信息论与编码习题课

第五章5-10设有离散无记忆信源。（1）求该信源符号熵H(X)。（2）用哈夫曼编码编成二元变长码，计算其编码效率。

（3）要求译码错误小于，采用定长二元码达到（2）中的哈夫曼编码效率，问需要多少个信源符号连在一起编？解：（1）信源符号熵为（2）该哈夫曼码的平均码长为编码效率为(3)信源序列的自信息方差为

所以，至少需要1.62×105个信源符号一起编码才能满足要求。5-12已知一信源包含8个消息符号，其出现的概率，则求：（1）该信源在每秒内发出1个符号，求该信源的熵及信息传输速率。（2）对这8个符号作哈夫曼编码，写出相应码字，并求出编码效率。（3）采用香农编码，写出相应码字，求出编码效率。（4）进行费诺编码，写出相应码字，求出编码效率。解：（1）信源熵信息传输速率为（2）哈夫曼编码：信源各符号的对应哈夫曼曼码字如下：

0.1

0.180.4

0.050.06

0.10.07

0.04

011

001

10001001010000010000011平均码长为编码效率为(3)香农编码如下：信源符号符号概率码字长度

累加概率

二进制

码字

0.4

1.32

2

00

00

0.18

2.47

3

0.40.011001...

011

0.1

3.32

4

0.580.100101...

1001

0.1

3.32

4

0.680.101011...

1010

0.07

3.84

4

0.780.110001...

1100

0.06

4.06

5

0.850.110110...

11011

0.05

4.32

5

0.910.111010...

11101

0.04

4.64

5

0.960.111101...

11110平均码长为编码效率为(4)费诺编码消息符号符号概率第一次

分组第二次分组第三次分组第四次分组码字

0.4

0

0

00

0.18

1

01

0.1

1

0

0

100

0.1

1

101

0.07

1

0

0

1100

0.06

1

1101

0.05

1

0

1110

0.04

1

1111平均码长为编码效率为第六章6-1写出构成二元域上四维4重矢量空间的全部矢量元素，并找出其中一个两维子空间及其相应的对偶子空间。解：构成四维4重矢量空间的四个基底为（0001),(0010),(0100),(1000),所以张成的四维4重矢量空间为V={(0000),(0001),(0010),(0011),(0100),(0101),(0110),(0111),(1000),(1001),(1010),(1011),(1100),(1101),(1110),(1111)}以（1000），（0100）为基底的两维4重子空间为的一个两维4重对偶子空间为6-3某系统（8,4）码，其四位校验位与四位信息位的关系是求该码的生成矩阵、校验矩阵及该码的最小距离，并画出该编码器硬件逻辑连接图。解:由（8,4）系统码，得n=8,k=4。由已知条件得，从H看出，不相关的列数为3，即所以编码器逻辑连接图如下：6-5列出本章例6-4的（7,4）汉明码的标准阵列译码表。若收码R=(0010100，0111000,1110010),由标准阵列译码表判断发码是什么？解：由题意，可知信息组m={（0000），（0001），（0010），（0011），（0100），（0101），（0110），（0111）（10000），（1001），（1010），（1011），（1100）（1101），（1110），（1111）}将m及G代入C=mG中求得16个对应的码字：伴随式有代表1个差错的差错图案有种组合，除了全零图案外，种。由可得,

S

E

0000000000

0010000001

0100000010

0110001000

1000000100

1011000000

1100010000

1110100000根据构造标准阵列译码表的步骤，列出如下表：S

E00000000001011001011000111010100111010110001100010111010000000000000000000001011001011000111010100111010110001100010111010001000000100000010001010001011100111000100110010110101100000111011010000001000000100001001001010000111110100101010111001100110111000011000100000010000000011001111000101010101111010010001110010110010100000010000001000001111001001000110010100011010100001101010111110101100000010000001001011101011010111011100111110110011100011111010110001000000100000011011000011000011010110111011110001000010101010111010000001000000101011011011001111010000111000110000100010011010S

E10001011001110101001110110001100010110100111101001111111000000000010001011001110101001110110001100010110100111101001111111001000000110001001001111101001010110011100011110100011101011111110010000001010001111001100101000110110101100000110101111101101111101011000100010011011000110101101110100001101010110000111111001110111100000010010000011001010101011110111001100110110110111100001111011101100000000001010001110001001100110000100010010100101101000111111110001000010101011011110100001110010001110010111100111001001101111111010000011001011101110111001111110001000010100100110101001011111从标准阵列表可以判断，对应关系如下：收码R=（0010100，0111000，1110010）发码C=（0010110，0111010，1100010）6-6某线性二进码的生成矩阵为,求(1)用系统码[I┆P]的形式表示G;(2)计算该码的校验矩阵H;(3)列出该码的伴随式表；(4)计算该码的最小距离；(5)证明：与信息序列101相对应的码字正交于H。解：（1)由题意，知生成矩阵为（2）校验矩阵H为（3）伴随式有种组合，为S={（0000），（0001），（0010），（0011），（0100），（0101），（0110），（0111），（1000），（1001）（1010），（1011），（1100），（1101），（1110），（1111）}（4）校验矩阵不相关的列数为3。即（5）证明：由信息序列101对应的码字为1010011。可得，因为所以，信息序列101对应的码字与H正交。[(n,k)线性分组码的任意码字一定正交于校验矩阵H.]解：如图题8－1所示，，，所以电台的位置偏离正南方。1、设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而接收到最大电场强度。当电台沿以元天线为中心的圆周在地面上移动时，电场强度渐渐减小。问当电场强度减小到最大值的时，电台的位置偏离正南方多少角度？图题8－1

3、一电基本振子的辐射功率，试求处，和方向的场强，为射线与振子轴之间的夹角。解：由和可以解出

6、天线的归一化方向函数为试求其方向性系数D。解：

9、求半波对称振子的方向系数。解：半波振子的方向图函数为

其方向系数为

29、四个电基本振子排列如题8－14图所示，各振子的电流复振幅按图中所标序号依次为（1）、（2）、（3）、（4），试绘出E面和H面极坐标方向图。图题8－14解：E面（包含阵轴和阵子轴的面）：阵因子为阵元方向函数为

天线阵方向函数为由方向图乘积定理可得E面方向图为题8－14(a)E面方向图阵元方向图E面方向图阵因子图H面（包含阵轴和垂直于阵子轴的面）：同E面求法，可求得H面阵因子为阵元方向函数为

天线阵方向函数为由方向图乘积定理可得H面方向图为

阵元方向图

阵因子图

H面方向图题8－14(b)H面方向图

式中，为单元天线的归一化方向函数，为归一化阵因子。（1）

单元天线的方向图对于半波天线，归一化方向函数为27、两半波天线平行放置，相距，它们的电流振幅相等，同相激励。试用方向图乘法绘出三个主平面上的方向图。解：二元天线阵的归一化方向性函数为图题8－17a其方向图，在包括天线轴的两个主平面和

内是‘8’字形，见图题8－17b；而在垂直于天线轴的xy（）平面内为圆形‘’，见图题8－17c图。（2）

阵因子图阵因子归一化阵因子在三个主平面内归一化阵因子方向性函数为

平面：，阵因子图如图题8－17d，为‘8’字形；

xz平面：，阵因子图如图题8－17e，为‘8’字形；平面：；阵因子图如图题8－17f，为圆形。

（1）

三个主平面上的方向图由此，利用方向图乘法，可草绘出三个主平面上的方向图，见题8－17g、h、j图。题8－17b平面阵元

题8－17e平面阵因子

题8－17g