理论力学课件 第二章 质点运动3

理论力学ClassicalMechanics第二章质点运动描述现象：基于定量测量的运动学2.1解释机制：基于因果关系的动力学2.2增加对象：多质点共同运动的情况2.3限定结果：当质点的运动受到约束2.422.3增加对象：多质点共同运动的情况

质点组：由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的系统。内力：质点组中质点间的相互作用力。外力：质点组以外的物体对质点组内质点的作用力。动量：动能：动量矩：2.3.1质心运动：集体运动的抽象代表

1、内力的性质①质点组中所有内力的矢量和等于零。②质点组中所有内力对任一参考点的力矩的矢量和等于零。证明：2.3.1质心运动：集体运动的抽象代表2、质心（一个设想的质点）

直角坐标系中的坐标分量式质心速度质点组动量2.3.1质心运动：集体运动的抽象代表1、动量定理对i求和，得(i=1,2,3…n)

由n个质点组成的质点组中，任一质点Pi的质量为mi，对某惯性参照系坐标原点O的位矢为，作用在质点Pi上的外力为，内力为。其运动微分方程为2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈微分形式积分形式2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈{

质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力之矢量和。或质点组动量的微分，等于作用在质点组上诸外力的元冲量的矢量和。直角坐标系中的坐标分量式

内力可改变质点的动量，但不改变质点组的动量。2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈2、质心运动定理

（1）质点组受已知的外力作用时，每一质点如何运动虽然无法知道，但质心的运动，可以完全确定。（2）质心的运动只与外力的矢量和有关，与内力无关。根据质心定义求导，得所以或2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈

3、动量守恒定律即=恒矢量恒矢量

（2）质心运动完全等价于质点组的平动部分。

（1）内力虽然可使质点组中个别质点改变动量，但却不能改变整个质点组动量的总和，也不能改变质点组质心的速度。

如果则有时虽然(常量)但(常量)而2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈

1、对固定点O的动量矩定理

由n个质点组成的质点组中，任一质点Pi的运动微分方程为(i=1,2,3…n)用左矢乘方程两边，并对i求和，得2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈微分形式积分形式

内力可改变质点的动量矩，但不改变质点组的动量矩。2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈

2、动量矩守恒定律{即恒矢量如果则虽然有时而但(常量)2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈3、对质心的动量矩定理

由n个质点组成的质点组中，任一质点Pi在C系的运动微分方程为C系：随着C相对于S系平动用左矢乘方程两边，并对i求和，得S系C系PiO2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈即：质点组对质心C的动量矩对时间的微商等于所有外力对质心的力矩之和。在C系中有2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈

1、质点组的动能定理

由n个质点组成的质点组中，任一质点Pi的动能定理为对i求和，得注意2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈2、机械能守恒律都是保守力，或只有保守力作功时，V是包含内力、外力的总势能注意：内力作功不一定为零。

2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈3、柯尼希定理S系C系PiO或在C系中有2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈

质点组的动能等于质心的动能与各质点对质心动能之和。4、对质心的动能定理

任一质点Pi在C系的运动微分方程为或写为2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈

质点组对质心动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时外力及内力所作元功之和。用标乘方程两边，并对i求和，得2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈}动力学量小结：总结：质点组的动量、动量矩、动能分别等于质心的动量、动量矩、动能与各质点对质心的动量、动量矩、动能之和。2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈{

内力虽然可以改变各个质点的动量和动量矩，但不能改变整个质点组的动量和动量矩，而内力可以改变质点组的动能。三大定理2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈{三大守恒定律2.3.2守恒定律：质点之间的零和博弈2.3.3两体问题：双质点的有心力运动太阳S的运动微分方程为地球P的运动微分方程为

两个质点组成的孤立系统。两体系统是孤立的，即不受第三者的作用。PSCOxzy①两体的质心作惯性运动

动量守恒，两体的质心作惯性运动。②太阳、行星绕质心作圆锥曲线运动地球P对质心C的运动微分方程为(1)+(2)式，得：质心系中而质心：PSCOxzy2.3.3两体问题：双质点的有心力运动同理，太阳S对质心C的运动微分方程为:

