最小值;(2)当双曲线SKIPIF1<0的离心率最小时,直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0的值.3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，A，B分别是C的左､右顶点，点SKIPIF1<0在C上，点SKIPIF1<0，直线AD，BD与C的另一个交点分别为P，Q．(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线PQ经过定点．4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离比到SKIPIF1<0的距离大2，点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率不为0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点对称，求直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0斜率的比值.5．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．(1)求动点C的轨迹方程E．(2)过点SKIPIF1<0作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线SKIPIF1<0的平行线SKIPIF1<0交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问SKIPIF1<0是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．6．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知双曲线C：SKIPIF1<0与x轴的正半轴交于点M，动直线l与双曲线C交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点且垂直于x轴时，SKIPIF1<0，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)若SKIPIF1<0，求点M到直线l距离的最大值．7．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0及圆SKIPIF1<0中的一个外切，另一个内切．(1)求动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，以线段SKIPIF1<0为直径的圆经过轨迹SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴的交点SKIPIF1<0，证明直线SKIPIF1<0经过一个不在轨迹SKIPIF1<0上的定点，并求出该定点的坐标．8．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，(1)求轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且法向量为SKIPIF1<0，直线与轨迹SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点．①过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，试确定SKIPIF1<0的取值范围；②在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，无论直线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0怎样转动，使SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出定点SKIPIF1<0；如果不存在，请说明理由．9．（2022·云南云南·模拟预测）己知双曲线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0(1)求双曲线C的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.10．（2022·浙江绍兴·一模）已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左焦点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的一点.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)已知过坐标原点且斜率为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0