新高考数学二轮复习讲练思想02 运用数形结合的思想方法解题（4大题型）（练习）（解析版）

思想02运用数形结合的思想方法解题目录01研究函数的零点、方程的根、图象的交点 102解不等式、求参数范围、最值问题 603解决以几何图形为背景的代数问题 904解决数学文化、情境问题 1301研究函数的零点、方程的根、图象的交点1．（2024·云南·高三校联考阶段练习）关于函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．函数在SKIPIF1<0上单调递减B．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立C．当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有2个零点D．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有3个零点，记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于A，因为函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；此时函数SKIPIF1<0单调递减，作出函数SKIPIF1<0的大致图象如图，故A错；对于B，由A选项可知，易知SKIPIF1<0，又易知SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不一定成立，例如当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不一定成立，故B错；对于C，方程SKIPIF1<0的根即为SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的交点横坐标，由A可知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得极大值1，在SKIPIF1<0时取得极小值SKIPIF1<0；作出函数SKIPIF1<0的图象如图，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有1个零点，故C错；对于D，函数SKIPIF1<0有3个零点，则可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；记SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D．2．（2024·四川南充·统考一模）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）有两个不同的零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），下列关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的说法正确的有（

）个①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由函数SKIPIF1<0有两个不同零点SKIPIF1<0，转化为SKIPIF1<0有两个交点SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，而SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0图象如图所示故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，对于①，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正确；对于②，由①可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故②正确；对于③，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故③正确；对于④，由①可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故④正确.故选：D3．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）若过点SKIPIF1<0可以作三条直线与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，过切点的切线方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0坐标化简为SKIPIF1<0，即这个方程有三个不等式实根，令SKIPIF1<0，求导得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故得SKIPIF1<0,结合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故选：D．4．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）已知函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有且仅有4个不同的实数根，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0.画出函数SKIPIF1<0的图象，如下图所示，可得函数最小值为SKIPIF1<0有四个不同的实数根，数形结合可知SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A.02解不等式、求参数范围、最值问题5．（2024·四川内江·统考三模）若关于x的不等式SKIPIF1<0有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】原不等式可化简为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的图象如下图所示，而函数SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，要使关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0有且只有一个整数解，则函数SKIPIF1<0的图象应介于直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0之间（可以为直线SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A．6．（2024·陕西汉中·高二统考期末）若函数SKIPIF1<0（m为实数）有极大值，则SKIPIF1<0的范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，无极值点；当SKIPIF1<0时，根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象，设两个函数在第一象限的交点的横坐标为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，故当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有一个极大值点.故选：D7．（2024·山西临汾·高三统考阶段练习）已知三次函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有四个实数根，则实数a的范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，算出SKIPIF1<0的极值，又方程SKIPIF1<0有四个实数根可转化为方程SKIPIF1<0，或方程SKIPIF1<0共有四个实数根，结合函数图象列出SKIPIF1<0满足的条件即可.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0有四个实数根，故方程SKIPIF1<0，或方程SKIPIF1<0共有四个实数根，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A03解决以几何图形为背景的代数问题8．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知曲线C：SKIPIF1<0．①曲线C的图像一定经过第三象限；②若SKIPIF1<0为曲线C上一点，则SKIPIF1<0；③存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与曲线C有四个交点；④直线SKIPIF1<0与曲线C无公共点当且仅当SKIPIF1<0．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②【解析】当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0是双曲线的一部分；当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0是椭圆的一部分；当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0不存在；当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0是双曲线的一部分，其中双曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有一条共同的渐近线SKIPIF1<0，综上可得，画出曲线SKIPIF1<0的图象，如图所示，由图象可知，曲线SKIPIF1<0的图象经过第三象限，所以①正确；由图象知，曲线SKIPIF1<0的图象上的点都在直线SKIPIF1<0的下方，所以当SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上时，有SKIPIF1<0，所以②正确；直线SKIPIF1<0时表示与SKIPIF1<0平行或重合的直线，由曲线SKIPIF1<0的图象知，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0不可能有四个交点，所以③错误；设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相切，联立方程组SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，结合曲线SKIPIF1<0的图象，取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，所以直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0无公共点，结合曲线SKIPIF1<0的图象，可知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以④不正确.故答案为：①②.9．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）过双曲线SKIPIF1<0的右支上一点SKIPIF1<0，分别向⊙SKIPIF1<0和⊙SKIPIF1<0作切线，切点分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.

【答案】17【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以双曲线的焦点坐标为SKIPIF1<0，由圆的方程知：圆SKIPIF1<0圆心的坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0圆心的坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为两圆切线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（当为双曲线右顶点时取等号），SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：17.10．（2024·全国·高三专题练习）如图，在圆内接四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由余弦定理知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为圆的直径，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形；以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立如下图所示的平面直角坐标系：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．11．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为实数），则SKIPIF1<0的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，以SKIPIF1<0为坐标原点，边长为2的正方形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径画圆，点SKIPIF1<0为圆上一点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得直线SKIPIF1<0表示斜率为SKIPIF1<0，纵截距为SKIPIF1<0的直线，当圆心为点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的下方时，可得圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可得切线坐标为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，取得最小值；当圆心为点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0经过圆心时，圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，取得最大值，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．04解决数学文化、情境问题12．（2024·福建漳州·统考模拟预测）公元SKIPIF1<0年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.SKIPIF1<0打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用SKIPIF1<0打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为SKIPIF1<0的水平截面的面积SKIPIF1<0可以近似用函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如下图所示：圆锥SKIPIF1<0的高和底面半径为SKIPIF1<0，平行于圆锥SKIPIF1<0底面的截面角圆锥SKIPIF1<0的母线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设截面圆圆心为点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，截面圆圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，根据祖暅原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆锥的体积近似相等，所以该“睡美人城堡”的体积约为SKIPIF1<0，故选：D.13．（2024·北京顺义·高三统考期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0及其内部的一个动点且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如图所示坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D14．（2024·山东济宁·高三统考期末）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用SKIPIF1<0表示解下SKIPIF1<0个圆环所需要少移动的次数，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0则解下5个环所需要最少移动的次数为（

）A．7 B．10 C．16 D．31【答案】C【解析】SKIPIF1<0