由此可知，在质心系中，太阳、行星所受的力都与距离的平方成反比，故太阳、行星都绕系统的质心作圆锥曲线运动。故：2.3.3两体问题：双质点的有心力运动③地球对太阳的相对运动方程(3)PSCOxzy2.3.3两体问题：双质点的有心力运动(4)是与行星有关的量而是与行星无关的量

即如果认为太阳不动，行星的惯性质量与引力质量都为m，那么，太阳的引力质量应由原来的M修正（增大）为现在的（M+m），这样，两体问题中行星的动力学方程就与单质点的情况完全一样了。两体问题等效为单体问题的一种方法：2.3.3两体问题：双质点的有心力运动定义：折合质量(3)式又可写作：

即如果认为太阳不动，太阳的惯性质量与引力质量都为M，行星的引力质量仍为m，行星的惯性质量应由原来的m修正（减小）为现在的μ，这样，两体问题中行星的动力学方程就与单质点的情况完全一样了。两体问题等效为单体问题的另一种方法：则2.3.3两体问题：双质点的有心力运动④例题2.7开普勒第三定理的修正⑤多体问题：用微扰法求解。行星公转的周期对行星P1:对行星P2:2.3.3两体问题：双质点的有心力运动散射角（计算值）质心坐标系（C系）：散射角（观测值）实验室坐标系（L系）：散射角：被散射的质点散射后的速度方向与散射前的速度方向之间的夹角。静止坐标系。随质心C平动的坐标系。散射和碰撞问题2.3.3两体问题：双质点的有心力运动1、两质点相对质心（惯性系）的速度

设质量为m1、速度为的质点，被质量为m2的静止质点散射。散射前，两质点的动量质心的速度

根据动量守恒定律，两质点的质心在散射前后都将沿方向以速度运动。质心平动系是惯性系2.3.3两体问题：双质点的有心力运动两质点相对质心的速度：

在质心系中，根据动量守恒定律，两质点散射前、后必将沿相反方向运动。得故2.3.3两体问题：双质点的有心力运动由相对运动的关系知

则

解得{质心的速度（2）（1）2、和的关系

2.3.3两体问题：双质点的有心力运动

12COyx质心系中而

所以求导数得得

2.3.3两体问题：双质点的有心力运动将式（2）、（3）代入式（1），可得到（4）

两体系统是保守的，系统的动量守恒、机械能守恒，散射前后两质点远离无引力场时相对速度的量值相等。（3）2.3.3两体问题：双质点的有心力运动

讨论：

2、还可求得：m1粒子将把所有能量转移给m2粒子。

1、当时，时（重靶），卢瑟福散射（粒子）。时，中子-质子散射。

2.3.3两体问题：双质点的有心力运动一、运动方程

忽略二阶小量，除以Dt，并使Dt

0，得变质量物体动力学方程：由动量定理，得t时刻

主体：质量m，速度微元：质量△m，速度t+△t时刻

△m与m合并，速度为△t时间内作用在m与△m的合外力为2.3.4动态增减：质量变化体系的运动讨论:(3)坐标分量式成立其中:(1)如，

是与m合并以前或从m分出后一刹那的速度则(4)并入时，分出时2.3.4动态增减：质量变化体系的运动

人和重物组成的质点组，水平方向不受外力作用，水平方向动量守恒。

抛物前，人和物体的水平速度；设抛物后，人的水平速度为v。解法一静止坐标系中[例题]重为W的人，手里拿着一个重为w的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？2.3.4动态增减：质量变化体系的运动则即所以，人抛物后增加的速度故，人抛物后增加的距离为人从最高点到落地所需要的时间(1)(2)(3)(4)2.3.4动态增减：质量变化体系的运动解法二质心坐标系中

人和重物组成的质点组，水平方向动量守恒，质心在水平方向作速度为的惯性运动。